Монстр алгебры Ли

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (November 2014) (Learn how and when to remove this message)

В математике чудовищная алгебра Ли — это бесконечномерная обобщенная алгебра Каца–Муди, на которую действует группа монстров , которая использовалась для доказательства чудовищных гипотез о лунном свете .

Алгебра Ли-монстра — это алгебра Ли с Z ² -градуировкой . Часть степени ( m ,  n ) имеет размерность c _mn , если ( m ,  n ) ≠ (0, 0) и размерность 2, если ( m ,  n ) = (0, 0). Целые числа c _n являются коэффициентами q ⁿ j - инварианта как эллиптической модулярной функции

${\displaystyle j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .}$

Подалгебра Картана — это двумерное подпространство степени (0, 0), поэтому монструозная алгебра Ли имеет ранг 2.

Алгебра Ли-монстра имеет только один действительный простой корень , заданный вектором (1, −1), а группа Вейля имеет порядок 2 и действует, отображая ( m ,  n ) в ( n ,  m ). Мнимые простые корни — это векторы (1, n ) для n  = 1, 2, 3, ..., и они имеют кратности c _n .

Формула знаменателя для монструозной алгебры Ли представляет собой формулу произведения для j -инварианта:

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}.}$

Формула знаменателя (иногда называемая тождеством бесконечного произведения Коике-Нортона-Загира) была открыта в 1980-х годах. Несколько математиков, включая Масао Коике, Саймона П. Нортона и Дона Загира , независимо друг от друга сделали это открытие. ^[1]

Существует два способа построения монструозной алгебры Ли. ^{[ требуется ссылка ]} Поскольку это обобщенная алгебра Каца–Муди, простые корни которой известны, ее можно определить явными генераторами и соотношениями; однако это представление не дает действия на ней группы-монстра.

Его также можно построить из алгебры вершин монстра , используя теорему Годдарда–Торна из теории струн . Эта конструкция намного сложнее, но также доказывает, что группа монстров действует на нее естественным образом. ^[1]