Тензор энергии-напряжения Белинфанте–Розенфельда

В математической физике тензор Белинфанте – Розенфельда представляет собой модификацию тензора энергии-импульса, которая строится из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока таким образом, чтобы он был симметричным, но при этом сохранялся .

В классической или квантовой локальной теории поля генератор преобразований Лоренца можно записать в виде интеграла

${\displaystyle M_{\mu \nu } =\int \mathrm {d} ^{3}x\, {M^{0}}_{\mu \nu }}$

местного течения

${\displaystyle {M^{\mu }}_{\nu \lambda }=(x_ {\nu }{T^{\mu }} _ {\lambda } -x_ {\lambda }{T^{\mu }}_{\nu })+{S^{\mu }}_{\nu \lambda }.}$

Здесь — канонический тензор энергии-импульса, удовлетворяющий , а — вклад собственного (спинового) углового момента . Антисимметрия ${\displaystyle {T^{\mu }} _ {\lambda }}$${\displaystyle \partial _ {\mu }{T^{\mu }}_{\lambda }=0}$${\displaystyle {S^{\mu }}_ {\nu \lambda }}$

${\displaystyle {M^{\mu }} _ {\nu \lambda } = - {M^{\mu }} _ {\lambda \nu }}$

подразумевает антисимметрию

${\displaystyle {S^{\mu }} _ {\nu \lambda } = - {S^{\mu }} _ {\lambda \nu }.}$

Локальное сохранение момента импульса

${\displaystyle \partial _ {\mu }{M^{\mu }}_{\nu \lambda }=0\,}$

требует, чтобы

${\displaystyle \partial _ {\mu }{S^{\mu }} _ {\nu \lambda } = T_ {\lambda \nu }-T_ {\nu \lambda }.}$

Таким образом, источник спинового тока подразумевает несимметричный канонический тензор энергии-импульса.

Тензор Белинфанте–Розенфельда ^{[1] [2]} является модификацией тензора энергии-напряжения

${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\lambda }(S^{\mu \nu \ лямбда }+S^{\nu \mu \lambda }-S^{\lambda \nu \mu })}$

который построен из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока таким образом, чтобы быть симметричным, но при этом сохраняться, т.е. ${\displaystyle {S^{\mu }}_ {\nu \lambda }}$

${\displaystyle \partial _ {\mu }T_ {B}^{\mu \nu }=0.}$

Интеграция по частям показывает, что

${\displaystyle M^{\nu \lambda }=\int (x^{\nu }T_{B}^{0\lambda }-x^{\lambda }T_{B}^{0\nu })\ ,\mathrm {d} ^{3}x,}$

и поэтому физическая интерпретация тензора Белинфанте заключается в том, что он включает в себя «связанный импульс», связанный с градиентами собственного углового момента. Другими словами, добавленный член является аналогом « связанного тока », связанного с плотностью намагниченности .${\displaystyle {\mathbf {J} }_{\text{bound}}=\nabla \times \mathbf {M} }$${\displaystyle {\mathbf {М} }}$

Любопытное сочетание компонентов спинового тока, необходимое для создания симметричного и все еще сохраняющегося, кажется совершенно случайным , но и Розенфельд, и Белинфанте показали, что модифицированный тензор — это именно симметричный тензор энергии-импульса Гильберта, который действует как источник гравитации в общей теории относительности . Так же, как сумма связанных и свободных токов действует как источник магнитного поля, сумма связанной и свободной энергии-импульса действует как источник гравитации.${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }}$

Тензор энергии-импульса Гильберта определяется вариацией функционала действия относительно метрики как${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle S_{\rm {eff}}}$

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}={\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{\mu \nu }\,\delta g^{\mu \nu },}$

или эквивалентно как

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=-{\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T^{\mu \nu }\,\delta g_{\mu \nu }.}$

(Знак минус во втором уравнении возникает потому, что )${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }\delta g_ {\sigma \tau }g^{\tau \nu }}$${\displaystyle \delta (g^{\mu \sigma }g_ {\sigma \tau })=0.}$

Мы также можем определить тензор энергии-импульса , варьируя ортонормальный тензор Минковского, чтобы получить${\displaystyle T_{cb}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left({\frac {\delta S}{\delta e_{a}^{\ mu }}}\right)\delta e_{a}^{\mu }\equiv \int d^{n}x{\sqrt {g}}\left(T_{cb}\eta ^{ca}e_{ \mu }^{*b}\right)\delta e_{a}^{\mu }.}$

Здесь представлена ​​метрика Минковского для ортонормированной системы координат Вирбейна, а — ковекторы, двойственные Вирбейнам.${\displaystyle \eta _{ab}={\bf {e}}_{a}\cdot {\bf {e}}_{b}}$${\displaystyle {\bf {e}}^{*b}}$

С вариацией Вирбейна нет очевидной причины для того, чтобы быть симметричным. Однако функционал действия должен быть инвариантным относительно бесконечно малого локального преобразования Лоренца , , и так${\displaystyle T_{cb}}$${\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a})}$${\displaystyle \delta e_{a}^{\mu }=e_{b}^{\mu }{\theta ^{b}}_{a}(x)}$${\displaystyle \theta ^{ab}=-\theta ^{ba}}$

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}e_{d}^{\mu }{\theta ^{d}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}{\theta ^{b}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\theta ^{bc}(x),}$

должно быть равно нулю. Поскольку — произвольная позиционно-зависимая кососимметричная матрица, мы видим, что локальная инвариантность Лоренца и вращения требует и подразумевает, что .${\displaystyle \theta ^{bc}(x)}$${\displaystyle T_{bc}=T_{cb}}$

Как только мы узнаем, что симметрично, легко показать, что , и, таким образом, тензор энергии-импульса вариации Вирбейна эквивалентен тензору Гильберта вариации метрики.${\displaystyle T_{ab}}$${\displaystyle T_{ab}=e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }T_{\mu \nu }}$

Теперь мы можем понять происхождение модификации Белинфанте–Розенфельда канонического тензора энергии-импульса Нётер. Возьмем действие, чтобы быть где есть спиновая связь , которая определяется через условие метрической совместимости и отсутствия кручения. Спиновый ток тогда определяется вариацией${\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a},{\omega }_{\mu }^{ab})}$${\displaystyle {\omega }_{\mu }^{ab}}$${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$${\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}}$

${\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}={\frac {2}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta \omega _{\mu }^{ab}}}\right)\right|_{{\bf {e}}_{a}}}$

вертикальная черта обозначает, что удерживаются фиксированными во время изменения. «Канонический» тензор энергии-импульса Нётер — это часть, которая возникает из изменения, где мы сохраняем фиксированной спиновую связь:${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$${\displaystyle T_{cb}^{(0)}}$

${\displaystyle T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\right|_{\omega _{\mu }^{ab}}.}$

Затем

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\delta e_{a}^{\mu }+{\frac {1}{2}}{S^{\mu }}_{ab}\delta {\omega ^{ab}}_{\mu }\right\}.}$

Теперь, для соединения без кручения и совместимого с метрикой, мы имеем, что

${\displaystyle (\delta \omega _{ij\mu })e_{k}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\left\{(\nabla _{j}\delta e_{ik}-\nabla _{k}\delta e_{ij})+(\nabla _{k}\delta e_{ji}-\nabla _{i}\delta e_{jk})-(\nabla _{i}\delta e_{kj}-\nabla _{j}\delta e_{ki})\right\},}$

где мы используем обозначение

${\displaystyle \delta e_{ij}={\bf {e}}_{i}\cdot \delta {\bf {e}}_{j}=\eta _{ib}[e_{\alpha }^{*b}\delta e_{j}^{\alpha }].}$

Используя вариацию спин-связности и после интегрирования по частям, находим

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}+{\frac {1}{2}}\nabla _{a}({S_{bc}}^{a}+{S_{cb}}^{a}-{S^{a}}_{bc})\right\}\eta ^{cd}e_{\mu }^{*b}\,\delta e_{d}^{\mu }.}$

Таким образом, мы видим, что поправки к каноническому тензору Нётер, которые появляются в тензоре Белинфанте–Розенфельда, возникают из-за того, что нам необходимо одновременно изменять вирбейн и спиновую связь, если мы хотим сохранить локальную лоренц-инвариантность.

В качестве примера рассмотрим классический лагранжиан для поля Дирака

${\displaystyle \int d^{d}x{\sqrt {g}}\left\{{\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }\nabla _{\mu }\Psi -(\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }})e_{a}^{\mu }\gamma ^{a}\Psi \right)+m{\bar {\Psi }}\Psi \right\}.}$

Здесь спинорные ковариантные производные имеют вид

${\displaystyle \nabla _{\mu }\Psi =\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}+{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right)\Psi ,}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\Psi }}=\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right){\bar {\Psi }}.}$

Поэтому мы получаем

${\displaystyle T_{bc}^{(0)}={\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma _{c}(\nabla _{b}\Psi )-(\nabla _{b}{\bar {\Psi }})\gamma _{c}\Psi \right),}$

${\displaystyle {S^{a}}_{bc}={\frac {i}{8}}{\bar {\Psi }}\{\gamma ^{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}\Psi .}$

Если мы используем уравнения движения, то никакого вклада нет , т.е. мы находимся на оболочке.${\displaystyle {\sqrt {g}}}$

Сейчас

${\displaystyle \{\gamma _{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}=4\gamma _{a}\gamma _{b}\gamma _{c},}$

если различны и равны нулю в противном случае. Как следствие полностью антисимметричны. Теперь, используя этот результат и снова уравнения движения, мы находим, что${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle S_{abc}}$

${\displaystyle \nabla _{a}{S^{a}}_{bc}=T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)}.}$

Таким образом, тензор Белинфанте–Розенфельда становится

${\displaystyle T_{bc}=T_{bc}^{(0)}+{\frac {1}{2}}(T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)})={\frac {1}{2}}(T_{bc}^{(0)}+T_{cb}^{(0)}).}$

Таким образом, тензор Белинфанте–Розенфельда для поля Дирака представляется симметризованным каноническим тензором энергии-импульса.

Стивен Вайнберг определил тензор Белинфанте как ^[3]

${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {i}{2}}\partial _{\kappa }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\kappa }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\mu \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \mu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}\right]}$

где — плотность лагранжиана , множество {Ψ} — поля, входящие в лагранжиан, небелинфантовский тензор энергии-импульса определяется как${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}\partial ^{\nu }\Psi ^{\ell }}$

и представляют собой набор матриц, удовлетворяющих алгебре однородной группы Лоренца ^[4]${\displaystyle {\mathcal {J^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle [{\mathcal {J}}^{\mu \nu },{\mathcal {J}}^{\rho \sigma }]=i{\mathcal {J}}^{\rho \nu }\eta ^{\mu \sigma }-i{\mathcal {J}}^{\sigma \nu }\eta ^{\mu \rho }-i{\mathcal {J}}^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }+i{\mathcal {J}}^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$.