Действительная форма (теория лжи)

Группы Ли и алгебры Ли
Классические группы Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n )
Простые группы Ли Классическая А н Б н С н Д н Исключительный Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 Е 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидов
Алгебры Ли Соответствие группа Ли–алгебра Ли Экспоненциальная карта Сопряженное представление Форма убийства Индекс Простая алгебра Ли Алгебра циклов Аффинная алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Действительная форма Усложнение Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представления Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема о наибольшем весе Теорема Бореля–Вейля–Ботта
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вайль Клод Шеваллей Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
в т е

В математике понятие действительной формы связывает объекты, определенные над полем действительных и комплексных чисел . Действительная алгебра Ли g 0 _{называется} действительной формой комплексной алгебры Ли g , если g является комплексификацией g ₀ :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

Понятие действительной формы может быть определено также для комплексных групп Ли . Действительные формы комплексных полупростых групп Ли и алгебр Ли были полностью классифицированы Эли Картаном .

Используя соответствие Ли между группами Ли и алгебрами Ли , можно определить понятие действительной формы для групп Ли. В случае линейных алгебраических групп понятия комплексификации и действительной формы имеют естественное описание на языке алгебраической геометрии .

Так же, как комплексные полупростые алгебры Ли классифицируются диаграммами Дынкина , вещественные формы полупростой алгебры Ли классифицируются диаграммами Сатаке , которые получаются из диаграммы Дынкина комплексной формы путем маркировки некоторых вершин черным цветом (заполненными) и соединения некоторых других вершин попарно стрелками в соответствии с определенными правилами.

Основным фактом в структурной теории комплексных полупростых алгебр Ли является то, что каждая такая алгебра имеет две специальные действительные формы: одна является компактной действительной формой и соответствует компактной группе Ли при соответствии Ли (ее диаграмма Сатаке имеет все зачерненные вершины), а другая является расщепляемой действительной формой и соответствует группе Ли, которая максимально далека от компактности (ее диаграмма Сатаке не имеет зачерненных вершин и стрелок). В случае комплексной специальной линейной группы SL ( n , C ) компактная действительная форма является специальной унитарной группой SU ( n ), а расщепляемая действительная форма является действительной специальной линейной группой SL ( n , R ). Классификация действительных форм полупростых алгебр Ли была выполнена Эли Картаном в контексте римановых симметрических пространств . В общем случае может быть более двух действительных форм.

Предположим, что g ₀ — полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел. По критерию Картана форма Киллинга невырождена и может быть диагонализирована в подходящем базисе с диагональными элементами +1 или −1. По закону инерции Сильвестра число положительных элементов, или положительный индекс инерции, является инвариантом билинейной формы, т. е. не зависит от выбора диагонализующего базиса. Это число между 0 и размерностью g , которое является важным инвариантом действительной алгебры Ли, называемым ее индексом .

Действительная форма g ₀ конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли g называется расщепляемой , или нормальной , если в каждом разложении Картана g ₀ = k ₀  ⊕  p ₀ пространство p ₀ содержит максимальную абелеву подалгебру g ₀ , т. е. ее подалгебру Картана . Эли Картан доказал, что каждая комплексная полупростая алгебра Ли g имеет расщепляемую вещественную форму, которая единственна с точностью до изоморфизма. ^[1] Она имеет максимальный индекс среди всех действительных форм.

Разделенная форма соответствует диаграмме Сатаке без зачерненных вершин и стрелок.

Действительная алгебра Ли g ₀ называется компактной , если форма Киллинга отрицательно определена , т.е. индекс g ₀ равен нулю. В этом случае g ₀  =  k ₀ является компактной алгеброй Ли . Известно, что при соответствии Ли компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли .

Компактная форма соответствует диаграмме Сатаке , в которой все вершины зачернены.

В общем случае построение компактной вещественной формы использует структурную теорию полупростых алгебр Ли. Для классических алгебр Ли существует более явная конструкция.

Пусть g ₀ — действительная алгебра Ли матриц над R , замкнутая относительно транспонированного отображения,

${\displaystyle X\to {X}^{t}.}$

Тогда g ₀ разлагается в прямую сумму своей кососимметричной части k ₀ и своей симметричной части p ₀ . Это разложение Картана :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.}$

Комплексификация g матрицы g ₀ разлагается в прямую сумму g ₀ и ig ₀ . Действительное векторное пространство матриц

${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}}$

— подпространство комплексной алгебры Ли g , замкнутое относительно коммутаторов и состоящее из косоэрмитовых матриц . Отсюда следует, что u ₀ — вещественная подалгебра Ли g , что ее форма Киллинга отрицательно определена (что делает ее компактной алгеброй Ли), и что комплексификация u ₀ — это g . Следовательно, u ₀ — компактная форма g .

• Комплексификация (группа Ли)