Суперсимметрическая алгебра

В теоретической физике алгебра суперсимметрии (или алгебра SUSY ) — это математический формализм для описания связи между бозонами и фермионами . Алгебра суперсимметрии содержит не только алгебру Пуанкаре и компактную подалгебру внутренних симметрий, но также содержит некоторые фермионные суперзаряды, преобразующиеся в сумму N действительных спинорных представлений группы Пуанкаре . Такие симметрии допускаются теоремой Хаага–Лопушаньского–Сониуса . При N > 1 говорят, что алгебра имеет расширенную суперсимметрию . Алгебра суперсимметрии является полупрямой суммой центрального расширения алгебры суперПуанкаре компактной алгеброй Ли B внутренних симметрий.

Бозонные поля коммутируют, а фермионные поля антикоммутируют. Для того чтобы иметь преобразование, связывающее два вида полей, требуется введение Z ₂ -градуировки, при которой четные элементы являются бозонными, а нечетные — фермионными. Такая алгебра называется супералгеброй Ли .

Так же, как можно иметь представления алгебры Ли , можно иметь представления супералгебры Ли , называемые супермультиплетами . Для каждой алгебры Ли существует связанная с ней группа Ли , которая является связной и односвязной , единственной с точностью до изоморфизма , и представления алгебры могут быть расширены для создания представлений групп . Таким же образом представления супералгебры Ли иногда могут быть расширены до представлений супергруппы Ли .

Общая алгебра суперсимметрии для пространственно-временного измерения d и с фермионной частью, состоящей из суммы N неприводимых действительных спинорных представлений, имеет структуру вида

( П × Я ). Q .( Л × В )

где

• P — бозонная абелева векторная нормальная подалгебра размерности d , обычно отождествляемая с трансляциями пространства-времени. Это векторное представление L.
• Z — скалярная бозонная алгебра в центре, элементы которой называются центральными зарядами.
• Q — абелева фермионная спинорная субфакторная алгебра, представляющая собой сумму N действительных спинорных представлений L . (Когда сигнатура пространства-времени делится на 4, существуют два различных спинорных представления L , поэтому существует некоторая двусмысленность относительно структуры Q как представления L .) Элементы Q , или, скорее, их обратные образы в алгебре суперсимметрии, называются суперзарядами. Подалгебра ( P × Z ). Q иногда также называется алгеброй суперсимметрии и является нильпотентной длиной не более 2, при этом скобка Ли двух суперзарядов лежит в P × Z .
• L — бозонная подалгебра, изоморфная алгебре Лоренца в d измерениях, размерности d ( d –1)/2
• B — скалярная бозонная подалгебра, заданная алгеброй Ли некоторой компактной группы, называемой группой внутренних симметрий. Она коммутирует с P , Z , и L , но может действовать нетривиально на суперзарядах Q .

Термины «бозонный» и «фермионный» относятся к четным и нечетным подпространствам супералгебры.

Термины «скаляр», «спинор», «вектор» относятся к поведению подалгебр под действием алгебры Лоренца L.

Число N — это число неприводимых действительных спиновых представлений. Когда сигнатура пространства-времени делится на 4, это неоднозначно, поскольку в этом случае существуют два различных неприводимых действительных спинорных представления, и число N иногда заменяется парой целых чисел ( N ₁ , N ₂ ).

Алгебра суперсимметрии иногда рассматривается как действительная супералгебра, а иногда как комплексная алгебра с эрмитовым сопряжением. Эти два взгляда по сути эквивалентны, поскольку действительная алгебра может быть построена из комплексной алгебры путем взятия косоэрмитовых элементов, а комплексная алгебра может быть построена из действительной путем взятия тензорного произведения с комплексными числами .

Бозонная часть супералгебры изоморфна произведению алгебры Пуанкаре P.L на алгебру Z × B внутренних симметрий .

Если N > 1, то говорят, что алгебра имеет расширенную суперсимметрию .

Когда Z тривиален, подалгебра P . Q . L является супералгеброй Пуанкаре .

• Символы Адинкра
• Супер-алгебра Пуанкаре
• Суперконформная алгебра
• Алгебры суперсимметрии в измерениях 1 + 1
• N = 2 суперконформная алгебра

• Баггер, Джонатан; Весс, Джулиус (1992), Суперсимметрия и супергравитация, Принстонская серия по физике (2-е изд.), Princeton University Press , ISBN 0-691-02530-4, МР  1152804
• Хааг, Рудольф ; Сониус, Мартин; Лопушанский, Ян Т. (1975), «Все возможные генераторы суперсимметрий S-матрицы», Nuclear Physics B , 88 (2): 257– 274, Bibcode : 1975NuPhB..88..257H, doi : 10.1016/0550-3213(75)90279-5, MR  0411396