Супер алгебра Вирасоро
Суперсимметричное расширение алгебры Вирасоро

В математической физике супералгебра Вирасоро является расширением алгебры Вирасоро (названной в честь Мигеля Анхеля Вирасоро ) до супералгебры Ли . В теории суперструн особое значение имеют два расширения : алгебра Рамона (названная в честь Пьера Рамона ) [1] и алгебра Невё–Шварца (названная в честь Андре Невё и Джона Генри Шварца ). [2] Обе алгебры имеют N = 1 суперсимметрию и чётную часть, заданную алгеброй Вирасоро. Они описывают симметрии суперструны в двух различных секторах, называемых сектором Рамона и сектором Невё–Шварца .

TheН= 1 супералгебра Вирасоро

Существует два минимальных расширения алгебры Вирасоро с суперсимметрией N = 1: алгебра Рамона и алгебра Невё–Шварца. Они обе являются супералгебрами Ли, четная часть которых — алгебра Вирасоро: эта алгебра Ли имеет базис, состоящий из центрального элемента C и генераторов L m (для целых m ), удовлетворяющих

[ Л м , Л н ] = ( м − н ) Л м + н + с 12 м ( м 2 − 1 ) δ м + н , 0 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}

где находится дельта Кронекера . δ я , дж {\displaystyle \delta _{i,j}}

Нечетная часть алгебры имеет базис , где — либо целое число (случай Рамона), либо половина нечетного целого числа (случай Невё–Шварца). В обоих случаях является центральным в супералгебре, а дополнительные градуированные скобки задаются как Г г {\displaystyle G_{r}} г {\displaystyle r} с {\displaystyle с}

[ Л м , Г г ] = ( м 2 − г ) Г м + г {\displaystyle [L_{m},G_{r}]=\left({\frac {m}{2}}-r\right)G_{m+r}}

{ Г г , Г с } = 2 Л г + с + с 3 ( г 2 − 1 4 ) δ г + с , 0 {\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}\left(r^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\delta _{r+s,0}}

Обратите внимание, что эта последняя скобка является антикоммутатором , а не коммутатором, поскольку оба генератора нечетные.

Алгебра Рамона имеет представление в терминах 2 образующих и 5 условий; а алгебра Невё—Шварца имеет представление в терминах 2 образующих и 9 условий. [3]

Представления

Унитарные представления с наивысшим весом этих алгебр имеют классификацию, аналогичную классификации для алгебры Вирасоро, с континуумом представлений вместе с бесконечной дискретной серией. Существование этих дискретных серий было высказано Дэниелом Фриданом , Зонганом Цю и Стивеном Шенкером (1984). Это было доказано Питером Годдардом , Адрианом Кентом и Дэвидом Оливом (1986), используя суперсимметричное обобщение конструкции смежного класса или конструкции GKO.

Применение к теории суперструн

В теории суперструн фермионные поля на замкнутой струне могут быть как периодическими, так и антипериодическими на окружности вокруг струны. Состояния в «секторе Рамона» допускают один вариант (периодические условия называются граничными условиями Рамона ), описываемый алгеброй Рамона, тогда как состояния в «секторе Невё–Шварца» допускают другой вариант (антипериодические условия называются граничными условиями Невё–Шварца ), описываемый алгеброй Невё–Шварца.

Для фермионного поля периодичность зависит от выбора координат на мировом листе . В w-системе отсчета , в которой мировой лист одного струнного состояния описывается как длинный цилиндр, состояния в секторе Невё–Шварца являются антипериодическими, а состояния в секторе Рамона — периодическими. В z-системе отсчета , в которой мировой лист одного струнного состояния описывается как бесконечная проколотая плоскость, верно обратное.

Сектор Невё–Шварца и сектор Рамона также определены в открытой струне и зависят от граничных условий фермионного поля на краях открытой струны.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Ramond, P. (1971-05-15). "Dual Theory for Free Fermions". Physical Review D. 3 ( 10). Американское физическое общество (APS): 2415– 2418. Bibcode : 1971PhRvD...3.2415R. doi : 10.1103/physrevd.3.2415. ISSN  0556-2821.
  2. ^ Neveu, A.; Schwarz, JH (1971). «Безтахионная дуальная модель с траекторией положительного пересечения». Physics Letters B. 34 ( 6). Elsevier BV: 517– 518. Bibcode :1971PhLB...34..517N. doi :10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN  0370-2693.
  3. ^ Fairlie, DB; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Презентация для алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро". Communications in Mathematical Physics . 117 (4): 595. Bibcode : 1988CMaPh.117..595F. doi : 10.1007/BF01218387. S2CID  119811901.

Ссылки

  • Беккер, К.; Беккер, М.; Шварц, Дж. Х. (2007), Теория струн и М-теория: современное введение , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86069-7
  • Goddard, P. ; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Унитарные представления алгебр Вирасоро и супералгебр Вирасоро", Comm. Math. Phys. , 103 (1): 105– 119, Bibcode :1986CMaPh.103..105G, doi :10.1007/bf01464283, S2CID  91181508, архивировано из оригинала 2012-12-09
  • Грин, Майкл Б .; Шварц, Джон Х.; Виттен , Эдвард (1988a), Теория суперструн, Том 1: Введение , Cambridge University Press, ISBN 0521357527
  • Кац, Виктор Г.; Тодоров, Иван Т. (1985), "Суперконформные токовые алгебры и их унитарные представления", Comm. Math. Phys. , 102 (2): 337– 347, Bibcode : 1985CMaPh.102..337K, doi : 10.1007/bf01229384, S2CID  189831973
  • Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "Новые N  = 2 суперконформные теории поля и компактификация суперструн", Nuclear Physics B , 321 (1): 232– 268, Bibcode : 1989NuPhB.321..232K, doi : 10.1016/0550-3213(89)90250-2
  • Mezincescu, L.; Nepomechie, I.; Zachos, CK (1989). "(Супер)конформная алгебра на (супер)торе". Nuclear Physics B. 315 ( 1): 43. Bibcode :1989NuPhB.315...43M. doi :10.1016/0550-3213(89)90448-3.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Super_Virasoro_algebra&oldid=1206435677"