Специальная унитарная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

В математике специальная унитарная группа степени n , обозначаемая SU( n ) , представляет собой группу Ли унитарных матриц размера n × n с определителем 1.

Матрицы более общей унитарной группы могут иметь комплексные определители с абсолютным значением 1, а не действительной 1 в частном случае.

Групповая операция — матричное умножение . Специальная унитарная группа — это нормальная подгруппа унитарной группы U( n ) , состоящая из всех унитарных матриц n × n . Как компактная классическая группа , U( n ) — это группа, которая сохраняет стандартное скалярное произведение на . ^[a] Она сама является подгруппой общей линейной группы ,${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Группы SU( n ) находят широкое применение в Стандартной модели физики элементарных частиц , особенно SU(2) в электрослабом взаимодействии и SU(3) в квантовой хромодинамике . ^[1]

Простейший случай, SU(1) , является тривиальной группой , имеющей только один элемент. Группа SU(2) изоморфна группе кватернионов нормы 1 и, таким образом, диффеоморфна 3-сфере . Поскольку единичные кватернионы могут быть использованы для представления вращений в 3-мерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из SU(2) в группу вращений SO(3), ядром которой является {+ I , − I } . ^[b] Поскольку кватернионы можно идентифицировать как четную подалгебру алгебры Клиффорда Cl(3) , SU(2) фактически идентична одной из групп симметрии спиноров , Spin (3), что позволяет осуществлять спинорное представление вращений.

Специальная унитарная группа SU( n ) является строго вещественной группой Ли (по сравнению с более общей комплексной группой Ли ). Ее размерность как вещественного многообразия равна n ² − 1 . Топологически она компактна и односвязна . ^[2] Алгебраически это простая группа Ли (что означает, что ее алгебра Ли проста; см. ниже). ^[3]

Центр SU ( n ) изоморфен циклической группе и состоит из диагональных матриц ζ I , где ζ — корень n -й степени из единицы, и I — единичная матрица размера n × n . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Его внешняя группа автоморфизмов при n ≥ 3 равна , тогда как внешняя группа автоморфизмов SU(2) является тривиальной группой .${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

Максимальный тор ранга n − 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1. Группа Вейля SU ( n ) — это симметрическая группа S _n , представленная знаковыми матрицами перестановок ( знаки необходимы для того, чтобы определитель был равен 1 ).

Алгебра Ли SU ( n ) , обозначаемая как , может быть идентифицирована с множеством бесследовых антиэрмитовых n × n комплексных матриц с регулярным коммутатором в качестве скобки Ли. Физики, изучающие элементарные частицы , часто используют другое, эквивалентное представление: множество бесследовых эрмитовых n × n комплексных матриц со скобкой Ли, заданной как − i, умноженной на коммутатор.${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Алгебра Ли состоит из n × n косоэрмитовых матриц со следом нулевым. ^[4] Эта (действительная) алгебра Ли имеет размерность n ² − 1 . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в § Структура алгебры Ли .${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

В физической литературе принято отождествлять алгебру Ли с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц со следом ноль. То есть, алгебра Ли физиков отличается от алгебры Ли математиков на фактор. При таком соглашении можно выбрать генераторы T _{a ,} которые являются эрмитовыми комплексными матрицами n × n без следа , где:${\displaystyle i}$

$${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$

где f — структурные константы , антисимметричные по всем индексам, тогда как d -коэффициенты симметричны по всем индексам.

В результате коммутатор имеет вид:

$${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$

и соответствующий антикоммутатор:

$${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

Множитель i в коммутационном соотношении возникает из-за физических соглашений и отсутствует при использовании математических соглашений.

Обычное условие нормализации:

$${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

Генераторы удовлетворяют тождеству Якоби: ^[5]

$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

По соглашению, в физической литературе генераторы определяются как бесследовые эрмитовы комплексные матрицы с префактором: для группы генераторы выбираются как где — матрицы Паули , в то время как для случая определяется где — матрицы Гелл-Манна . ^[6] При таких определениях генераторы удовлетворяют следующему условию нормировки:${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$${\displaystyle \lambda _{a}}$

$${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

В ( n ² − 1) -мерном сопряженном представлении генераторы представлены матрицами ( n ² − 1) × ( n ² − 1) , элементы которых определяются самими структурными константами:

$${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

Используя матричное умножение для бинарной операции, SU(2) образует группу, ^[7]

$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$$

где верхняя черта обозначает комплексное сопряжение .

Если мы рассмотрим пару в , где и , то уравнение примет вид${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \alpha =a+bi}$${\displaystyle \beta =c+di}$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

Это уравнение 3-сферы S ³ . Это также можно увидеть с помощью вложения: отображение

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

где обозначает множество комплексных матриц 2 на 2, является инъективным вещественным линейным отображением (рассматривая диффеоморфные и диффеоморфные ). Следовательно, ограничение φ на 3 - сферу ( поскольку модуль равен 1 ), обозначаемое S ³ , является вложением 3-сферы на компактное подмногообразие , а именно φ ( S ³ ) = SU(2) .${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

Следовательно, как многообразие, S ³ диффеоморфно SU(2) , что показывает, что SU (2) односвязно и что S ³ можно наделить структурой компактной связной группы Ли .

Кватернионы нормы 1 называются версорами , поскольку они порождают группу вращения SO(3) : Матрица SU(2) :

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$

может быть отображено в кватернион

$${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

Это отображение на самом деле является групповым изоморфизмом . Кроме того, определитель матрицы является квадратом нормы соответствующего кватерниона. Очевидно, что любая матрица в SU(2) имеет этот вид, и поскольку ее определитель равен  1 , соответствующий кватернион имеет норму 1. Таким образом, SU(2) изоморфна группе версоров. ^[8]

Каждый версор естественным образом связан с пространственным вращением в 3 измерениях, а произведение версоров связано с композицией связанных вращений. Более того, каждое вращение возникает ровно из двух версоров таким образом. Короче говоря: существует сюръективный гомоморфизм 2:1 из SU(2) в SO(3) ; следовательно, SO(3) изоморфна фактор-группе SU(2)/{±I} , многообразие, лежащее в основе SO(3), получается путем идентификации антиподальных точек 3-сферы S ³ , а SU(2) является универсальным покрытием SO(3) .

Алгебра Ли SU (2) состоит из 2 × 2 косоэрмитовых матриц со следом нулевым. ^[9] Явно это означает, что

$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

Алгебра Ли затем генерируется следующими матрицами:

$${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$

которые имеют форму общего элемента, указанного выше.

Это также можно записать с использованием матриц Паули .${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

Они удовлетворяют кватернионным соотношениям и поэтому скобка коммутатора определяется как${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

$${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

Вышеуказанные генераторы связаны с матрицами Паули соотношением и Это представление обычно используется в квантовой механике для представления спина фундаментальных частиц, таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших 3 пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации . Они также соответствуют вентилям Паули X, Y и Z , которые являются стандартными генераторами для вентилей с одним кубитом, соответствующих 3d вращениям вокруг осей сферы Блоха .${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Алгебра Ли служит для разработки представлений SU(2) .

Группа SU(3) представляет собой 8-мерную простую группу Ли, состоящую из всех унитарных матриц размера 3 × 3 с определителем 1.

Группа SU(3) является односвязной компактной группой Ли. ^[10] Ее топологическую структуру можно понять, заметив, что SU(3) действует транзитивно на единичной сфере в . Стабилизатор произвольной точки сферы изоморфен SU(2) , которая топологически является 3-сферой. Тогда следует, что SU(3) является расслоением над базой S ⁵ со слоем S ³ . Поскольку слои и база односвязны, односвязность SU(3) следует из стандартного топологического результата ( длинная точная последовательность гомотопических групп для расслоений). ^[11]${\displaystyle S^{5}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

Расслоения SU (2) над S ⁵ классифицируются по , поскольку любое такое расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения на двух полусферах и рассматривая функцию перехода на их пересечении, которая является копией S ⁴ , поэтому${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

Затем все такие функции перехода классифицируются по гомотопическим классам отображений

$${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$

и как , а не , SU(3) не может быть тривиальным расслоением SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ , и поэтому должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, посмотрев на индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Теория представлений SU(3) хорошо изучена. ^[12] Описания этих представлений с точки зрения ее комплексифицированной алгебры Ли можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша–Гордана для SU(3) .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Генераторы T алгебры Ли SU (3) в определяющем (физика элементарных частиц, эрмитовом) представлении имеют вид${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

$${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$

где λ _a , матрицы Гелл-Манна , являются аналогами SU(3) матриц Паули для SU(2) :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Эти λ _a охватывают все бесследовые эрмитовы матрицы H алгебры Ли , как и требовалось. Обратите внимание, что λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$

или, что то же самое,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

f — структурные константы алгебры Ли, определяемые формулой

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$

в то время как все остальные f _abc, не связанные с ними перестановкой, равны нулю. В общем случае они исчезают, если только не содержат нечетное число индексов из набора {2, 5, 7} . ^[c]

Симметричные коэффициенты d принимают значения

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

Они исчезают, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетно.

Элемент группы SU(3) общего вида , сгенерированный бесследовой эрмитовой матрицей H размером 3×3 , нормализованной как tr( H ² ) = 2 , может быть выражен как матричный полином второго порядка по H : ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ЛП где

$${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

Как отмечено выше, алгебра Ли SU ( n ) состоит из n × n косоэрмитовых матриц со следом ноль. ^[14]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Комплексификация алгебры Ли — это пространство всех n × n комплексных матриц со следом ноль. ^[15] Подалгебра Картана тогда состоит из диагональных матриц со следом ноль, ^[16] которые мы отождествляем с векторами, в которых сумма элементов равна нулю. Корни тогда состоят из всех n ( n − 1) перестановок (1, −1, 0, ..., 0) .${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Выбор простых корней

$${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$$

Итак, SU( n ) имеет ранг n − 1 , а его диаграмма Дынкина задается как A _{n −1} , цепочка из n − 1 узлов:.... ^[17] Его матрица Картана

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$$

Его группа Вейля или группа Кокстера — это симметрическая группа S _n , группа симметрии ( n − 1) - симплекса .

Для поля F обобщенная специальная унитарная группа над F , SU( p , q ; F ) , является группой всех линейных преобразований определителя 1 векторного пространства ранга n = p + q над F , которые оставляют инвариантной невырожденную эрмитову форму сигнатуры ( p , q ) . Эту группу часто называют специальной унитарной группой сигнатуры p q над F . Поле F можно заменить коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .

В частности, зафиксируем эрмитову матрицу A сигнатуры p q в , тогда все${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$$

удовлетворять

$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$$

Часто можно увидеть обозначение SU( p , q ) без ссылки на кольцо или поле; в этом случае кольцо или поле, о котором идет речь, есть и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для A , когда есть${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$$

Однако для некоторых размерностей могут быть лучшие варианты для A , которые демонстрируют лучшее поведение при ограничении подколец .${\displaystyle \mathbb {C} }$

Важным примером такого типа группы является модулярная группа Пикара , которая действует (проективно) на комплексном гиперболическом пространстве размерности два, таким же образом, как действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Францикс и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область для действия этой группы на HC ² . ^[18]${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

Еще одним примером является , который изоморфен .${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

В физике специальная унитарная группа используется для представления фермионных симметрий. В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU( n ), которые важны в физике GUT , для p > 1, n − p > 1 ,

$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$$

где × обозначает прямое произведение , а U(1) , известная как группа круга , является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением  1.

Для полноты картины существуют также ортогональная и симплектическая подгруппы,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$$

Поскольку ранг SU ( n ) равен n − 1 , а U(1) равен 1, полезной проверкой является то, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. SU( n ) является подгруппой различных других групп Ли,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$$См. Спиновую группу и Простую группу Ли для E ₆ , E ₇ и G ₂ .

Существуют также случайные изоморфизмы : SU(4) = Spin(6) , SU(2) = Spin(3) = Sp(1) , ^[d] и U(1) = Spin(2) = SO(2) .

Наконец, можно упомянуть, что SU(2) является двойной охватывающей группой SO (3) , отношения, которое играет важную роль в теории вращений 2- спиноров в нерелятивистской квантовой механике .

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$где обозначает комплексно сопряженное число комплексного числа u .${\displaystyle ~u^{*}~}$

Эта группа изоморфна SL(2,ℝ) и Spin(2,1) ^[19] , где числа, разделенные запятой, относятся к сигнатуре квадратичной формы, сохраняемой группой. Выражение в определении SU(1,1) является эрмитовой формой , которая становится изотропной квадратичной формой, когда u и v расширяются с их действительными компонентами.${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

Раннее появление этой группы было в виде «единичной сферы» кокватернионов , введенной Джеймсом Коклем в 1852 году. Пусть

$${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$$

Тогда матрица тождественности 2×2, и и элементы i, j и k все антикоммутируют , как в кватернионах . Также все еще является квадратным корнем из − I ₂ (отрицательно единичной матрицы), тогда как не являются, в отличие от кватернионов. Для обоих кватернионов и кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные I ₂ и обозначаются как 1 .${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$${\displaystyle ~k\,i=j~,}$${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

Кокватернион со скаляром w имеет сопряжение, подобное кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма имеет вид${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Обратите внимание, что 2-полостный гиперболоид соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любая точка p на этом гиперболоиде может быть использована в качестве полюса синусоидальной волны согласно формуле Эйлера .${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

Гиперболоид стабилен относительно SU(1, 1) , что иллюстрирует изоморфизм со Spin(2, 1) . Изменчивость полюса волны, как отмечено в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом .${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$ Модель сферы Пуанкаре, используемая с 1892 года, была сравнена с моделью 2-слойного гиперболоида ^[20] , и была введена практика интерферометрии SU(1, 1) .

Когда элемент SU(1, 1) интерпретируется как преобразование Мёбиуса , он оставляет единичный диск стабильным, поэтому эта группа представляет движения модели диска Пуанкаре гиперболической плоской геометрии. Действительно, для точки [ z, 1 ] на комплексной проективной прямой действие SU(1,1) задается как

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}=[\;u\,z+v,\,v^{*}\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v}{v^{*}z+u^{*}}},\,1\;\right]}$$

так как в проективных координатах ${\displaystyle (\;u\,z+v,\;v^{*}\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v\,}{v^{*}\,z+u^{*}}},\;1\;\right).}$

Написание арифметических шоу с комплексными числами${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

$${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v^{*}\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$$где${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$

Следовательно, так что их отношение лежит в открытом диске. ^[21]${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v{\bigr |}<{\bigl |}\,v^{*}\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

• Унитарная группа
• Проективная специальная унитарная группа , PSU( n )
• Ортогональная группа
• Обобщения матриц Паули
• Теория представлений SU(2)

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и их приложения , Lecture Notes in Physics, т. 708, Springer, ISBN 3540362363