8-симплекс

Регулярный эннеазеттон (8-симплекс)
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 8-мерный многогранник
Семья	симплекс
Символ Шлефли	{3,3,3,3,3,3,3}
Диаграмма Коксетера-Дынкина
7-гранный	9 7-симплекс
6-гранный	36 6-симплекс
5-гранный	84 5-симплекс
4-х гранный	126 5-ячеечный
Клетки	126 тетраэдр
Лица	84 треугольник
Края	36
Вершины	9
Вершинная фигура	7-симплекс
Петри полигон	девятиугольник
Группа Коксетера	А 8 [3,3,3,3,3,3,3]
Двойной	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый

В геометрии 8- симплекс — это самодвойственный правильный 8-многогранник . Он имеет 9 вершин , 36 ребер , 84 треугольные грани , 126 тетраэдрических ячеек , 126 5-ячеечных 4-граней, 84 5-симплексных 5-граней, 36 6-симплексных 6-граней и 9 7-симплексных 7-граней. Его двугранный угол равен cos ⁻¹ (1/8), или приблизительно 82,82°.

Его также можно назвать эннеазеттоном , или эннеа-8-топом , как 9- гранный многогранник в восьми измерениях. Название эннеазеттон происходит от ennea для девяти граней на греческом языке и -zetta для семимерных граней, и -on .

Эта матрица конфигурации представляет 8-симплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням, 5-граням, 6-граням и 7-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 8-симплексе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного симплекса идентична его повороту на 180 градусов. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}9&8&28&56&70&56&28&8\\2&36&7&21&35&35&21&7\\3&3&84&6&15&20&15&6\\4&6&4&126&5&10&10&5\\5&10&10&5&126&4&6&4\\6&15&20&15&6&84&3&3\\7&21&35&35&21&7&36&2\\8&28&56&70&56&28&8&9\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Декартовы координаты вершин правильного эннеазеттона с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны:

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

Проще говоря, вершины 8-симплекса могут быть расположены в 9-пространстве как перестановки (0,0,0,0,0,0,0,0,1). Эта конструкция основана на гранях 9- ортоплекса .

Другая конструкция с центром в начале координат использует (1,1,1,1,1,1,1,1)/3 и перестановки (1,1,1,1,1,1,1,1,-11)/12 для длины ребра √2.

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 8	А 7	А 6	А 5
График
Диэдральная симметрия	[9]	[8]	[7]	[6]
Самолет Коксетера​	А 4	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[5]	[4]	[3]

Этот многогранник является гранью в однородных мозаиках: 2 ₅₁ и 5 ₂₁ с соответствующими диаграммами Коксетера-Дынкина :

,

Этот многогранник является одним из 135 однородных 8-мерных многогранников с симметрией A ₈ .

Многогранники A8
т0	т 1	т 2	т 3	т 01	т 02	т 12	т 03	т 13	т 23	т 04	т 14	т 24	т 34	т 05
т 15	т 25	т 06	т 16	т 07	т 012	т 013	т 023	т 123	т 014	т 024	т 124	т 034	т 134	т 234
т015	т025	т 125	т035	т 135	т235	т045	т 145	т016	т026	т126	т036	т136	т046	т056
т017	т027	т037	т 0123	т 0124	т 0134	т 0234	т 1234	т0125	т0135	т0235	т 1235	т0145	т0245	т 1245
т0345	т 1345	т 2345	т0126	т0136	т0236	т1236	т0146	т0246	т1246	т0346	т1346	т0156	т0256	т1256
т0356	т0456	т0127	т0137	т0237	т0147	т0247	т0347	т0157	т0257	т0167	т 01234	т01235	т01245	т01345
т02345	т 12345	т01236	т01246	т01346	т02346	т12346	т01256	т01356	т02356	т12356	т01456	т02456	т03456	т01237
т01247	т01347	т02347	т01257	т01357	т02357	т01457	т01267	т01367	т012345	т012346	т012356	т012456	т013456	т023456
т123456	т012347	т012357	т012457	т013457	т023457	т012367	т012467	т013467	т012567	т0123456	т0123457	т0123467	т0123567	т 01234567

• Коксетер, HSM :
  • — (1973). "Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5)". Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. стр. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Шерк, Ф. Артур; МакМаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: избранные сочинения Х. С. М. Коксетера. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Документ 22) — (1940). «Правильные и полуправильные многогранники I». Math. Zeit . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (Документ 23) — (1985). «Правильные и полуправильные многогранники II». Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (Документ 24) — (1988). «Правильные и полуправильные многогранники III». Math. Zeit . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• Конвей, Джон Х.; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). "26. Гемикубы: 1 _n1 ". Симметрии вещей . стр. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Джонсон, Норман (1991). «Однородные многогранники» (Рукопись). Норман Джонсон (математик).
  • Джонсон, Н. В. (1966). Теория однородных многогранников и сот (PhD). Университет Торонто. OCLC  258527038.
• Клитцинг, Ричард. «8D однородные многогранники (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o3o — ene».

• Глоссарий гиперпространства, Джордж Ольшевский.
• Многогранники различных размерностей
• Многомерный глоссарий