Группа когомологий Тейта

В математике группы когомологий Тейта представляют собой слегка измененную форму обычных групп когомологий конечной группы, которые объединяют группы гомологии и когомологии в одну последовательность. Они были введены Джоном Тейтом  (1952, стр. 297) и используются в теории полей классов .

Определение

Если G — конечная группа и A — G - модуль , то существует естественное отображение N из в , переводящее представителя a в (сумму по всем G -сопряженным элементам a ). Группы когомологий Тейта определяются как ЧАС 0 ( Г , А ) {\displaystyle H_{0}(G,A)} ЧАС 0 ( Г , А ) {\displaystyle H^{0}(G,A)} ∑ г ∈ Г г а {\displaystyle \sum _{g\in G}ga} ЧАС ^ н ( Г , А ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}

  • ЧАС ^ н ( Г , А ) = ЧАС н ( Г , А ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)} для , н ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}
  • ЧАС ^ 0 ( Г , А ) = коксование ⁡ Н = {\displaystyle {\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {коксователь} N=} частное по нормам элементов A , ЧАС 0 ( Г , А ) {\displaystyle H^{0}(G,A)}
  • ЧАС ^ − 1 ( Г , А ) = кер ⁡ Н = {\displaystyle {\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=} частное от деления элементов нормы 0 матрицы A на главные элементы матрицы A ,
  • ЧАС ^ н ( Г , А ) = ЧАС − н − 1 ( Г , А ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)} для . н ≤ − 2 {\displaystyle n\leq -2}

Характеристики

  • Если
0 ⟶ А ⟶ Б ⟶ С ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}
представляет собой короткую точную последовательность G -модулей, то мы получаем обычную длинную точную последовательность групп когомологий Тейта:
⋯ ⟶ ЧАС ^ н ( Г , А ) ⟶ ЧАС ^ н ( Г , Б ) ⟶ ЧАС ^ н ( Г , С ) ⟶ ЧАС ^ н + 1 ( Г , А ) ⟶ ЧАС ^ н + 1 ( Г , Б ) ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots }
  • Если A — индуцированный G- модуль (то есть индуцированный из модуля для тривиальной группы), то все группы когомологий Тейта модуля A обращаются в нуль.
  • Нулевая группа когомологий Тейта для A — это
(Неподвижные точки G на A )/(Очевидные неподвижные точки G , действующие на A )

где под «очевидной» неподвижной точкой мы подразумеваем те, которые имеют вид . Другими словами, нулевая группа когомологий в некотором смысле описывает неочевидные неподвижные точки G , действующие на A . ∑ г а {\displaystyle \sum ga}

Группы когомологий Тейта характеризуются тремя свойствами, указанными выше.

Теорема Тейта

Теорема Тейта (Tate 1952) дает условия для умножения на класс когомологий, чтобы быть изоморфизмом между группами когомологий. Существует несколько слегка отличающихся версий; версия, которая особенно удобна для теории полей классов, выглядит следующим образом:

Предположим, что A — модуль над конечной группой G , а a — элемент , такой, что для любой подгруппы E группы G ЧАС 2 ( Г , А ) {\displaystyle H^{2}(G,A)}

  • ЧАС 1 ( Э , А ) {\displaystyle H^{1}(E,A)} тривиально, и
  • ЧАС 2 ( Э , А ) {\displaystyle H^{2}(E,A)} генерируется , который имеет порядок E . Рез ⁡ ( а ) {\displaystyle \operatorname {Res} (a)}

Тогда произведение чашек с a является изоморфизмом:

  • ЧАС ^ н ( Г , З ) ⟶ ЧАС ^ н + 2 ( Г , А ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)}

для всех n ; другими словами, градуированные когомологии Тейта A изоморфны когомологиям Тейта с целыми коэффициентами, причем степень сдвинута на 2.

Когомологии Тейта-Фаррелла

Ф. Томас Фаррелл расширил группы когомологий Тейта на случай всех групп G конечной виртуальной когомологической размерности. В теории Фаррелла группы изоморфны обычным группам когомологий, если n больше виртуальной когомологической размерности группы G. Конечные группы имеют виртуальную когомологическую размерность 0, и в этом случае группы когомологий Фаррелла такие же, как у Тейта. ЧАС ^ н ( Г , А ) {\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}

Смотрите также

Ссылки

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tate_cohomology_group&oldid=1268343284"