Модульная кривая

В теории чисел и алгебраической геометрии модулярная кривая Y (Γ) — это риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая , построенная как фактор комплексной верхней полуплоскости H по действию конгруэнтной подгруппы Γ модулярной группы целочисленных матриц 2×2 SL(2,  Z ). Термин модулярная кривая может также использоваться для обозначения компактифицированных модулярных кривых X (Γ), которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек (называемых каспами Γ ) к этому фактору (посредством действия на расширенной комплексной верхней полуплоскости ). Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизма эллиптических кривых вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ. Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых, без ссылки на комплексные числа , и, более того, доказать, что модулярные кривые определяются либо над полем рациональных чисел Q , либо над циклотомическим полем Q (ζ _n ). Последний факт и его обобщения имеют фундаментальное значение в теории чисел.

Модулярная группа SL(2,  Z ) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями . Аналитическое определение модулярной кривой включает выбор конгруэнтной подгруппы Γ группы SL(2,  Z ), т.е. подгруппы, содержащей главную конгруэнтную подгруппу уровня N для некоторого положительного целого числа N , которое определяется как

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ и }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Минимальное такое N называется уровнем Γ . Сложную структуру можно наложить на фактор Γ\ H , чтобы получить некомпактную риманову поверхность, называемую модулярной кривой и обычно обозначаемую Y (Γ).

Обычная компактификация Y (Γ) получается путем добавления конечного числа точек, называемых каспами Γ. В частности, это делается путем рассмотрения действия Γ на расширенной комплексной верхней полуплоскости H * =  H ∪ Q ∪ {∞ }. Мы вводим топологию на H *, взяв за основу:

• любое открытое подмножество H ,
• для всех r > 0 множество${\displaystyle \{\infty \}\чашка \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau)>r\}}$
• для всех взаимно простых целых чисел a , c и всех r > 0, образ под действием${\displaystyle \{\infty \}\чашка \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau)>r\}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}$

где m , n — целые числа, такие, что an + cm = 1.

Это превращает H * в топологическое пространство, которое является подмножеством сферы Римана P ¹ ( C ). Группа Γ действует на подмножестве Q ∪ {∞ }, разбивая его на конечное число орбит, называемых каспами Γ . Если Γ действует транзитивно на Q ∪ {∞ }, пространство Γ\ H * становится компактификацией Александрова Γ\ H . Опять же, на фактор Γ\ H * можно наложить комплексную структуру, превратив ее в риманову поверхность, обозначаемую X (Γ), которая теперь компактна . Это пространство является компактификацией Y (Γ). ^[1]

Наиболее распространенными примерами являются кривые X ( N ), X ₀ ( N ) и X ₁ ( N ), связанные с подгруппами Γ( N ), Γ ₀ ( N ) и Γ ₁ ( N ).

Модулярная кривая X (5) имеет род 0: это сфера Римана с 12 каспами, расположенными в вершинах правильного икосаэдра . Накрытие X (5) → X (1) реализуется действием группы икосаэдра на сфере Римана. Эта группа является простой группой порядка 60, изоморфной A ₅ и PSL(2, 5).

Модулярная кривая X (7) — это квартика Клейна рода 3 с 24 каспами. Ее можно интерпретировать как поверхность с тремя ручками, замощенную 24 семиугольниками, с каспом в центре каждой грани. Эти мозаики можно понять с помощью детских рисунков и функций Белого — каспы — это точки, лежащие над ∞ (красные точки), а вершины и центры ребер (черные и белые точки) — это точки, лежащие над 0 и 1. Группа Галуа накрытия X (7) →  X (1) — это простая группа порядка 168, изоморфная PSL(2, 7) .

Существует явная классическая модель для X ₀ ( N ), классическая модулярная кривая ; ее иногда называют модулярной кривой. Определение Γ( N ) можно переформулировать следующим образом: это подгруппа модулярной группы, которая является ядром редукции по модулю N . Тогда Γ ₀ ( N ) является большей подгруппой матриц, которые являются верхнетреугольными по модулю N :

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},}$

и Γ ₁ ( N ) — промежуточная группа, определяемая формулой:

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Эти кривые имеют прямую интерпретацию как пространства модулей для эллиптических кривых со структурой уровня и по этой причине они играют важную роль в арифметической геометрии . Модульная кривая уровня N X ( N ) является пространством модулей для эллиптических кривых с базисом для N - кручения . Для X ₀ ( N ) и X ₁ ( N ) структура уровня является, соответственно, циклической подгруппой порядка N и точкой порядка N . Эти кривые были изучены очень подробно, и в частности, известно, что X ₀ ( N ) может быть определена над Q .

Уравнения, определяющие модулярные кривые, являются наиболее известными примерами модулярных уравнений . «Лучшие модели» могут сильно отличаться от тех, которые взяты непосредственно из теории эллиптических функций . Операторы Гекке можно изучать геометрически, как соответствия, соединяющие пары модулярных кривых.

Факторы H, которые являются компактными, встречаются для фуксовых групп Γ, отличных от подгрупп модулярной группы; класс таких факторов, построенных из кватернионных алгебр, также представляет интерес для теории чисел.

Покрытие X ( N ) → X (1) является покрытием Галуа с группой Галуа SL(2, N )/{1, −1}, которая равна PSL(2,  N ), если N — простое число. Применяя формулу Римана–Гурвица и теорему Гаусса–Бонне , можно вычислить род X ( N ). Для простого уровня p ≥ 5,

${\displaystyle -\пи \хи (X(p))=|G|\cdot D,}$

где χ = 2 − 2 g — эйлерова характеристика , | G | = ( p +1) p ( p −1)/2 — порядок группы PSL(2, p ), а D = π − π/2 − π/3 − π/ p — угловой дефект сферического треугольника (2,3, p ). Это приводит к формуле

${\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).}$

Таким образом, X (5) имеет род 0, X (7) имеет род 3, а X (11) имеет род 26. Для p = 2 или 3 необходимо дополнительно учитывать ветвление, то есть наличие элементов порядка p в PSL(2, Z ), и тот факт, что PSL(2, 2) имеет порядок 6, а не 3. Существует более сложная формула для рода модулярной кривой X ( N ) любого уровня N , которая включает делители N .

В общем случае поле модулярных функций — это функциональное поле модулярной кривой (или, иногда, некоторого другого пространства модулей , которое оказывается неприводимым многообразием ). Род нуль означает, что такое функциональное поле имеет одну трансцендентную функцию в качестве генератора: например, j-функция генерирует функциональное поле X (1) = PSL(2, Z )\ H *. Традиционное название для такого генератора, который является уникальным с точностью до преобразования Мёбиуса и может быть соответствующим образом нормализован, — Hauptmodul ( главная или главная модулярная функция , множественное число Hauptmoduln ).

Пространства X ₁ ( n ) имеют род ноль для n  = 1, ..., 10 и n = 12. Поскольку каждая из этих кривых определена над Q и имеет Q -рациональную точку, то отсюда следует, что на каждой такой кривой существует бесконечно много рациональных точек, а значит, и бесконечно много эллиптических кривых, определенных над Q с n -кручением для этих значений n . Обратное утверждение, что могут встречаться только эти значения n , называется теоремой Мазура о кручении .

Модулярные кривые имеют род один тогда и только тогда, когда равно одному из 12 значений, перечисленных в следующей таблице. ^[2] Как эллиптические кривые над , они имеют минимальные, интегральные модели Вейерштрасса . Это так, и абсолютное значение дискриминанта является минимальным среди всех интегральных моделей Вейерштрасса для той же кривой. Следующая таблица содержит уникальные редуцированные , минимальные, интегральные модели Вейерштрасса, что означает и . ^[3] Последний столбец этой таблицы относится к домашней странице соответствующей эллиптической модульной кривой в базе данных L-функций и модульных форм (LMFDB) . ${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$${\displaystyle \textstyle a_{j}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}}$${\displaystyle \textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}}$${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$

${\displaystyle X_{0}(N)}$рода 1

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$
${\displaystyle N}$	${\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}]}$	${\displaystyle \Delta }$	ЛМФДБ
11	[0, -1, 1, -10, -20]	${\displaystyle \textstyle -11^{5}}$	связь
14	[1, 0, 1, 4, -6]	${\displaystyle \textstyle -2^{6}\cdot 7^{3}}$	связь
15	[1, 1, 1, -10, -10]	${\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 5^{4}}$	связь
17	[1, -1, 1, -1, -14]	${\displaystyle \textstyle -17^{4}}$	связь
19	[0, 1, 1, -9, -15]	${\displaystyle \textstyle -19^{3}}$	связь
20	[0, 1, 0, 4, 4]	${\displaystyle \textstyle -2^{8}\cdot 5^{2}}$	связь
21	[1, 0, 0, -4, -1]	${\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 7^{2}}$	связь
24	[0, -1, 0, -4, 4]	${\displaystyle \textstyle 2^{8}\cdot 3^{2}}$	связь
27	[0, 0, 1, 0, -7]	${\displaystyle \textstyle -3^{9}}$	связь
32	[0, 0, 0, 4, 0]	${\displaystyle \textstyle -2^{12}}$	связь
36	[0, 0, 0, 0, 1]	${\displaystyle \textstyle -2^{4}\cdot 3^{3}}$	связь
49	[1, -1, 0, -2, -1]	${\displaystyle \textstyle -7^{3}}$	связь

Модулярные кривые рода 0, которые встречаются довольно редко, оказались крайне важными в связи с чудовищными гипотезами лунного света . Первые несколько коэффициентов q -разложений их Hauptmoduln были вычислены еще в 19 веке, но шоком стало то, что те же самые большие целые числа оказались размерностями представлений крупнейшей спорадической простой группы Monster.

Другая связь заключается в том, что модулярная кривая, соответствующая нормализатору Γ 0 ₍ p ) + ^для Γ 0 ₍ p ) в SL(2, R ), имеет род ноль тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, и это в точности суперсингулярные простые числа в теории лунного света , то есть простые множители порядка группы монстров . Результат о Γ ₀ ( p ) ⁺ принадлежит Жан-Пьеру Серру , Эндрю Оггу и Джону Г. Томпсону в 1970-х годах, а последующее наблюдение, связывающее его с группой монстров, принадлежит Оггу, который написал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel's любому, кто сможет объяснить этот факт, что стало отправной точкой для теории чудовищного лунного света. ^[4]

Связь эта очень глубокая и, как показал Ричард Борчердс , она также включает обобщенные алгебры Каца–Муди . Работа в этой области подчеркнула важность модулярных функций , которые являются мероморфными и могут иметь полюса в точках возврата, в отличие от модулярных форм , которые голоморфны везде, включая точки возврата, и были основными объектами изучения в течение большей части 20-го века.

• Теорема Манина–Дринфельда
• Модульный стек эллиптических кривых
• Теорема о модульности
• Многообразие Шимуры , обобщение модульных кривых на более высокие размерности

• Стивен Д. Гэлбрейт - Уравнения для модулярных кривых