Чудовищный самогон

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Май 2018 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике , чудовищный лунный свет , или теория лунного света , является неожиданной связью между группой монстров M и модулярными функциями , в частности функцией j . Первоначальное численное наблюдение было сделано Джоном Маккеем в 1978 году, а сама фраза была придумана Джоном Конвеем и Саймоном П. Нортоном в 1979 году. ^{[1] [2] [3]}

Теперь известно, что чудовищный moonshine основан на алгебре вершинных операторов, называемой модулем moonshine (или алгеброй вершинных монстров), созданной Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мейерманом в 1988 году, которая имеет группу монстров в качестве своей группы симметрий . Эта алгебра вершинных операторов обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двумерной конформной теории поля , позволяющая физике образовать мост между двумя математическими областями. Гипотезы, высказанные Конвеем и Нортоном, были доказаны Ричардом Борчердсом для модуля moonshine в 1992 году с использованием теоремы об отсутствии призраков из теории струн и теории алгебр вершинных операторов и обобщенных алгебр Каца–Муди .

В 1978 году Джон Маккей обнаружил, что первые несколько членов в разложении Фурье нормализованного J-инварианта (последовательность A014708 в OEIS ) могут быть выражены в терминах линейных комбинаций размерностей неприводимых представлений группы-монстра M (последовательность A001379 в OEIS ) с малыми неотрицательными коэффициентами. J-инвариант имеет вид с и τ как отношение полупериода , а выражения M , положив = 1 , 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ..., являются ${\displaystyle r_{n}}$$${\displaystyle J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots }$$${\displaystyle {q}=e^{2\pi i\tau }}$${\displaystyle r_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r _{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{ 4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}}$$

В левой части находятся коэффициенты , а в правой части целые числа — размерности неприводимых представлений группы-монстра M . (Поскольку между может быть несколько линейных соотношений, таких как , представление может быть реализовано более чем одним способом.) ${\displaystyle j(\тау)}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0}$

Маккей рассматривал это как доказательство того, что существует естественное бесконечномерное градуированное представление M , градуированное измерение которого задается коэффициентами J , и чьи части с меньшим весом распадаются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил Джону Г. Томпсону об этом наблюдении, Томпсон предположил, что поскольку градуированное измерение является просто градуированным следом элемента тождества , градуированные следы нетривиальных элементов g из M на таком представлении также могут быть интересны.

Конвей и Нортон вычислили члены низшего порядка таких градуированных следов, теперь известных как ряды Маккея–Томпсона T _g , и обнаружили, что все они, по-видимому, являются расширениями Hauptmoduln . Другими словами, если G _g является подгруппой SL ₂ ( R ) , которая фиксирует T _g , то фактор верхней половины комплексной плоскости по G _g является сферой с конечным числом удаленных точек, и, более того, T _g порождает поле мероморфных функций на этой сфере.

На основе своих вычислений Конвей и Нортон составили список Hauptmoduln и высказали гипотезу о существовании бесконечномерного градуированного представления M , градуированные следы T _g которого являются расширениями именно тех функций, которые указаны в их списке.

В 1980 году AOL Atkin , Paul Fong и Stephen D. Smith получили сильное вычислительное доказательство того, что такое градуированное представление существует, разложив большое количество коэффициентов J в представления M. Градуированное представление, градуированная размерность которого равна J , называемое модулем Moonshine, было явно построено Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мейрманом , что дало эффективное решение гипотезы Маккея–Томпсона, и они также определили градуированные следы для всех элементов в централизаторе инволюции M , частично разрешив гипотезу Конвея–Нортона. Кроме того, они показали, что построенное ими векторное пространство , называемое модулем Moonshine , имеет дополнительную структуру алгебры вершинных операторов , группа автоморфизмов которой в точности равна M.${\displaystyle V^{\natural }}$

В 1985 году группа математиков, включая Джона Конвея , опубликовала Атлас конечных групп . Атлас, в котором перечислены все спорадические группы , включал «Moonshine» в качестве раздела в список примечательных свойств группы монстров . ^[4]

В 1992 году Борчердс доказал гипотезу Конвея–Нортона для модуля Moonshine. В 1998 году он получил медаль Филдса отчасти за решение этой гипотезы.

Построение Френкеля–Леповского–Мермана начинается с двух основных инструментов:

1. Построение решеточной вершинной операторной алгебры V _L для четной решетки L ранга n . В физических терминах это киральная алгебра для бозонной струны, компактифицированной на торе R n / L . Ее можно грубо описать как тензорное произведение группового кольца L с представлением осциллятора в ⁿ измерениях ( которое само по себе изоморфно кольцу полиномов от счетного бесконечного числа генераторов ) . Для рассматриваемого случая L задается как решетка Лича , которая имеет ранг 24.
2. Конструкция орбифолда . В физических терминах это описывает бозонную струну, распространяющуюся на фактор-орбифолде . Конструкция Френкеля–Леповского–Мермана была первым случаем, когда орбифолды появились в конформной теории поля . Прикрепленная к –1 инволюции решетки Лича , существует инволюция h из V _L и неприводимый h -скрученный V _L -модуль, который наследует подъем инволюции h . Чтобы получить модуль Moonshine, берется подпространство неподвижной точки h в прямой сумме V _L и его скрученного модуля .

Затем Френкель, Леповски и Мейерман показали, что группа автоморфизмов модуля Moonshine как алгебры вершинных операторов равна M. Кроме того, они определили, что градуированные следы элементов в подгруппе 2 ¹⁺²⁴ . Co ₁ соответствуют функциям, предсказанным Конвеем и Нортоном (Френкель, Леповски и Мейерман (1988)).

Доказательство Ричарда Борчердса гипотезы Конвея и Нортона можно разбить на следующие основные этапы:

1. Начинается с алгебры вершинных операторов V с инвариантной билинейной формой, действия M автоморфизмами и известного разложения однородных пространств семи наименьших степеней в неприводимые M -представления. Это было получено с помощью конструкции и анализа модуля Moonshine Френкеля–Леповского–Мермана.
2. Алгебра Ли , называемая монстр-алгеброй Ли , строится из V с использованием функтора квантования. Это обобщенная алгебра Ли Каца–Муди с монстр-действием автоморфизмами. Используя теорему Годдарда–Торна «без призраков» из теории струн , кратности корней оказываются коэффициентами J.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
3. Для построения обобщенной алгебры Ли Каца–Муди с помощью генераторов и соотношений используется тождество бесконечного произведения Койке–Нортона–Загира. Тождество доказывается с использованием того факта, что операторы Гекке, примененные к J, дают полиномы в J .
4. Сравнивая кратности корней, можно обнаружить, что две алгебры Ли изоморфны, и, в частности, формула знаменателя Вейля для является в точности тождеством Койке–Нортона–Загира.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
5. Используя гомологию алгебры Ли и операции Адамса , для каждого элемента дается скрученное тождество знаменателя. Эти тождества связаны с рядом Маккея–Томпсона T _g во многом таким же образом, как тождество Койке–Нортона–Загира связано с J .
6. Тождества скрученного знаменателя подразумевают рекурсивные соотношения на коэффициентах T _g , и неопубликованная работа Коике показала, что функции-кандидаты Конвея и Нортона удовлетворяют этим рекурсивным соотношениям. Эти соотношения достаточно сильны, так что нужно только проверить, что первые семь членов согласуются с функциями, данными Конвеем и Нортоном. Самые низкие члены задаются разложением семи однородных пространств самой низкой степени, заданных на первом шаге.

Таким образом, доказательство завершено (Борчердс (1992)). Борчердс позже сказал: «Я был на седьмом небе от счастья, когда доказал гипотезу о лунном свете», и «Иногда я задаюсь вопросом, не то ли самое чувство вы испытываете, когда принимаете определенные наркотики. Я на самом деле не знаю, так как я не проверял эту свою теорию». (Робертс 2009, стр. 361)

Более поздние работы упростили и прояснили последние шаги доказательства. Юришич (Jurisich (1998), Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995)) обнаружили, что вычисление гомологии можно существенно сократить, заменив обычное треугольное разложение алгебры Ли-монстра разложением в сумму gl ₂ и двух свободных алгебр Ли. Камминс и Ганнон показали, что рекурсивные соотношения автоматически подразумевают, что ряды Маккея-Томпсона являются либо гауптмодульными, либо заканчиваются после не более чем 3 членов, тем самым устраняя необходимость вычислений на последнем шаге.

Конвей и Нортон предположили в своей статье 1979 года, что, возможно, лунный свет не ограничивается монстром, но что подобные явления могут быть обнаружены для других групп. ^[a] Хотя утверждения Конвея и Нортона не были очень конкретными, вычисления Лариссы Куин в 1980 году настоятельно предполагали, что можно построить расширения многих гауптмодулей из простых комбинаций размерностей неприводимых представлений спорадических групп . В частности, она разложила коэффициенты ряда Маккея-Томпсона на представления подфакторов Монстра в следующих случаях:

• T _2B и T _4A в представления группы Конвея Co ₀
• T _3B и T _6B в представления группы Сузуки 3.2. Suz
• T _3C в представления группы Томпсона Th = F ₃
• T _5A в представления группы Харада–Нортона HN = F ₅
• T _5B и T _10D в представления группы Холла–Янко 2. HJ
• T _7A в представления группы Held He = F ₇
• T _7B и T _14C в представления 2. A ₇
• T _11A в представления группы Матье 2. M ₁₂

Куин обнаружил, что следы нетождественных элементов также давали q -разложения Hauptmoduln, некоторые из которых не были рядами Маккея–Томпсона из Monster. В 1987 году Нортон объединил результаты Куина со своими собственными вычислениями, чтобы сформулировать обобщенную гипотезу Moonshine. Эта гипотеза утверждает, что существует правило, которое назначает каждому элементу g монстра градуированное векторное пространство V ( g ), а каждой коммутирующей паре элементов ( g , h ) голоморфную функцию f ( g , h , τ) на верхней полуплоскости , такую, что:

1. Каждое V ( g ) является градуированным проективным представлением централизатора g в M .
2. Каждая f ( g , h , τ) является либо постоянной функцией, либо гауптмодулем.
3. Каждый f ( g , h , τ ) инвариантен относительно одновременного сопряжения g и h в M с точностью до скалярной неоднозначности.
4. Для каждого ( g , h ) существует подъем h до линейного преобразования на V ( g ), такой что расширение f ( g , h , τ) задается градуированным следом.
5. Для любого пропорционально .${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}})\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f(g,h,{\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}})}$${\displaystyle f(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau )}$
6. f ( g , h , τ ) пропорциональна J тогда и только тогда, когда g = h = 1.

Это обобщение гипотезы Конвея–Нортона, поскольку теорема Борчердса касается случая, когда g равен единице.

Как и гипотеза Конвея–Нортона, обобщенный лунный свет также имеет интерпретацию в физике, предложенную Диксоном–Гинспаргом–Харви в 1988 году (Dixon, Ginsparg & Harvey (1989)). Они интерпретировали векторные пространства V ( g ) как скрученные секторы конформной теории поля с симметрией монстра и интерпретировали функции f ( g , h , τ) как статистические суммы рода один , где один образует тор путем склеивания вдоль скрученных граничных условий. На математическом языке скрученные сектора являются неприводимыми скрученными модулями, а статистические суммы назначаются эллиптическим кривым с главными расслоениями монстра, тип изоморфизма которых описывается монодромией вдоль базиса 1 -циклов , т. е. пары коммутирующих элементов.

В начале 1990-х годов теоретик групп AJE Ryba обнаружил замечательное сходство между частями таблицы характеров монстра и характерами Брауэра некоторых подгрупп. В частности, для элемента g простого порядка p в монстре многие неприводимые характеры элемента порядка kp, k- я степень которого равна g, являются простыми комбинациями характеров Брауэра для элемента порядка k в централизаторе g . Это было численным доказательством явления, похожего на чудовищный лунный свет, но для представлений в положительной характеристике. В частности, в 1994 году Ryba предположил, что для каждого простого множителя p в порядке монстра существует градуированная вершинная алгебра над конечным полем F _p с действием централизатора элемента g порядка p , такая, что градуированный характер Брауэра любого p -регулярного автоморфизма h равен ряду Маккея-Томпсона для gh (Ryba (1996)).

В 1996 году Борчердс и Райба переосмыслили гипотезу как утверждение о когомологиях Тейта самодвойственной интегральной формы . Существование этой интегральной формы было неизвестно, но они построили самодвойственную форму над Z [1/2], что позволило им работать с нечетными простыми числами p . Когомологии Тейта для элемента простого порядка естественным образом имеют структуру супервершинной алгебры над F _p , и они разбили проблему на простой шаг, приравняв градуированный суперслед Брауэра к ряду Маккея-Томпсона, и сложный шаг, показывающий, что когомологии Тейта исчезают в нечетной степени. Они доказали исчезающее утверждение для малых нечетных простых чисел, перенеся исчезающий результат из решетки Лича (Борчердс и Райба (1996)). В 1998 году Борчердс показал, что равенство нулю справедливо для оставшихся нечетных простых чисел, используя комбинацию теории Ходжа и интегрального уточнения теоремы об отсутствии духов (Борчердс (1998), Борчердс (1999)).${\displaystyle V^{\natural }}$

Случай порядка 2 требует существования формы над 2-адическим кольцом, т. е. конструкции, которая не делится на 2, и в то время о ее существовании не было известно. Остается много дополнительных неотвеченных вопросов, таких как то, как гипотеза Рыбы должна обобщаться на когомологии Тейта элементов составного порядка, и природа любых связей с обобщенным лунным светом и другими явлениями лунного света.${\displaystyle V^{\natural }}$

В 2007 году Э. Виттен предположил, что соответствие AdS/CFT приводит к дуальности между чистой квантовой гравитацией в (2 + 1)-мерном анти-де-ситтеровском пространстве и экстремальными голоморфными CFT. Чистая гравитация в 2 + 1 измерениях не имеет локальных степеней свободы, но когда космологическая постоянная отрицательна, в теории появляется нетривиальное содержание из-за существования решений BTZ для черных дыр . Экстремальные CFT, введенные Г. Хёном, отличаются отсутствием первичных полей Вирасоро при низкой энергии, и модуль Moonshine является одним из примеров.

Согласно предложению Виттена (Witten (2007)), гравитация в пространстве AdS с максимально отрицательной космологической постоянной является дуальной AdS/CFT к голоморфной CFT с центральным зарядом c=24 , а функция распределения CFT равна в точности j -744, т.е. градуированному характеру модуля moonshine. Предположив гипотезу Френкеля-Леповски-Мермана о том, что модуль moonshine является уникальным голоморфным VOA с центральным зарядом 24 и характером j -744, Виттен пришел к выводу, что чистая гравитация с максимально отрицательной космологической постоянной дуальна монструозной CFT. Часть предложения Виттена заключается в том, что первичные поля Вирасоро дуальны операторам, создающим черные дыры, и в качестве проверки согласованности он обнаружил, что в пределе большой массы полуклассическая оценка энтропии Бекенштейна-Хокинга для заданной массы черной дыры согласуется с логарифмом соответствующей первичной множественности Вирасоро в модуле лунного света. В режиме малой массы существует небольшая квантовая поправка к энтропии, например, первичные поля с наименьшей энергией дают ln(196883) ~ 12,19, тогда как оценка Бекенштейна-Хокинга дает 4 π  ~ 12,57.

Более поздняя работа уточнила предложение Виттена. Виттен предположил, что экстремальные CFT с большей космологической постоянной могут иметь монструозную симметрию, во многом похожую на минимальный случай, но это было быстро исключено независимой работой Гайотто и Хёна. Работа Виттена и Малони (Maloney & Witten (2007)) предположила, что чистая квантовая гравитация может не удовлетворять некоторым проверкам согласованности, связанным с ее функцией распределения, если только некоторые тонкие свойства комплексных седел не будут работать благоприятно. Однако Ли–Сонг–Стромингер (Li, Song & Strominger (2008)) предположили, что хиральная квантовая теория гравитации, предложенная Маншотом в 2007 году, может иметь лучшие свойства стабильности, будучи при этом дуальной хиральной части монструозной CFT, т. е. монструозной вершинной алгебре. Дункан–Френкель (Duncan & Frenkel (2009)) предоставили дополнительные доказательства этой дуальности, используя суммы Радемахера для получения рядов Маккея–Томпсона как (2 + 1)-мерных функций распределения гравитации с помощью регуляризованной суммы по глобальным геометриям тора-изогении. Более того, они предположили существование семейства скрученных теорий хиральной гравитации, параметризованных элементами монстра, что предполагает связь с обобщенными суммами лунного света и гравитационных инстантонов. В настоящее время все эти идеи все еще довольно спекулятивны, отчасти потому, что 3D-квантовая гравитация не имеет строгой математической основы.

В 2010 году Тору Эгучи , Хироси Огури и Юдзи Тачикава заметили, что эллиптический род поверхности K3 может быть разложен на характеры суперконформной алгебры N = (4,4) , так что кратности массивных состояний кажутся простыми комбинациями неприводимых представлений группы Матье M24 . ^[5] Это говорит о том, что существует сигма-модельная конформная теория поля с мишенью K3, которая несет симметрию M24. Однако, согласно классификации Мукаи–Кондо, нет точного действия этой группы на любой поверхности K3 посредством симплектических автоморфизмов , и согласно работе Габердиеля–Хохенеггера–Вольпато ^[6], нет точного действия на любой сигма-модели конформной теории поля K3, поэтому появление действия на базовом гильбертовом пространстве все еще остается загадкой.

По аналогии с рядами Маккея–Томпсона Ченг предположил, что и функции кратности , и градуированные следы нетривиальных элементов M24 образуют фиктивные модулярные формы . В 2012 году Ганнон доказал, что все, кроме первой, кратности являются неотрицательными целочисленными комбинациями представлений M24, а Габердиель–Перссон–Ронелленфитч–Вольпато вычислили все аналоги обобщенных функций лунного света, ^[7] убедительно доказав, что за лунным светом Матье лежит некий аналог голоморфной конформной теории поля. Также в 2012 году Ченг, Дункан и Харви собрали численные доказательства феномена теневого лунного света , когда семейства фиктивных модульных форм, по-видимому, прикреплены к решеткам Нимейера . Особый случай A²⁴
₁Решетка дает Матье Лунный свет, но в целом явление пока не имеет интерпретации с точки зрения геометрии.

Термин «чудовищный лунный свет» был придуман Конвеем, который, когда Джон Маккей сказал ему в конце 1970-х годов, что коэффициент (а именно 196884) был ровно на единицу больше степени наименьшего верного комплексного представления группы монстров (а именно 196883), ответил, что это «лузерство» (в смысле безумной или глупой идеи). ^[b] Таким образом, этот термин относится не только к группе монстров M ; он также относится к воспринимаемой безумности запутанной связи между M и теорией модулярных функций.${\displaystyle {q}}$

Группа монстров была исследована в 1970-х годах математиками Жаном-Пьером Серром , Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном ; они изучали фактор-группу гиперболической плоскости по подгруппам SL ₂ ( R ), в частности, по нормализатору Γ ₀ ( p ) ⁺ подгруппы конгруэнции Гекке Γ ₀ ( p ) в SL(2, R ). Они обнаружили, что риманова поверхность , полученная в результате взятия фактора гиперболической плоскости по Γ ₀ ( p ) ^{+ ,} имеет род ноль точно для p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг позже услышал о группе монстров и заметил, что это были именно простые множители размера M , он опубликовал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel's любому, кто сможет объяснить этот факт (Огг (1974)). Эти 15 простых чисел известны как суперсингулярные простые числа , не путать с использованием той же фразы с другим значением в алгебраической теории чисел.

• Библиография Moonshine на Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2006 г.)
• Математики гоняются за тенью лунного света