Треугольная призма
Призма с 3-сторонним основанием
Треугольная призма
ТипПризма
Полуправильный многогранник
Однородный многогранник
Лица2 треугольника
3 квадрата
Края9
Вершины6
Группа симметрииД 3 ч.
Двойной многогранникТреугольная бипирамида

В геометрии треугольная призма или тригональная призма [1] — это призма с 2 треугольными основаниями. Если ребра парные с вершинами каждого треугольника и если они перпендикулярны основанию, это правильная треугольная призма . Правая треугольная призма может быть как полуправильной , так и однородной .

Треугольная призма может быть использована для построения другого многогранника. Примерами являются некоторые тела Джонсона , усеченная прямоугольная призма и многогранник Шёнхардта .

Характеристики

Треугольная призма имеет 6 вершин, 9 ребер и 5 граней. Каждая призма имеет 2 конгруэнтные грани, известные как ее основания , а основания треугольной призмы являются треугольниками . Треугольник имеет 3 вершины, каждая из которых соединяется с вершиной другого треугольника, составляя еще 3 ребра. Эти ребра образуют 3 параллелограмма как другие грани. [2] Если ребра призмы перпендикулярны основанию, боковые грани являются прямоугольниками , и призма называется прямой треугольной призмой . [3] Эту призму также можно считать частным случаем клина . [ 4]

3D модель (однородной) треугольной призмы

Если основание равностороннее , а боковые грани квадратные , то правильная треугольная призма является полуправильной . Полуправильная призма означает, что число ребер ее многоугольного основания равно числу ее квадратных граней. [5] В более общем смысле, треугольная призма является однородной . Это означает, что треугольная призма имеет правильные грани и имеет изогональную симметрию на вершинах. [6] Трехмерная группа симметрии прямой треугольной призмы является диэдральной группой D 3 h порядка 12: внешний вид не изменится, если треугольную призму повернуть на одну и две трети полного угла вокруг ее оси симметрии, проходящей через центральное основание, и отразить относительно горизонтальной плоскости. Двойственный многогранник треугольной призмы является треугольной бипирамидой . Треугольная бипирамида имеет ту же симметрию, что и треугольная призма. [1] Двугранный угол между двумя соседними квадратными гранями является внутренним углом равностороннего треугольника π /3 = 60° , а между квадратом и треугольником — π /2 = 90° . [7]

Объем любой призмы равен произведению площади основания на расстояние между двумя основаниями. [8] В случае треугольной призмы ее основанием является треугольник, поэтому ее объем можно вычислить, умножив площадь треугольника на длину призмы: где b — длина одной стороны треугольника, h — длина высоты , проведенной к этой стороне, а l — расстояние между треугольными гранями. [9] В случае прямой треугольной призмы, где все ее ребра имеют одинаковую длину l , ее объем можно вычислить как произведение площади равностороннего треугольника на длину l : [10] б час л 2 , {\displaystyle {\frac {bhl}{2}},} 3 2 л 2 ⋅ л ≈ 0,433 л 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}l^{2}\cdot l\приблизительно 0,433l^{3}}

Треугольную призму можно представить как граф призмы Π 3 . В более общем случае граф призмы Π n представляет собой n - стороннюю призму. [11]

В построении многогранника

Помимо треугольной бипирамиды как ее двойственного многогранника, с треугольной призмой связано множество других многогранников. Тело Джонсона — это выпуклый многогранник с правильными гранями, и это определение иногда опускается для однородных многогранников, таких как архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . [12] Существует 6 тел Джонсона, в конструкции которых задействована треугольная призма: удлиненная треугольная пирамида , удлиненная треугольная бипирамида , гиробифастигиум , увеличенная треугольная призма , двукратно увеличенная треугольная призма и трикратно увеличенная треугольная призма . Удлиненная треугольная пирамида и гироудлиненная треугольная пирамида построены путем присоединения тетраэдра к основанию треугольной призмы. Увеличенная треугольная призма, двукратно увеличенная треугольная призма и трикратно увеличенная треугольная призма построены путем присоединения равносторонних квадратных пирамид к квадратной грани призмы. Гиробифастигиум построен путем присоединения двух треугольных призм вдоль одной из его квадратных граней. [13]

Усеченная правильная треугольная призма

Усеченная треугольная призма — это треугольная призма, образованная усечением ее части под косым углом. В результате два основания не параллельны, и каждая высота имеет различную длину ребра. Если ребра, соединяющие основания, перпендикулярны одному из ее оснований, призма называется усеченной прямой треугольной призмой . Учитывая, что A — площадь основания треугольной призмы, а три высоты h 1 , h 2 и h 3 , ее объем можно определить по следующей формуле: [14] А ( час 1 + час 2 + час 3 ) 3 . {\displaystyle {\frac {A(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.}

многогранник Шёнхардта

Многогранник Шёнхардта — это еще один многогранник, построенный из треугольной призмы с равносторонними треугольными основаниями. Таким образом, одно из его оснований вращается вокруг центральной линии призмы и разбивает квадратные грани на косые многоугольники . Каждая квадратная грань может быть повторно триангулирована двумя треугольниками, чтобы сформировать невыпуклый двугранный угол. [15] В результате многогранник Шёнхардта не может быть триангулирован путем разбиения на тетраэдры. Также многогранник Шёнхардта не имеет внутренних диагоналей. [16] Он назван в честь немецкого математика Эриха Шёнхардта , который описал его в 1928 году, хотя связанная структура была выставлена ​​художником Карлисом Йохансонсом в 1921 году. [17]

Скрещенная треугольная антипризма имеет общее расположение вершин с треугольной призмой в качестве огранки , с боковыми равнобедренными треугольниками .

Существует 4 однородных соединения треугольных призм. Это соединение четырех треугольных призм , соединение восьми треугольных призм , соединение десяти треугольных призм , соединение двадцати треугольных призм . [18]

Соты

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки треугольной призмы:

Скрученные удлиненные чередующиеся кубические соты , удлиненные чередующиеся кубические соты , спиральные треугольные призматические соты , плосконосые квадратные призматические соты , треугольные призматические соты , треугольно-шестиугольные призматические соты , усеченные шестиугольные призматические соты , ромбо -треугольно-шестиугольные призматические соты , плосконосые треугольно-шестиугольные призматические соты , удлиненные треугольные призматические соты

Треугольная призма является первой в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из вершинной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все грани правильного многогранника , содержащие все симплексы и ортоплексы ( равносторонние треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В нотации Коксетера треугольной призме присваивается символ −1 21 .

k 21 фигура в n измерениях
КосмосКонечныйЕвклидовГиперболический
Е н345678910

Группа Коксетера		Э 3 =А 2 А 1Э 4 =А 4Э 5 =Д 5Е 6Е 7Е 8Э 9 = = Э 8 + Э ~ 8 {\displaystyle {\tilde {E}}_{8}} Е 10 = = Е 8 ++ Т ¯ 8 {\displaystyle {\bar {T}}_{8}}

Диаграмма Коксетера
Симметрия[3 −1,2,1 ][3 0,2,1 ][3 1,2,1 ][3 2,2,1 ][3 3,2,1 ][3 4,2,1 ][3 5,2,1 ][3 6,2,1 ]
Заказ121201,92051,8402,903,040696,729,600∞
График--
Имя−1210 211 212 213 214 215 216 21

Четырехмерное пространство

Треугольная призма существует в виде ячеек ряда четырехмерных однородных 4-многогранников , включая:

Ссылки

Цитаты

  1. ^ ab King (1994), стр. 113.
  2. ^
    • Кинг (1994), стр. 113
    • Берман (1971)
  3. ↑ Керн и Бланд (1938), стр. 25.
  4. ↑ Хаул (1893), стр. 45.
  5. ^ О'Киф и Хайд (2020), стр. 139.
  6. ^
    • Берман и Уильямс (2009), стр. 100
    • Мессер (2002)
  7. ^ Джонсон (1966).
  8. ↑ Керн и Бланд (1938), стр. 26.
  9. ^
    • Кинси, Мур и Прасидис (2011), стр. 389
    • Хаул (1893), стр. 45
  10. ^ Берман (1971).
  11. ^ Пизански и Серватиус (2013), с. 21.
  12. ^
    • Тодеско (2020), стр. 282
    • Уильямс и Монтелеоне (2021), с. 23
  13. ^
    • Раджваде (2001)
    • Берман (1971)
  14. ↑ Керн и Бланд (1938), стр. 81.
  15. ^
    • Шёнхардт (1928)
    • Бездек и Кэрриган (2016)
  16. ^ Багемиль (1948).
  17. ^
    • Шёнхардт (1928)
    • Бансод, Нанданвар и Бурша (2014)
  18. ↑ Скиллинг (1976).

Библиография

  • Багемиль, Ф. (1948). «О неразложимых многогранниках». American Mathematical Monthly . 55 (7): 411– 413. doi :10.2307/2306130. JSTOR  2306130.
  • Бансод, Йогеш Дипак; Нанданвар, Дипеш; Бурша, Йиржи (2014). «Обзор тенсегрити – I: Базовые структуры» (PDF) . Инженерная механика . 21 (5): 355–367 .
  • Берман, Лия Ренн; Уильямс, Гордон (2009). «Исследование многогранников и открытие формулы Эйлера». В Хопкин, Брайан (ред.). Ресурсы для преподавания дискретной математики: проекты для занятий в классе, модули по истории и статьи . Математическая ассоциация Америки .
  • Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
  • Бездек, Андрас; Кэрриган, Брэкстон (2016). «О нетреугольных многогранниках». Beiträge zur Algebra und Geometry . 57 (1): 51–66 . doi :10.1007/s13366-015-0248-4. MR  3457762. S2CID  118484882.
  • Хоул, Вм. С. (1893). Измерение. Джинн и компания.
  • Керн, Уильям Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1938). Твердое измерение с доказательствами . OCLC  1035479.
  • King, Robert B. (1994). "Polyhedral Dynamics". В Bonchev, Danail D.; Mekenyan, OG (ред.). Графовые теоретические подходы к химической реактивности . Springer. doi :10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN 978-94-011-1202-4.
  • Кинси, Л. Кристин ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011). Геометрия и симметрия. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-49949-8.
  • Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169– 200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
  • Мессер, Питер В. (2002). «Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойственных». Дискретная и вычислительная геометрия . 27 (3): 353– 375. doi :10.1007/s00454-001-0078-2.
  • О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Dover Publications . ISBN 978-0-486-83654-6.
  • Писански, Томаж; Серватиус, Бригитте (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Springer. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
  • Rajwade, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
  • Шенхардт, Э. (1928). «Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern в Tetraeder». Математические Аннален . 98 : 309–312 . doi : 10.1007/BF01451597.
  • Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Математические труды Кембриджского философского общества , 79 (3): 447– 457, Bibcode : 1976MPCPS..79..447S, doi : 10.1017/S0305004100052440, MR  0397554
  • Todesco, Gian Marco (2020). «Гиперболические соты». В Emmer, Michele; Abate, Marco (ред.). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics . Springer. doi : 10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN 978-3-030-42653-8.
  • Уильямс, Ким; Монтелеоне, Косино (2021). Перспектива Даниэле Барбаро 1568 года . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN 978-3-030-76687-0.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Треугольная_призма&oldid=1263359205"