Равносторонний треугольник
Форма с тремя равными сторонами
Равносторонний треугольник
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины3
Символ Шлефли{3}
Диаграммы Кокстера–Дынкина
Группа симметрии Д 3 {\displaystyle \mathrm {D} _{3}}
Область 3 4 а 2 {\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}
Внутренний угол ( градусы )60°

Равносторонний треугольник — это треугольник, в котором все три стороны имеют одинаковую длину, и все три угла равны. Из-за этих свойств равносторонний треугольник является правильным многоугольником , иногда называемым правильным треугольником . Это частный случай равнобедренного треугольника по современному определению, создающий больше специальных свойств.

Равносторонний треугольник можно найти в различных мозаиках и в многогранниках, таких как дельтаэдр и антипризма . Он появляется в реальной жизни в популярной культуре, архитектуре и изучении стереохимии, напоминая молекулярную геометрию, известную как тригональная плоская молекулярная геометрия .

Характеристики

Равносторонний треугольник — это треугольник, имеющий три равные стороны. Это частный случай равнобедренного треугольника в современном определении, утверждающем, что равнобедренный треугольник определяется как имеющий по крайней мере две равные стороны. [1] Исходя из современного определения, это приводит к равностороннему треугольнику, в котором одна из трех сторон может считаться его основанием. [2]

Последующее определение выше может привести к более точным свойствам. Например, поскольку периметр равнобедренного треугольника равен сумме его двух катетов и основания, равносторонний треугольник формулируется как утроенная его сторона. [3] [4] Внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°. [5] Из-за этих свойств равносторонние треугольники являются правильными многоугольниками . Чевианы равностороннего треугольника все равны по длине, в результате чего медиана и биссектриса угла также равны по длине, считая эти линии их высотой в зависимости от выбора основания. [5] Когда равносторонний треугольник переворачивается относительно его высоты или вращается вокруг своего центра на одну треть полного оборота, его внешний вид не меняется; он имеет симметрию двугранной группы шестого порядка. [6] Другие свойства обсуждаются ниже. Д 3 {\displaystyle \mathrm {D} _{3}}

Область

Прямоугольный треугольник с гипотенузой имеет высоту , синус 60°. 1 {\displaystyle 1} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2}

Площадь равностороннего треугольника с длиной ребра равна Формула может быть выведена из формулы равнобедренного треугольника по теореме Пифагора : высота треугольника равна квадратному корню из разности квадратов стороны и половины основания . [3] Поскольку основание и катеты равны, высота равна: [7] В общем случае площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Формула площади равностороннего треугольника может быть получена путем подстановки формулы высоты. [7] Другой способ доказать площадь равностороннего треугольника — использовать тригонометрическую функцию . Площадь треугольника формулируется как половина произведения основания на высоту и синус угла. Поскольку все углы равностороннего треугольника равны 60°, формула такая, как и требовалось. [ необходима цитата ] а {\displaystyle а} Т = 3 4 а 2 . {\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.} час {\displaystyle ч} час = а 2 − а 2 4 = 3 2 а . {\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним. То есть, для периметра и площади для равностороннего треугольника справедливо равенство: [8] п {\displaystyle p} Т {\displaystyle Т} п 2 = 12 3 Т . {\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}

Связь с кругами

Радиус описанной окружности равен: а радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности: Р = а 3 , {\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}},} г = 3 6 а . {\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a.}

Теорема Эйлера утверждает, что расстояние между радиусом описанной окружности и вписанной окружности формулируется как . Как следствие этого, равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности любого треугольника. То есть: [9] т {\displaystyle т} т 2 = Р ( Р − 2 г ) {\displaystyle t^{2}=R(R-2r)} Р {\displaystyle R} г {\displaystyle r} Р ≥ 2 г . {\displaystyle R\geq 2r.}

Теорема Помпейю утверждает, что если — произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника , но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длиной , , и . То есть, , , и удовлетворяют неравенству треугольника , что сумма любых двух из них больше третьей. Если — на описанной окружности, то сумма двух меньших равна наибольшей из них, и треугольник вырождается в линию, этот случай известен как теорема Ван Скутена . [10] П {\displaystyle P} А Б С {\displaystyle ABC} П А {\displaystyle ПА} П Б {\displaystyle ПБ} П С {\displaystyle ПК} П А {\displaystyle ПА} П Б {\displaystyle ПБ} П С {\displaystyle ПК} П {\displaystyle P}

Задача упаковки требует упаковки кругов в наименьший возможный равносторонний треугольник . Оптимальные решения показывают , что можно упаковать в равносторонний треугольник, но открытые гипотезы расширяются до . [11] н {\displaystyle n} н < 13 {\displaystyle n<13} н < 28 {\displaystyle n<28}

Другие математические свойства

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

Теорема Морли о трисекторах гласит, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных угловых трисекторов образуют равносторонний треугольник.

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки равностороннего треугольника с расстояниями , , и от сторон и высоты , независимо от местоположения . [12] П {\displaystyle P} г {\displaystyle д} е {\displaystyle е} ф {\displaystyle f} час {\displaystyle ч} г + е + ф = час , {\displaystyle d+e+f=h,} П {\displaystyle P}

Равносторонний треугольник может иметь целочисленные стороны с тремя рациональными углами, измеряемыми в градусах, [13] известен как единственный остроугольный треугольник, который подобен своему ортому (с вершинами в основаниях высот ) , [14] и единственный треугольник, чей вэллипс Штейнера является окружностью (в частности, вписанная окружность). Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данную окружность является равносторонним, а треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данной окружности также является равносторонним. [15] Это единственный правильный многоугольник, помимо квадрата , который может быть вписан в любой другой правильный многоугольник.

Если задана точка внутри равностороннего треугольника, то отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме ее расстояний от сторон больше или равно 2, причем равенство выполняется, когда является центроидом. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы меньше 2. [16] Это неравенство Эрдёша–Морделла ; более сильный его вариант — неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон на расстояния от до точек, где биссектрисы углов , , и пересекают стороны ( , , и являются вершинами). Существует множество других неравенств треугольников , которые выполняются тогда и только тогда, когда треугольник является равносторонним. П {\displaystyle P} П {\displaystyle P} П {\displaystyle P} ∠ А П Б {\displaystyle \angle APB} ∠ Б П С {\displaystyle \угол BPC} ∠ С П А {\displaystyle \angle CPA} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} С {\displaystyle С}

Строительство

Построение равностороннего треугольника с помощью циркуля и линейки

Равносторонний треугольник можно построить разными способами с помощью окружностей. Первое предложение в первой книге «Начал» Евклида . Начните с рисования окружности с определенным радиусом, поместите иглу циркуля на окружность и нарисуйте еще одну окружность с тем же радиусом; две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и точки пересечения. [17]

Альтернативный способ построения равностороннего треугольника — использование простого числа Ферма . Простое число Ферма — это простое число вида , где обозначает неотрицательное целое число , и существует пять известных простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители его сторон являются различными простыми числами Ферма. [18] Чтобы сделать это геометрически, нарисуйте прямую линию и поместите иглу циркуля на один конец линии, затем проведите дугу из этой точки в другую точку отрезка линии; повторите с другой стороной линии, которая соединяет точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка линии в дальнейшем. 2 2 к + 1 , {\displaystyle 2^{2^{k}}+1,} к {\displaystyle к}

Если на сторонах произвольного треугольника, обращенных либо наружу, либо внутрь, построить три равносторонних треугольника, то по теореме Наполеона центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Появления

Примечательно, что равносторонний треугольник заполняет евклидову плоскость шестью треугольниками, встречающимися в вершине; двойственной этой мозаикой является гексагональная мозаика . Усеченная гексагональная мозаика , ромботригексагональная мозаика , тригексагональная мозаика , плосконосый квадрат и плосконосый шестиугольная мозаика — все это полуправильные мозаики, построенные с помощью равносторонних треугольников. [19] Другие двумерные объекты, построенные из равносторонних треугольников, включают треугольник Серпинского ( фрактальная фигура , построенная из равностороннего треугольника путем рекурсивного деления на меньшие равносторонние треугольники) и треугольник Рёло ( изогнутый треугольник с постоянной шириной , построенный из равностороннего треугольника путем округления каждой из его сторон). [20]

Правильный октаэдр является дельтаэдром , а также членом семейства антипризм .

Равносторонние треугольники также могут образовывать многогранник в трех измерениях. Многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками, называется дельтаэдром . Существует восемь строго выпуклых дельтаэдров: три из пяти Платоновых тел ( правильный тетраэдр , правильный октаэдр и правильный икосаэдр ) и пять из 92 тел Джонсона ( треугольная бипирамида , пятиугольная бипирамида , плосконосый двуклиноид , триаугментированная треугольная призма и гироудлиненная квадратная бипирамида ). [21] В более общем смысле, все тела Джонсона имеют равносторонние треугольники среди своих граней, хотя большинство также имеют другие правильные многоугольники . [22]

Антипризмы — это семейство многогранников, включающее полосу чередующихся треугольников. Когда антипризма однородна , ее основания правильные, а все треугольные грани равносторонние. [23]

В качестве обобщения, равносторонний треугольник принадлежит к бесконечному семейству - симплексов , причем . [24] н {\displaystyle n} н = 2 {\displaystyle n=2}

Приложения

Использование равностороннего треугольника в качестве знака «уступи дорогу»

Равносторонние треугольники часто появлялись в искусственных сооружениях и в популярной культуре. В архитектуре пример можно увидеть в поперечном сечении Gateway Arch и поверхности яйца Вегревиля . [25] [26] Он появляется на флаге Никарагуа и флаге Филиппин . [27] [28] Это форма различных дорожных знаков , включая знак «Уступи дорогу» . [29]

Равносторонний треугольник встречается в изучении стереохимии . Его можно описать как молекулярную геометрию , в которой один атом в центре соединяет три других атома в плоскости, известную как тригональная плоская молекулярная геометрия . [30]

В задаче Томсона , касающейся конфигурации заряженных частиц на сфере с минимальной энергией , и для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, лучшее известное решение для размещает точки в вершинах равностороннего треугольника, вписанного в сферу . Эта конфигурация доказана оптимальной для задачи Таммеса, но строгое решение для этого примера задачи Томсона неизвестно. [31] н {\displaystyle n} н = 3 {\displaystyle n=3}

Смотрите также

Ссылки

Примечания

  1. ^ Шталь (2003), стр. 37.
  2. ↑ Ларднер (1840), стр. 46.
  3. ^ ab Harris & Stocker (1998), стр. 78.
  4. ^ Серин (2004), см. теорему 1.
  5. ^ ab Owen, Felix & Deirdre (2010), стр. 36, 39.
  6. ^ Карстенсен, Файн и Розенбергер (2011), стр. 156.
  7. ^ ab McMullin & Parkinson (1936), стр. 96.
  8. ^ Чакерян (1979).
  9. ^ Свртан и Вельян (2012).
  10. ^ Альсина и Нельсен (2010), с. 102–103.
  11. ^ Мелиссен и Шур (1995).
  12. ^ Посаментье и Салкинд (1996).
  13. ↑ Конвей и Гай (1996), стр. 201, 228–229.
  14. ^ Банкофф и Гарфанкел (1973), стр. 19.
  15. ^ Дёрри (1965), стр. 379–380.
  16. ^ Ли (2001).
  17. ↑ Кромвель (1997), стр. 62.
  18. ^ Кржижек, Лука и Сомер (2001), с. 1–2.
  19. ^ Грюнбаум и Шепард (1977).
  20. ^ Альсина и Нельсен (2010), с. 102–103.
  21. ^ Тригг (1978).
  22. ^ Берман (1971).
  23. ^ Хорияма и др. (2015), с. 124.
  24. ↑ Коксетер (1948), стр. 120–121.
  25. ^ Пелконен и Альбрехт (2006), с. 160.
  26. ^ Альсина и Нельсен (2015), с. 22.
  27. ^ Уайт и Кальдерон (2008), с. 3.
  28. ^ Гильермо (2012), стр. 161.
  29. ^ Райли, Кохран и Баллард (1982).
  30. ^ Петруччи, Харвуд и Херринг (2002), стр. 413–414, см. Таблицу 11.1.
  31. ^ Уайт (1952).

Цитируемые работы

  • Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки . ISBN 9780883853481.
  • ———; ——— (2015). Математическая космическая одиссея: стереометрия в 21 веке . Том 50. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-1-61444-216-5.
  • Банкофф, Леон; Гарфанкел, Джек (январь 1973). «Семиугольный треугольник». Mathematics Magazine . 46 (1): 7– 19. doi :10.1080/0025570X.1973.11976267.
  • Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
  • Серин, Звонко (2004). «Треугольники вершина-середина-центроид» (PDF) . Forum Geometricorum . 4 : 97–109 .
  • Карстенсен, Селин; Файн, Селин; Розенбергер, Герхард (2011). Абстрактная алгебра: приложения к теории Галуа, алгебраической геометрии и криптографии. Де Грюйтер . стр. 156. ISBN 978-3-11-025009-1.
  • Chakerian, GD (1979). "Глава 7: Искаженный взгляд на геометрию". В Honsberger, R. (ред.). Mathematical Plums . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 147.
  • Конвей, Дж. Х.; Гай, Р. К. (1996). Книга чисел . Springer-Verlag.
  • Коксетер, HSM Коксетер (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Methuen & Co. LTD. OCLC  4766401. Збл  0031.06502.
  • Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9.
  • Дёрри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Dover Publications .
  • Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). "Tilings by Regular Polygons" (PDF) . Mathematics Magazine . 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 231– 234. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529. MR  1567647. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-03 . Получено 2023-03-09 .
  • Гильермо, Артемио Р. (2012). Исторический словарь Филиппин . Пугало Пресс. ISBN 978-0810872462.
  • Харрис, Джон В.; Стокер, Хорст (1998). Справочник по математике и вычислительной науке . Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5317-4 (неактивен 1 ноября 2024 г.). ISBN 0-387-94746-9. МР  1621531.{{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на ноябрь 2024 г. ( ссылка )
  • Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой Пирамиды . Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5.
  • Хорияма, Такаяма; Ито, Дзин-ити; Като, Наои; Кобаяши, Юки; Нара, Чие (14–16 сентября 2015 г.). «Непрерывное складывание правильных додекаэдров». В Акияма, Дзин; Ито, Хиро; Сакаи, Тошинори; Уно, Юши (ред.). Дискретная и вычислительная геометрия и графы . Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии и графам. Киото. doi :10.1007/978-3-319-48532-4. ISBN 978-3-319-48532-4. ISSN  1611-3349.
  • Кржижек, Михал; Лука, Флориан; Сомер, Лоуренс (2001). 17 лекций по числам Ферма: от теории чисел к геометрии . CMS Books in Mathematics. Том 9. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-0-387-21850-2. ISBN 978-0-387-95332-8. МР  1866957.
  • Ларднер, Дионисий (1840). Трактат о геометрии и ее применении в искусстве. Лондон: The Cabinet Cyclopædia.
  • Ли, Ходжо (2001). «Еще одно доказательство теоремы Эрдёша–Морделла» (PDF) . Forum Geometricorum . 1 : 7– 8. Архивировано из оригинала (PDF) 2023-06-16 . Получено 2012-05-02 .
  • Макмаллин, Дэниел; Паркинсон, Альберт Чарльз (1936). Введение в инженерную математику . Том 1. Cambridge University Press .
  • Melissen, JBM; Schuur, PC (1995). «Упаковка 16, 17 или 18 кругов в равносторонний треугольник». Дискретная математика . 145 ( 1– 3): 333– 342. doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C . MR  1356610.
  • Оуэн, Байер; Феликс, Лазебник; Дейрдре, Смельцер (2010). Методы евклидовой геометрии . Материалы для занятий в классе. Том 37. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . doi :10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC  501976971. S2CID  118179744.
  • Пелконен, Эева-Лийза; Альбрехт, Дональд, ред. (2006). Ээро Сааринен: Формируя будущее . Издательство Йельского университета . стр. 160, 224, 226. ISBN. 978-0972488129.{{cite book}}: CS1 maint: ref дублирует по умолчанию ( ссылка )
  • Петруччи, Р. Х.; Харвуд, В. С.; Херринг, Ф. Г. (2002). Общая химия: принципы и современные приложения (8-е изд.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-014329-7.
  • Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1996). Сложные задачи по геометрии . Dover Publications .
  • Райли, Майкл В.; Кокран, Дэвид Дж.; Баллард, Джон Л. (декабрь 1982 г.). «Исследование предпочтительных форм для предупреждающих надписей». Человеческие факторы: Журнал Общества человеческого фактора и эргономики . 24 (6): 737– 742. doi :10.1177/001872088202400610. S2CID  109362577.
  • Шталь, Саул (2003). Геометрия от Евклида до узлов . Prentice-Hall. ISBN 0-13-032927-4.
  • Свртан, Драгутин; Велян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника». Forum Geometricorum . 12 : 197–209 .
  • Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Mathematics Magazine . 51 (1): 55– 57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR  2689647. MR  1572246.
  • Уайт, Стивен Ф.; Кальдерон, Эстела (2008). Культура и обычаи Никарагуа . Greenwood Press. ISBN 978-0313339943.
  • Whyte, LL (1952). «Уникальные расположения точек на сфере». The American Mathematical Monthly . 59 (9): 606– 611. doi :10.1080/00029890.1952.11988207. JSTOR  2306764. MR  0050303.
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерностях 2–10
СемьяА нБ нЯ 2 (п) / Д нЕ 6 / Е 7 / Е 8 / Ф 4 / Соль 2Н н
Правильный многоугольникТреугольникКвадратп-гонШестиугольникПентагон
Однородный многогранникТетраэдрОктаэдр • КубДемикубДодекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихоронПентахорон16-ячеечный • ТессерактДемитессеракт24-ячеечный120-ячеечный • 600-ячеечный
Однородный 5-многогранник5-симплекс5-ортоплекс • 5-куб5-демикуб
Однородный 6-многогранник6-симплекс6-ортоплекс • 6-куб6-демикуб1 22 • 2 21
Однородный 7-многогранник7-симплекс7-ортоплекс • 7-куб7-демикуб1 32 • 2 31 • 3 21
Однородный 8-многогранник8-симплекс8-ортоплекс • 8-куб8-демикуб1 42 • 2 41 • 4 21
Однородный 9-многогранник9-симплекс9-ортоплекс • 9-куб9-демикуб
Однородный 10-многогранник10-симплекс10-ортоплекс • 10-куб10-демикуб
Однородный n - многогранникн - симплексn - ортоплекс • n - кубн - демикуб1 к2 • 2 к1 • к 21n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений
На Викискладе есть медиафайлы по теме Равносторонние треугольники .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Равносторонний_треугольник&oldid=1264830093"