Второе квантование

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Большая сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория Теория Янга-Миллса
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Симметрия калибровок Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Метод фонового поля BRST-квантование Корреляционная функция Пересечение Эффективное действие Эффективная теория поля Ожидаемое значение Диаграмма Фейнмана Теория решетчатого поля Формула снижения LSZ Функция разделения Формулировка интеграла по траектории Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Уайтмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна–Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера–ДеВитта Уравнения Баргмана–Вигнера Уравнение Швингера-Дайсона Уравнение ренормгруппы
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика механизм Хиггса
Неполные теории Теория струн Суперсимметрия Техниколор Теория всего Квантовая гравитация
Ученые Адлер Андерсон Ансельм Баргманн Бекки Белавин Белл Березин Бете Бьёркен Блюэр Боголюбов Бродский Браут Бухгольц Качасо Каллан Коулмэн Конн Дашен ДеВитт Дирак Доплихер Дайсон Энглерт Фаддеев Фадин Файет Ферми Фейнман Фирц Фок Фрэмптон Фрицш Фрёлих Фреденхаген Пушистый Глэшоу Гельфанд Гелл-Манн Глимм Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

Вторичное квантование , также называемое представлением числа занятости , — это формализм, используемый для описания и анализа квантовых систем многих тел . В квантовой теории поля он известен как каноническое квантование , в котором поля (обычно как волновые функции материи) рассматриваются как операторы поля , аналогично тому, как физические величины (положение, импульс и т. д.) рассматриваются как операторы в первичном квантовании . Ключевые идеи этого метода были введены в 1927 году Полем Дираком ^[1] и позднее были развиты, в частности, Паскуалем Джорданом ^[2] и Владимиром Фоком . ^{[3] [4]} В этом подходе квантовые состояния многих тел представлены в базисе состояний Фока , которые строятся путем заполнения каждого одночастичного состояния определенным числом идентичных частиц. ^[5] Формализм вторичного квантования вводит операторы создания и уничтожения для построения и обработки состояний Фока, предоставляя полезные инструменты для изучения квантовой теории многих тел.

Отправной точкой формализма вторичного квантования является понятие неразличимости частиц в квантовой механике. В отличие от классической механики, где каждая частица помечена отдельным вектором положения и различные конфигурации набора s соответствуют различным многочастичным состояниям, в квантовой механике частицы идентичны, так что обмен двумя частицами, т.е. , не приводит к другому многочастичному квантовому состоянию . Это подразумевает, что квантовая многочастичная волновая функция должна быть инвариантной (с точностью до фазового множителя) относительно обмена двумя частицами. Согласно статистике частиц , многочастичная волновая функция может быть либо симметричной, либо антисимметричной относительно обмена частицами:${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$если частицы являются бозонами ,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$если частицы являются фермионами .

Это свойство обменной симметрии накладывает ограничение на волновую функцию многих тел. Каждый раз, когда частица добавляется или удаляется из системы многих тел, волновая функция должна быть должным образом симметризована или антисимметризована, чтобы удовлетворить ограничению симметрии. В формализме первого квантования это ограничение гарантируется представлением волновой функции как линейной комбинации перманентов (для бозонов) или детерминант (для фермионов) состояний одной частицы. В формализме второго квантования вопрос симметризации автоматически решается операторами рождения и уничтожения, так что его запись может быть намного проще.

Рассмотрим полный набор одночастичных волновых функций, помеченных (который может быть объединенным индексом ряда квантовых чисел). Следующая волновая функция${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

представляет собой N -частичное состояние с i -й частицей, занимающей одночастичное состояние . В сокращенной записи аргумент положения волновой функции может быть опущен, и предполагается, что i -я одночастичная волновая функция описывает состояние i -й частицы. Волновая функция не была симметризована или антисимметризована, поэтому в общем случае не квалифицируется как многочастичная волновая функция для идентичных частиц. Однако ее можно привести к симметризованной (антисимметризованной) форме с помощью операторов для симметризатора и для антисимметризатора .${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Для бозонов многочастичная волновая функция должна быть симметризирована,

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

в то время как для фермионов многочастичная волновая функция должна быть антисимметризованной,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

Здесь есть элемент в группе перестановок N -тел (или симметрической группе ) , который выполняет перестановку среди меток состояний , и обозначает соответствующий знак перестановки . — оператор нормализации, который нормализует волновую функцию. (Это оператор, который применяет подходящий численный коэффициент нормализации к симметризованным тензорам степени n ; его значение см. в следующем разделе.)${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle (-1)^{\pi }}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Если расположить одночастичные волновые функции в матрице таким образом, чтобы матричный элемент строки i и столбца j был равен , то бозонную многочастичную волновую функцию можно просто записать как постоянную , а фермионную многочастичную волновую функцию — как определитель (также известный как определитель Слейтера ). ^[6]${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}$

Первые квантованные волновые функции включают сложные процедуры симметризации для описания физически реализуемых многочастичных состояний, поскольку язык первого квантования избыточен для неразличимых частиц. На языке первого квантования многочастичное состояние описывается путем ответа на ряд вопросов типа «Какая частица находится в каком состоянии?» . Однако это не физические вопросы, поскольку частицы идентичны, и изначально невозможно сказать, какая частица какая. Кажущееся разным состояние и на самом деле являются избыточными названиями одного и того же квантового многочастичного состояния. Поэтому симметризация (или антисимметризация) должна быть введена для устранения этой избыточности в описании первого квантования.${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

Во втором языке квантования вместо того, чтобы спрашивать «каждая частица в каком состоянии», спрашивают «Сколько частиц находится в каждом состоянии?» . Поскольку это описание не относится к маркировке частиц, оно не содержит избыточной информации и, следовательно, приводит к точному и более простому описанию квантового многочастичного состояния. В этом подходе многочастичное состояние представлено в базисе чисел занятости, а базисное состояние помечено набором чисел занятости, обозначаемых

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

что означает, что есть частицы в одночастичном состоянии (или как ). Числа заполнения в сумме дают общее число частиц, т.е. . Для фермионов число заполнения может быть только 0 или 1 из-за принципа исключения Паули ; в то время как для бозонов это может быть любое неотрицательное целое число ${\displaystyle n_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

Состояния числа заполнения также известны как состояния Фока. Все состояния Фока образуют полный базис многочастичного гильбертова пространства, или пространства Фока . Любое общее квантовое многочастичное состояние может быть выражено как линейная комбинация состояний Фока.${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

Обратите внимание, что помимо предоставления более эффективного языка, пространство Фока допускает переменное число частиц. Как пространство Гильберта , оно изоморфно сумме n - частичных бозонных или фермионных тензорных пространств, описанных в предыдущем разделе, включая одномерное пространство нуль-частиц C.

Состояние Фока со всеми числами заполнения, равными нулю, называется вакуумным состоянием , обозначается . Состояние Фока только с одним ненулевым числом заполнения является одномодовым состоянием Фока, обозначается . В терминах первой квантованной волновой функции вакуумное состояние является единичным тензорным произведением и может быть обозначено . Одночастичное состояние сводится к своей волновой функции . Другие одномодовые многочастичные (бозонные) состояния являются просто тензорным произведением волновой функции этой моды, такие как и . Для многомодовых состояний Фока (то есть вовлечено более одного одночастичного состояния ) соответствующая первому квантованному волновому функционированию потребует надлежащей симметризации в соответствии со статистикой частиц, например, для бозонного состояния и для фермионного состояния (символ между и опущен для простоты). В общем случае нормировка оказывается равной , где N — общее число частиц. Для фермиона это выражение сводится к так как может быть только нулем или единицей. Итак, первично квантованная волновая функция, соответствующая состоянию Фока, имеет вид${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$${\displaystyle |0\rangle =1}$${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\textstyle {\sqrt {{\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}/{N!}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

для бозонов и

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

для фермионов. Обратите внимание, что для фермионов — только, поэтому тензорное произведение выше — это фактически просто произведение по всем занятым одночастичным состояниям.${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

Операторы создания и уничтожения вводятся для добавления или удаления частицы из системы многих тел. Эти операторы лежат в основе формализма вторичного квантования, преодолевая разрыв между состояниями первого и второго квантования. Применение оператора создания (уничтожения) к волновой функции первого квантования многих тел вставит (удалит) состояние одной частицы из волновой функции симметризованным образом в зависимости от статистики частиц. С другой стороны, все состояния Фока второго квантования могут быть построены путем многократного применения операторов создания к вакуумному состоянию.

Операторы рождения и уничтожения (для бозонов) изначально строятся в контексте квантового гармонического осциллятора как повышающие и понижающие операторы, которые затем обобщаются до операторов поля в квантовой теории поля. ^[7] Они являются фундаментальными для квантовой теории многих тел в том смысле, что каждый многочастичный оператор (включая гамильтониан многочастичной системы и все физические наблюдаемые) может быть выражен через них.

Создание и уничтожение частицы реализуется путем вставки и удаления одночастичного состояния из первой квантованной волновой функции симметричным или антисимметричным образом. Пусть будет одночастичным состоянием, пусть 1 будет тензорным тождеством (оно является генератором нуль-частичного пространства C и удовлетворяет в тензорной алгебре над фундаментальным гильбертовым пространством), и пусть будет общим тензорным произведением. Операторы вставки и удаления являются линейными операторами, определяемыми следующими рекурсивными уравнениями${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$${\displaystyle \otimes _{\pm }}$${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

Вот символ дельта Кронекера , который дает 1, если , и 0 в противном случае. Нижний индекс операторов вставки или удаления указывает, реализована ли симметризация (для бозонов) или антисимметризация (для фермионов).${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \pm }$

Оператор создания (соответственно уничтожения) бозона обычно обозначается как (соответственно ). Оператор создания добавляет бозон к одночастичному состоянию , а оператор уничтожения удаляет бозон из одночастичного состояния . Операторы создания и уничтожения являются эрмитово сопряженными друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором ( ).${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle b_{\alpha }}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$

Оператор рождения (уничтожения) бозона является линейным оператором, действие которого на N -частичную первично квантованную волновую функцию определяется как${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

где симметрично вставляет одночастичное состояние в возможные позиции вставки и симметрично удаляет одночастичное состояние из возможных позиций удаления.${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N}$

Здесь и далее символ тензора между одночастичными состояниями для простоты опущен. Берем состояние , создаем еще один бозон на состоянии ,${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Затем уничтожьте один бозон из состояния ,${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Начиная с состояния одномодового вакуума , применяя оператор рождения многократно, находим${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

Оператор рождения увеличивает число заполнения бозона на 1. Таким образом, все состояния числа заполнения могут быть построены оператором рождения бозона из вакуумного состояния

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

С другой стороны, оператор уничтожения уменьшает число заполнения бозона на 1${\displaystyle b_{\alpha }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

Это также погасит вакуумное состояние , поскольку в вакуумном состоянии не осталось ни одного бозона, который можно было бы уничтожить. Используя приведенные выше формулы, можно показать, что${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

значение, которое определяет оператор числа бозонов.${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние бозонов.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов создания и уничтожения бозонов в формализме вторичного квантования. Сложная симметризация базовой первично-квантованной волновой функции автоматически учитывается операторами создания и уничтожения (при действии на первично-квантованную волновую функцию), так что сложность не раскрывается на вторично-квантованном уровне, а формулы вторичного квантования просты и аккуратны.

Следующие операторные тождества вытекают из действия операторов рождения и уничтожения бозонов на состояние Фока:

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

Эти коммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения бозонов. Тот факт, что волновая функция бозонов многих тел симметрична относительно обмена частицами, также проявляется в коммутации операторов бозонов.

Операторы повышения и понижения квантового гармонического осциллятора также удовлетворяют тому же набору коммутационных соотношений, подразумевая, что бозоны можно интерпретировать как кванты энергии (фононы) осциллятора. Операторы положения и импульса гармонического осциллятора (или набора гармонических колебательных мод) задаются эрмитовыми комбинациями операторов рождения и уничтожения фононов,

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

которые воспроизводят каноническое коммутационное соотношение между операторами положения и импульса (с )${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}$

Эта идея обобщена в квантовой теории поля , которая рассматривает каждую моду поля материи как осциллятор, подверженный квантовым флуктуациям, а бозоны трактуются как возбуждения (или кванты энергии) поля.

Оператор рождения (уничтожения) фермиона обычно обозначается как ( ). Оператор рождения добавляет фермион к одночастичному состоянию , а оператор уничтожения удаляет фермион из одночастичного состояния .${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Оператор рождения (уничтожения) фермиона является линейным оператором, действие которого на N -частичную первично квантованную волновую функцию определяется как${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

где вставляет одночастичное состояние в возможные позиции вставки антисимметрично и удаляет одночастичное состояние из возможных позиций удаления антисимметрично.${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N}$

Особенно поучительно рассматривать результаты операторов создания и уничтожения в состояниях двух (или более) фермионов, поскольку они демонстрируют эффекты обмена. Несколько иллюстративных операций приведены в примере ниже. Полную алгебру для операторов создания и уничтожения в состоянии двух фермионов можно найти в Квантовой фотонике . ^[8]

Здесь и далее символ тензора между одночастичными состояниями опускается для простоты. Возьмем состояние , попытка создать еще один фермион на занятом состоянии погасит всю многочастичную волновую функцию,${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

Уничтожить фермион в состоянии, взять состояние ,${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

Знак минус (известный как знак фермиона) появляется из-за антисимметричного свойства волновой функции фермиона.

Начиная с одномодового вакуумного состояния , применяя оператор рождения фермионов , ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

Если одночастичное состояние пусто, оператор рождения заполнит состояние фермионом. Однако, если состояние уже занято фермионом, дальнейшее применение оператора рождения погасит состояние, демонстрируя принцип исключения Паули , что два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же состояние одновременно. Тем не менее, фермион может быть удален из занятого состояния оператором уничтожения фермиона , ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle c_{\alpha }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

Состояние вакуума гасится под действием оператора уничтожения.

Подобно случаю бозона, фермионное состояние Фока может быть построено из вакуумного состояния с использованием оператора рождения фермиона

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Легко проверить (перебором), что

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

что означает, что определяет оператор числа фермионов.${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$

Полученный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние фермионов.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$^[9]

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Напомним, что число заполнения может принимать только 0 или 1 для фермионов. Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов создания и уничтожения фермионов в формализме вторичного квантования. Обратите внимание, что структура знака фермиона , также известная как струна Джордана-Вигнера , требует, чтобы существовал предопределенный порядок состояний одной частицы ( спиновая структура ) ^{[ необходимо разъяснение ]} и включает подсчет чисел заполнения фермионов всех предыдущих состояний; поэтому операторы создания и уничтожения фермионов считаются в некотором смысле нелокальными. Это наблюдение приводит к идее, что фермионы являются возникающими частицами в дальнодействующей запутанной локальной системе кубитов . ^[10]${\displaystyle n_{\alpha }}$${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Следующие операторные тождества вытекают из действия операторов рождения и уничтожения фермионов на состояние Фока:

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

Эти антикоммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения фермионов. Тот факт, что фермионная волновая функция многих тел является антисимметричной относительно обмена частицами, также проявляется в антикоммутации фермионных операторов.

Операторы рождения и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором ( ). Эрмитова комбинация операторов рождения и уничтожения фермионов${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

называются фермионными операторами Майораны. Их можно рассматривать как фермионный аналог операторов положения и импульса "фермионного" гармонического осциллятора. Они удовлетворяют антикоммутационному соотношению

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

где обозначает любые фермионные операторы Майораны на равных основаниях (независимо от их происхождения от Re или Im комбинации комплексных фермионных операторов ). Соотношение антикоммутации указывает, что фермионные операторы Майораны порождают алгебру Клиффорда , которая может быть систематически представлена ​​как операторы Паули в многочастичном гильбертовом пространстве.${\displaystyle i,j}$${\displaystyle c_{\alpha }}$

Определяя как общий оператор уничтожения (рождения) для одночастичного состояния , которое может быть как фермионным, так и бозонным , реальное пространственное представление операторов определяет операторы квантового поля и посредством${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

Это операторы вторичного квантования с коэффициентами и , которые являются обычными волновыми функциями первичного квантования . Таким образом, например, любые ожидаемые значения будут обычными волновыми функциями первичного квантования. Грубо говоря, это сумма всех возможных способов добавить частицу в систему в положение r через любое из базисных состояний , не обязательно плоские волны, как показано ниже.${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$

Поскольку и являются операторами вторичного квантования, определенными в каждой точке пространства, их называют квантовыми полевыми операторами. Они подчиняются следующим фундаментальным коммутаторным и антикоммутационным соотношениям:${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$бозонные поля,

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$фермионные поля.

Для однородных систем часто желательно выполнить преобразование между реальным пространством и представлениями импульса, поэтому операторы квантовых полей в базисе Фурье дают:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$

Термин «вторичное квантование», введенный Джорданом ^[11], является неправильным названием, которое сохранилось по историческим причинам. В начале квантовой теории поля ошибочно считалось, что уравнение Дирака описывает релятивистскую волновую функцию (отсюда устаревшая интерпретация «моря Дирака»), а не классическое спинорное поле, которое при квантовании (как скалярное поле) давало фермионное квантовое поле (в отличие от бозонного квантового поля).

Мы не квантуем «снова», как можно было бы предположить по термину «второй»; квантуемое поле — это не волновая функция Шредингера , которая была получена в результате квантования частицы, а классическое поле (такое как электромагнитное поле или поле спинора Дирака ), по сути, совокупность связанных осцилляторов, которая ранее не была квантована. Мы просто квантуем каждый осциллятор в этой совокупности, переходя от полуклассического рассмотрения системы к полностью квантово-механическому.

• Каноническое квантование
• Первая квантизация
• Геометрическое квантование
• Квантование (физика)
• функционал Шредингера
• Теория скалярного поля

Второе квантование на Викиверситете