Октаэдр

Многогранник с восемью треугольными гранями

В геометрии октаэдр ( мн. ч . октаэдры или октаэдры ) — многогранник с восемью гранями. Особым случаем является правильный октаэдр , Платоново тело , состоящее из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых встречаются в каждой вершине. Правильные октаэдры встречаются в природе в виде кристаллических структур. Также существует множество типов неправильных октаэдров, включая как выпуклые , так и невыпуклые формы.

Правильный октаэдр — это трехмерный случай более общей концепции кросс-политопа .

Правильный октаэдр

Правильный октаэдр и его двойственный многогранник — куб .

Правильный октаэдр — это октаэдр, который является правильным многогранником . Все грани правильного октаэдра — равносторонние треугольники одинакового размера, и в каждой вершине сходятся ровно четыре треугольника. Правильный октаэдр является выпуклым, что означает, что для любых двух точек внутри него отрезок прямой , соединяющий их, полностью лежит внутри него.

Это один из восьми выпуклых дельтаэдров , потому что все его грани — равносторонние треугольники . ^[1] Это составной многогранник, образованный путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид . ^[2]^[3] Его двойственный многогранник — куб , и они имеют одну и ту же трехмерную группу симметрии — октаэдрическую симметрию . ^[3] $\mathrm {O} _ {\mathrm {h} }$

Как Платоново тело

Правильный октаэдр — одно из Платоновых тел , набор многогранников, грани которых являются конгруэнтными правильными многоугольниками , и одинаковое количество граней сходится в каждой вершине. ^[4] Этот древний набор многогранников был назван в честь Платона , который в своем диалоге « Тимей» связал эти тела с природой. Одно из них, правильный октаэдр, представляло классический элемент ветра . ^[5]

После того, как Платон приписал его природе, Иоганн Кеплер в своей книге Harmonices Mundi набросал каждое из Платоновых тел. ^[5] В своей книге Mysterium Cosmographicum Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, помещая их в другое и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самых внутренних к самым внешним: правильный октаэдр, правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб . ^[6]

Как квадратная бипирамида

Многие октаэдры, представляющие интерес, являются квадратными бипирамидами . ^[7] Квадратная бипирамида — это бипирамида, построенная путем присоединения двух квадратных пирамид основаниями друг к другу. Эти пирамиды покрывают свои квадратные основания, поэтому полученный многогранник имеет восемь треугольных граней. ^[1]

Квадратная бипирамида называется правильной, если квадратные пирамиды симметрично правильные и обе их вершины находятся на прямой, проходящей через центр основания; в противном случае она наклонная. ^[8] Полученная бипирамида имеет трехмерную точечную группу диэдральной группы шестнадцати: внешний вид симметричен при вращении вокруг оси симметрии, проходящей через вершины и центр основания вертикально, и имеет зеркальную симметрию относительно любой биссектрисы основания; она также симметрична при отражении ее относительно горизонтальной плоскости. ^[9] Следовательно, эта квадратная бипирамида является гранетранзитивной или изоэдральной. ^[10] $D_{4\mathrm {h} }$

Если все ребра квадратной бипирамиды имеют одинаковую длину, то эта квадратная бипирамида является правильным октаэдром.

Метрические свойства и декартовы координаты

Площадь поверхности правильного октаэдра можно определить, суммируя все его восемь равносторонних треугольников, тогда как его объем в два раза больше объема квадратной пирамиды; если длина ребра равна , ^[11] Радиус описанной сферы (той, которая касается октаэдра во всех вершинах), радиус вписанной сферы (той, которая касается каждой из граней октаэдра) и радиус средней сферы (той, которая касается середины каждого ребра) равны: ^[12] $А$ $V$ $а$ ${\begin{aligned}A&=2{\sqrt {3}}a^{2}&\approx 3.464a^{2},\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}&\approx 0.471a^{3}.\end{aligned}}$ $r_{u}$ $r_{i}$ $r_{м}$ $r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0,707a,\qquad r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0,408a,\qquad r_{m}={\frac {1}{2}}a=0,5a.$

Двугранный угол правильного октаэдра между двумя соседними треугольными гранями равен 109,47°. Это можно получить из двугранного угла равносторонней квадратной пирамиды: ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями равен двугранному углу равносторонней квадратной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями, а ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями на ребре, в котором прикреплены две равносторонние квадратные пирамиды, равен удвоенному двугранному углу равносторонней квадратной пирамиды между ее треугольной гранью и ее квадратным основанием. ^[13]

Октаэдр с длиной ребра можно поместить так, чтобы его центр находился в начале координат, а вершины — на осях координат; декартовы координаты вершин следующие: В трехмерном пространстве октаэдр с координатами центра и радиусом представляет собой множество всех точек, таких что . ${\sqrt {2}}$ $(\pm 1,0,0),\qquad (0,\pm 1,0),\qquad (0,0,\pm 1).$ $(а,б,в)$ $r$ $(x,y,z)$ $\left|xa\right|+\left|yb\right|+\left|zc\right|=r.$

График

Скелет правильного октаэдра можно представить в виде графа согласно теореме Штейница , при условии, что граф является плоским — его ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра — и 3 -связным графом — его ребра остаются соединенными, когда удаляются две из более чем трех вершин графа. ^[14]^[15] Его граф называется октаэдрическим графом , платоновым графом . ^[4]

Октаэдрический граф можно рассматривать как полный трехдольный граф , граф, разделенный на три независимых множества, каждое из которых состоит из двух противоположных вершин. ^[16] В более общем смысле, это граф Турана . $К_{2,2,2}$ $T_{6,3}$

Октаэдрический граф является 4-связным , что означает, что для разъединения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Другие три многогранника с этим свойством — это пентагональная дипирамида , плосконосый двуклиноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[17]

Связанные цифры

Внутренняя часть соединения двух двойных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение, называемое stella octangula , является его первой и единственной звездчатой формой . Соответственно, правильный октаэдр является результатом отрезания от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т.е. выпрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в серединах ребер тетраэдра, и в этом смысле он соотносится с тетраэдром таким же образом, как кубооктаэдр и икосододекаэдр соотносятся с другими Платоновыми телами.

Можно также разделить ребра октаэдра в отношении золотого сечения , чтобы определить вершины правильного икосаэдра . Это делается путем размещения векторов вдоль ребер октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбиения каждого ребра на золотое сечение вдоль направления его вектора. Пять октаэдров определяют любой заданный икосаэдр таким образом, и вместе они определяют правильное соединение . Правильный икосаэдр, полученный таким образом, называется плосконосым октаэдром . ^[18]

Правильный октаэдр можно рассматривать как антипризму , призмоподобный многогранник, в котором боковые грани заменены чередующимися равносторонними треугольниками. Его также называют тригональной антипризмой . ^[19] Поэтому он обладает свойством квазиправильного многогранника, в котором две различные многоугольные грани чередуются и встречаются в вершине. ^[20]

Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершинную, ребристую и гране-однородную мозаику пространства . Эта мозаика и правильная мозаика кубов являются единственными такими однородными сотами в трехмерном пространстве.

Равномерный тетрагемигексаэдр — это тетраэдрическая симметрия огранки правильного октаэдра, имеющая общее расположение ребер и вершин . Он имеет четыре треугольные грани и 3 центральных квадрата.

Правильный октаэдр — это 3-шар в метрике Манхэттена ( $ℓ$ ₁ ) .

Характерная ортосхема

Как и все правильные выпуклые многогранники, октаэдр можно разбить на целое число непересекающихся ортосхем , все из которых имеют одинаковую форму, характерную для многогранника. Характерная ортосхема многогранника является фундаментальным свойством, поскольку многогранник генерируется отражениями в гранях его ортосхемы. Ортосхема встречается в двух хиральных формах, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Характерная ортосхема правильного многогранника — это четырехпрямоугольный неправильный тетраэдр .

Грани характерного тетраэдра октаэдра лежат в зеркальных плоскостях симметрии октаэдра . Октаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что имеет четное число граней, сходящихся в каждой вершине. Следовательно, он является единственным членом этой группы, обладающим среди своих зеркальных плоскостей некоторыми, которые не проходят ни через одну из его граней. Группа симметрии октаэдра обозначается B ₃ . Октаэдр и его двойственный многогранник , куб , имеют одну и ту же группу симметрии, но разные характерные тетраэдры.

Характерный тетраэдр правильного октаэдра может быть найден путем канонического рассечения ^[21] правильного октаэдракоторый подразделяет его на 48 характерных ортосхемокружающие центр октаэдра. Три левосторонние ортосхемы и три правосторонние ортосхемы встречаются в каждой из восьми граней октаэдра, шесть ортосхем совместно образуют трипрямоугольный тетраэдр : треугольную пирамиду с гранью октаэдра в качестве равностороннего основания и ее кубоугольной вершиной в центре октаэдра. ^[22]

Характеристики правильного октаэдра ^[23]
	край	дуга		двугранный
𝒍	$2$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$	109°28 ′	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155$	54° 44′8 ″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
𝝉 ^[а]	$1$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0,577$	35° 15′52 ″	${\text{𝜿}}$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$

$_{0}Р/л$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$
$_{1}Р/л$	$1$
$_{2}Р/л$	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0,816$

${\text{𝜿}}$		35° 15′52 ″	${\tfrac {{\text{arc сек }}3}{2}}$

Если октаэдр имеет длину ребра 𝒍 = 2, шесть ребер его характеристического тетраэдра имеют длины , , вокруг его внешней прямоугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[a] плюс , , (ребра, являющиеся характеристическими радиусами октаэдра). Путь из 3 ребер вдоль ортогональных ребер ортосхемы — это , , , сначала от вершины октаэдра к центру ребра октаэдра, затем поворот на 90° к центру грани октаэдра, затем поворот на 90° к центру октаэдра. Ортосхема имеет четыре разнородные прямоугольные треугольные грани. Внешняя грань — треугольник 90-60-30, который составляет одну шестую грани октаэдра. Три грани внутри октаэдра: треугольник 45-90-45 со сторонами , , , прямоугольный треугольник со сторонами , , , и прямоугольный треугольник со сторонами , , . ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {2}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {2}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$

Равномерная окраска и симметрия

Существует 3 равномерных окраски октаэдра, названных по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

Группа симметрии октаэдра — Oh _, порядка 48, трехмерная гипероктаэдрическая группа . Подгруппы этой группы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16), группу симметрии квадратной бипирамиды ; и T _d (порядок 24), группу симметрии выпрямленного тетраэдра. Эти симметрии можно подчеркнуть с помощью различной раскраски граней.

Имя	Октаэдр	Выпрямленный тетраэдр (Тетратетраэдр)	Треугольная антипризма	Квадратная бипирамида	Ромбическая фузея
Изображение (Раскраска лица)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Коксетера		=
Символ Шлефли	{3,4}	г{3,3}	с{2,6} ср{2,3}	фут{2,4} { } + {4}	фтр{2,2} { } + { } + { }
Символ Витхоффа	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Симметрия	О , [4,3], (*432 ₎	Т _д , [3,3], (*332)	Д _3д , [2 ⁺ ,6], (2*3) Д ₃ , [2,3] ⁺ , (322)	Д _4ч , [2,4], (*422)	Д _2h , [2,2], (*222)
Заказ	48	24	12 6	16	8

Другие типы октаэдров

Правильный выпуклый многогранник, гиробифастигиум .

Октаэдр может быть любым многогранником с восемью гранями. В предыдущем примере правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер, минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. ^[24] Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, исключая зеркальные изображения. Более конкретно, существует 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 для октаэдров с 6-12 вершинами соответственно. ^[25]^[26] (Два многогранника являются «топологически различными», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменив длины ребер или углы между ребрами или гранями.) Некоторые из многогранников действительно имеют восемь граней, помимо того, что являются квадратными бипирамидами в следующем:

Шестиугольная призма : две грани представляют собой параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов соединяют соответствующие пары ребер шестиугольников.
Семиугольная пирамида : Одна грань — семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней — треугольники (обычно равнобедренные). Все треугольные грани не могут быть равносторонними.
Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усечены и превращены в правильные шестиугольники, а в местах усечения каждой вершины тетраэдра имеется еще четыре грани в виде равносторонних треугольников.
Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней — конгруэнтные воздушные змеи .
Гиробифастигиум : две однородные треугольные призмы, склеенные по одной из своих квадратных сторон так, что ни один треугольник не имеет общего ребра с другим треугольником (тело Джонсона 26).
Усеченный треугольный трапецоэдр , также называемый телом Дюрера: полученный путем усечения двух противоположных углов куба или ромбоэдра, он имеет шесть пятиугольных граней и две треугольные грани. ^[27]
Восьмиугольный осоэдр : вырожден в евклидовом пространстве, но может быть реализован сферически.

Октаэдр Брикара с антипараллелограммом в качестве экватора. Ось симметрии проходит через плоскость антипараллелограмма.

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые соответствуют один к одному его особенностям:

Треугольные антипризмы : Две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные. Правильный октаэдр является особым случаем, в котором шесть боковых треугольников также равносторонние.
Тетрагональные бипирамиды , в которых по крайней мере один из экваториальных четырехугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр является особым случаем, в котором все три четырехугольника являются плоскими квадратами.
Многогранник Шёнхардта — невыпуклый многогранник, который невозможно разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
Октаэдр Брикара , невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно имеют октаэдрическую форму, подобно заполняющим пространство тетраэдрически-октаэдрическим сотам .
Пластины камаситового сплава в метеоритах -октаэдритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
Видманштеттеновые узоры в кристаллах никеля и железа

Октаэдры в искусстве и культуре

Особенно в ролевых играх это тело известно как «d8», один из наиболее распространенных многогранных кубиков .
Если каждое ребро октаэдра заменить резистором сопротивлением 1 Ом , то сопротивление между противоположными вершинами составит ⁠1/2⁠ ом, а между соседними вершинами ⁠5/12⁠ Ом. ^[28]
Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра таким образом, что каждое ребро будет представлять согласную диаду, а каждая грань — согласную триаду; см. гексаэдр .

Тетраэдрическая октетная ферма

Пространственная рама из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрических сот, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Она обычно рассматривается как самая прочная строительная конструкция для сопротивления консольным напряжениям.

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно расширить до тетраэдра, добавив 4 тетраэдра на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

тетраэдр	звездчатый октаэдр

Октаэдр — один из представителей семейства однородных многогранников, родственных кубу.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (*432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 ⁺ ,4] (3*2)
{4,3}	т{4,3}	г{4,3} г{3 ^1,1 }	т{3,4} т{3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	рр{4,3} с ₂ {3,4}	тр{4,3}	ср{4,3}	ч{4,3} {3,3}	ч ₂ {4,3} т{3,3}	с{3,4} с{3 ^1,1 }

		=	=	=				= или	= или	=

Двойственные к однородным многогранникам
В43	В3.8 ²	В(3.4) ²	В4.6 ²	В3 ⁴	В3.4 ³	В4.6.8	В3 ⁴ .4	В3 ³	В3.6 ²	В3 ⁵

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса — многогранника, образованного определенными пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n } в т е
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Парако.	Некомпактный гиперболический

3.3	3 ³	34	3 ⁵	3 ⁶	3 ⁷	3 ⁸	3 ^∞	3 ¹²ⁱ	3 ⁹ⁱ	3 ^6и	3 ^3и

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром – и его можно назвать тетратетраэдром . Это можно показать с помощью двухцветной модели грани. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения тетраэдра и его двойственного объекта:

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (*332)							[3,3] ⁺ , (332)


{3,3}	т{3,3}	г{3,3}	т{3,3}	{3,3}	рр{3,3}	тр{3,3}	ср{3,3}
Двойственные к однородным многогранникам

В3.3.3	В3.6.6	В3.3.3.3	В3.6.6	В3.3.3	В3.4.3.4	В4.6.6	В3.3.3.3.3

Вышеуказанные формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять срезов выше находятся на высотах r , ⁠3/8⁠ , ⁠1/2⁠ , ⁠5/8⁠ и s , где r — любое число в диапазоне 0 < r ≤ ⁠1/4⁠ , а s — любое число в диапазоне ⁠3/4⁠ ≤ с < 1 .

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , прогрессирующих от мозаик сферы до евклидовой плоскости и в гиперболическую плоскость. С симметрией орбифолдной нотации * n 32 все эти мозаики являются конструкциями Витхоффа в пределах фундаментальной области симметрии с точками генератора в прямоугольном углу области. ^[29]^[30]

* n 32 орбифолдных симметрий квазирегулярных мозаик : (3. n ) ²
Строительство	Сферический			Евклидов	Гиперболический
Строительство	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Квазирегулярные фигуры
Вершина	(3.3)2	(3.4) ²	(3,5) ²	(3,6) ²	(3,7) ²	(3,8) ²	(3.∞) ²

Тригональная антипризма

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Симметрия : [6,2] , (*622)							[6,2] ⁺ , (622)	[6,2 ⁺ ], (2*3)


{6,2}	т{6,2}	г{6,2}	т{2,6}	{2,6}	рр{6,2}	тр{6,2}	ср{6,2}	с{2,6}
Двойные формы

В6 ²	В12 ²	В6 ²	В4.4.6	В2 ⁶	В4.4.6	В4.4.12	В3.3.3.6	В3.3.3.3

Семейство однородных n- угольных антипризм
в
т
е
Имя антипризмы	Дигональная антипризма	(Треугольная) Треугольная антипризма	(Тетрагональная) Квадратная антипризма	Пятиугольная антипризма	Гексагональная антипризма	Гептагональная антипризма	...	Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника							...
Сферическое мозаичное изображение							Изображение мозаики плоскости
Конфигурация вершины.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

Другие родственные многогранники

Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадратного бифрустума .

Октаэдр можно сгенерировать как случай трехмерного суперэллипсоида, при этом все значения показателя степени будут равны 1.

Смотрите также

Примечания

^ ab (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Ссылки

^ ab Trigg, Charles W. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Mathematics Magazine . 51 (1): 55– 57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647.
^ Тимофеенко, А. В. (2010). «Соединение несоставных многогранников» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 21 (3): 483– 512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
^ ab Erickson, Martin (2011). Beautiful Mathematics. Математическая ассоциация Америки . стр. 62. ISBN 978-1-61444-509-8.
^ ab Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Taylor & Francis. стр. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.
^ ab Cromwell, Peter R. (1997). Многогранники. Cambridge University Press. стр. 55. ISBN 978-0-521-55432-9.
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое коммерческое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . С. 70–71 . ISBN 0-7679-0816-3.
^ О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Dover Publications . стр. 141. ISBN 978-0-486-83654-6.
^ Полиа, Г. (1954). Математика и правдоподобное рассуждение: Индукция и аналогия в математике. Princeton University Press. стр. 138. ISBN 0-691-02509-6.
^ Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джерелин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.). Cengage Learning. стр. 403. ISBN 978-1-285-19569-8.
^ Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». The Mathematical Gazette . 74 (469): 243– 256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.
^ Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
^ Coxeter (1973) Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбцы , помеченные , и , обозначения Коксетера для описанной окружности, среднего радиуса и вписанного радиуса соответственно, также отмечая, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ $2\ell$
^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169– 200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603.
^ Грюнбаум, Бранко (2003), «13.1 Теорема Стейница», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 235–244 , ISBN. 0-387-40409-0
^ Циглер, Гюнтер М. (1995). "Глава 4: Теорема Штейница для 3-многогранников". Лекции по многогранникам . Выпускные тексты по математике . Том 152. Springer-Verlag. С. 103–126 . ISBN 0-387-94365-X.
^ Negami, S. (2016). "Точные вложения планарных графов на ориентируемых замкнутых поверхностях". В Širáň, Jozef; Jajcay, Robert (ред.). Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, июль 2014 г. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 159. Springer. p. 250. doi :10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.
^ Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III». Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894– 912. doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . MR 2602814.
^ Каппрафф, Джей (1991). Связи: геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). World Scientific . стр. 475. ISBN 978-981-281-139-4.
^ О'Киф и Хайд (2020), стр. 141.
^ Maekawa, Jun (2022). Искусство и наука геометрического оригами: создание впечатляющих бумажных многогранников, волн, спиралей, фракталов и многого другого!. Tuttle . стр. 42. ISBN 978-1-4629-2398-4.
^ Коксетер 1973, стр. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».
^ Coxeter 1973, стр. 70–71, Характерные тетраэдры; Рис. 4.7A.
↑ Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».
^ "Перечисление многогранников". Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Получено 2 мая 2006 года .
^ «Подсчет многогранников».
^ "Polyhedra with 8 Faces and 6-8 Vertices". Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Получено 14 августа 2016 года .
^ Футамура, Ф .; Франц, М.; Крэннелл, А. (2014), «Двухстороннее отношение как параметр формы для твердого тела Дюрера», Журнал математики и искусств , 8 ( 3– 4): 111– 119, arXiv : 1405.6481 , doi : 10.1080/17513472.2014.974483, S2CID 120958490
^ Klein, Douglas J. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633– 649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 г. . Получено 30 сентября 2006 г. .
^ Coxeter, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Dover. Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Вайтхоффа. ISBN 0-486-61480-8.
^ Хасон, Дэниел Х. (сентябрь 1998 г.), Двумерная симметрийная мутация

Внешние ссылки

«Октаэдр» . Энциклопедия Британника . Т. 19 (11-е изд.). 1911.
Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр». MathWorld .
Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники x3o4o – oct».
Редактируемая печатная развертка октаэдра с интерактивным 3D-просмотром
Бумажная модель октаэдра
К. Дж. М. Маклин, Геометрический анализ пяти Платоновых тел и других полуправильных многогранников
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников
- Обозначение Конвея для многогранников – попробуйте: dP4

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерностях 2–10
Семья	А _н	Б _н	Я ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ф ₄ / Соль ₂	Н _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16-ячеечный • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120-ячеечный • 600-ячеечный
Однородный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Однородный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Однородный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Однородный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Однородный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Однородный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Однородный n - многогранник	н - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	н - демикуб	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[reversed_greek_symbols-24] (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

[trigg-1] Trigg, Charles W. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Mathematics Magazine . 51 (1): 55– 57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647.

[timofeenko-2010-2] Тимофеенко, А. В. (2010). «Соединение несоставных многогранников» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 21 (3): 483– 512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.

[erickson-3] Erickson, Martin (2011). Beautiful Mathematics. Математическая ассоциация Америки . стр. 62. ISBN 978-1-61444-509-8.

[hs-4] Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Taylor & Francis. стр. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.

[cromwell-5] Cromwell, Peter R. (1997). Многогранники. Cambridge University Press. стр. 55. ISBN 978-0-521-55432-9.

[livio-6] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое коммерческое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . С. 70–71 . ISBN 0-7679-0816-3.

[oh-7] О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Dover Publications . стр. 141. ISBN 978-0-486-83654-6.

[polya-8] Полиа, Г. (1954). Математика и правдоподобное рассуждение: Индукция и аналогия в математике. Princeton University Press. стр. 138. ISBN 0-691-02509-6.

[ak-9] Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джерелин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.). Cengage Learning. стр. 403. ISBN 978-1-285-19569-8.

[mclean-10] Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». The Mathematical Gazette . 74 (469): 243– 256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.

[berman-11] Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.

[radii-12] Coxeter (1973) Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбцы , помеченные , и , обозначения Коксетера для описанной окружности, среднего радиуса и вписанного радиуса соответственно, также отмечая, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ $2\ell$

[johnson-13] Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169– 200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603.

[grunbaum-2003-14] Грюнбаум, Бранко (2003), «13.1 Теорема Стейница», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 235–244 , ISBN. 0-387-40409-0

[ziegler-15] Циглер, Гюнтер М. (1995). "Глава 4: Теорема Штейница для 3-многогранников". Лекции по многогранникам . Выпускные тексты по математике . Том 152. Springer-Verlag. С. 103–126 . ISBN 0-387-94365-X.

[negami-16] Negami, S. (2016). "Точные вложения планарных графов на ориентируемых замкнутых поверхностях". В Širáň, Jozef; Jajcay, Robert (ред.). Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, июль 2014 г. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 159. Springer. p. 250. doi :10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.

[fhnp-17] Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III». Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894– 912. doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . MR 2602814.

[kappraff-18] Каппрафф, Джей (1991). Связи: геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). World Scientific . стр. 475. ISBN 978-981-281-139-4.

[FOOTNOTEO'KeeffeHyde2020[httpsbooksgooglecombooksid_MjPDwAAQBAJpgPA141_141]-19] О'Киф и Хайд (2020), стр. 141.

[maekawa-20] Maekawa, Jun (2022). Искусство и наука геометрического оригами: создание впечатляющих бумажных многогранников, волн, спиралей, фракталов и многого другого!. Tuttle . стр. 42. ISBN 978-1-4629-2398-4.

[FOOTNOTECoxeter1973130§7.6_The_symmetry_group_of_the_general_regular_polytope-21] Коксетер 1973, стр. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».

[FOOTNOTECoxeter197370–71Characteristic_tetrahedra;_Fig._4.7A-22] Coxeter 1973, стр. 70–71, Характерные тетраэдры; Рис. 4.7A.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(i);_"Octahedron,_𝛽<sub>3</sub>"-23] Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».

[25] "Перечисление многогранников". Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Получено 2 мая 2006 года .

[26] «Подсчет многогранников».

[27] "Polyhedra with 8 Faces and 6-8 Vertices". Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Получено 14 августа 2016 года .

[28] Футамура, Ф .; Франц, М.; Крэннелл, А. (2014), «Двухстороннее отношение как параметр формы для твердого тела Дюрера», Журнал математики и искусств , 8 ( 3– 4): 111– 119, arXiv : 1405.6481 , doi : 10.1080/17513472.2014.974483, S2CID 120958490

[29] Klein, Douglas J. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633– 649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 г. . Получено 30 сентября 2006 г. .

[30] Coxeter, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Dover. Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Вайтхоффа. ISBN 0-486-61480-8.

[31] Хасон, Дэниел Х. (сентябрь 1998 г.), Двумерная симметрийная мутация