Теория представлений группы Пуанкаре

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2019 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Группы Ли и алгебры Ли
Классические группы Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n )
Простые группы Ли Классическая А н Б н С н Д н Исключительный Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 Е 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидов
Алгебры Ли Соответствие группа Ли–алгебра Ли Экспоненциальная карта Сопряженное представление Форма убийства Индекс Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

В математике теория представлений группы Пуанкаре является примером теории представлений группы Ли , которая не является ни компактной группой , ни полупростой группой . Она является фундаментальной в теоретической физике .

В физической теории, в которой пространство Минковского является базовым пространством-временем , пространство физических состояний обычно является представлением группы Пуанкаре. (В более общем смысле, это может быть проективное представление , которое равнозначно представлению двойного покрытия группы.)

В классической теории поля физические состояния являются сечениями Пуанкаре-эквивариантного векторного расслоения над пространством Минковского. Условие эквивариантности означает, что группа действует на всем пространстве векторного расслоения, а проекция на пространство Минковского является эквивариантным отображением . Следовательно, группа Пуанкаре действует также на пространстве сечений. Представления, возникающие таким образом (и их подфакторы), называются ковариантными полевыми представлениями и обычно не являются унитарными.

Для обсуждения таких унитарных представлений см. классификацию Вигнера .

В квантовой механике состояние системы определяется уравнением Шредингера, которое инвариантно относительно преобразований Галилея. Квантовая теория поля является релятивистским расширением квантовой механики, где релятивистские (инвариантные относительно Лоренца/Пуанкаре) волновые уравнения решаются, «квантуются» и действуют в гильбертовом пространстве, состоящем из состояний Фока .

Не существует конечных унитарных представлений полных преобразований Лоренца (и, следовательно, Пуанкаре) из-за некомпактной природы бустов Лоренца (вращений в пространстве Минковского вдоль пространственной и временной оси). Однако существуют конечные неунитарные неразложимые представления алгебры Пуанкаре, которые могут быть использованы для моделирования нестабильных частиц. ^{[1] [2]}

В случае частиц со спином 1/2 можно найти конструкцию, которая включает как конечномерное представление, так и скалярное произведение, сохраняемое этим представлением, связывая 4-компонентный спинор Дирака с каждой частицей. Эти спиноры преобразуются под действием преобразований Лоренца, генерируемых гамма-матрицами ( ). Можно показать, что скалярное произведение${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \gamma _{\mu }}$

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

сохраняется. Однако он не является положительно определенным, поэтому представление не является унитарным.

• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
• Хариш-Чандра (1947), «Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца», Proc. R. Soc. A , 189 (1018): 372–401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H, doi : 10.1098/rspa.1947.0047
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Вигнер, Э. П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W, doi : 10.2307/1968551, JSTOR  1968551, MR  1503456, S2CID  121773411.

• Классификация Вигнера
• Теория представлений группы Лоренца
• Теория представления группы Галилея
• Теория представлений групп диффеоморфизмов
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Симметрия в квантовой механике