решетка Нимейера

В математике решетка Нимейера — одна из 24 положительно определенных четных унимодулярных решеток ранга 24, которые были классифицированы Гансом-Фолькером Нимейером (1973). Венков (1978) дал упрощенное доказательство классификации. Витт (1941) упоминает ,  что нашел более 10 таких решеток, но не приводит никаких дополнительных подробностей. Одним из примеров решетки Нимейера является решетка Лича, найденная в 1967 году.

Решетки Нимейера обычно маркируются диаграммой Дынкина их корневой решетки . Каждая решетка Нимейера может быть построена из ее корневой решетки (за исключением решетки Лича, которая не имеет корней) путем присоединения элементов, известных как клеевые векторы, как подробно описано в §16.1 работы Конвея и Слоана (1998). Диаграммы Дынкина, связанные с решеткой Нимейера, имеют ранг либо 0, либо 24, и все их компоненты имеют одинаковое число Коксетера . (Число Коксетера, по крайней мере в этих случаях, представляет собой число корней, деленное на размерность.) Существует ровно 24 диаграммы Дынкина с этими свойствами, и оказывается, что для каждой из этих диаграмм Дынкина существует уникальная решетка Нимейера.

Полный список решеток Нимейера приведен в следующей таблице. В таблице

G ₀ — порядок группы, порожденной отражениями

G ₁ — порядок группы автоморфизмов, фиксирующих все компоненты диаграммы Дынкина.

G ₂ — порядок группы автоморфизмов перестановок компонент диаграммы Дынкина

G _∞ — индекс корневой решетки в решетке Нимейера, другими словами, порядок «связующего кода». Это квадратный корень дискриминанта корневой решетки.

G ₀ × G ₁ × G ₂ — порядок группы автоморфизмов решетки

G _∞ × G ₁ × G ₂ — порядок группы автоморфизмов соответствующей глубокой дыры.

Ряд	Решетчатая корневая система	Диаграмма Дынкина	Число Кокстера	Г 0	Г 1	Г 2	Г ∞
1	Решетка пиявки (без корней)		0	1	2Co 1	1	Я 24
2	А 1 24		2	2 24	1	М 24	2 12
3	А 2 12		3	3! 12	2	М 12	3 6
4	А 3 8		4	4! 8	2	1344	4 4
5	А 4 6		5	5! 6	2	120	5 3
6	А 5 4 Д 4		6	6! 4 (2 3 4!)	2	24	72
7	Д 4 6		6	(2 3 4!) 6	3	720	4 3
8	А 6 4		7	7! 4	2	12	7 2
9	А 7 2 Д 5 2		8	8! 2 (2 4 5!) 2	2	4	32
10	А 8 3		9	9! 3	2	6	27
11	А 9 2 Д 6		10	10! 2 (2 5 6!)	2	2	20
12	Д 6 4		10	(2 5 6!) 4	1	24	16
13	Э 6 4		12	(2 7 3 4 5) 4	2	24	9
14	А 11 Д 7 Д 6		12	12!(2 6 7!)(2 7 3 4 5)	2	1	12
15	А 12 2		13	13! 2	2	2	13
16	Д 8 3		14	(2 7 8!) 3	1	6	8
17	А 15 Д 9		16	16!(2 8 9!)	2	1	8
18	А 17 Е 7		18	18!(2 10 3 4 5,7)	2	1	6
19	Д 10 Э 7 2		18	(2 9 10!)(2 10 3 4 5.7) 2	1	2	4
20	Д 12 2		22	(2 11 12!) 2	1	2	4
21	А 24		25	25!	2	1	5
22	Д 16 Э 8		30	(2 15 16!)(2 14 3 5 5 2 7)	1	1	2
23	Е 8 3		30	(2 14 3 5 5 2 7) 3	1	6	1
24	Д 24		46	2 23 24!	1	1	2

Если L — нечетная унимодулярная решетка размерности 8 n , а M — ее подрешетка четных векторов, то M содержится ровно в 3 унимодулярных решетках, одна из которых — L , а две другие — четные. (Если L имеет вектор нормы 1, то две четные решетки изоморфны .) Граф окрестностей Кнезера в 8 n измерениях имеет точку для каждой четной решетки и линию, соединяющую две точки, для каждой нечетной 8 n размерной решетки без векторов нормы 1, где вершины каждой линии — две четные решетки, связанные с нечетной решеткой. Между одной и той же парой вершин может быть несколько линий, и могут быть линии из вершины в нее саму. Кнезер доказал, что этот граф всегда связен. В 8 измерениях он имеет одну точку и ни одной линии, в 16 измерениях он имеет две точки, соединенные одной линией, а в 24 измерениях это следующий граф:

Каждая точка представляет одну из 24 решеток Нимейера, а соединяющие их линии представляют 24-мерные нечетные унимодулярные решетки без векторов нормы 1. Число слева — это число Кокстера решетки Нимейера. Красный индексный номер в узле указывает строку соответствующей таблицы выше.

В 32 измерениях граф соседства имеет более миллиарда вершин.

Некоторые из решеток Нимейера связаны со спорадическими простыми группами . Решетка Лича находится под действием двойного покрытия группы Конвея , а решетки A ₁ ²⁴ и A ₂ ¹² находятся под действием групп Матье M ₂₄ и M ₁₂ .

Решетки Нимейера, отличные от решетки Лича, соответствуют глубоким дырам решетки Лича. Это подразумевает, что аффинные диаграммы Дынкина решеток Нимейера можно увидеть внутри решетки Лича, когда две точки решетки Лича не соединены линиями, если они находятся на расстоянии , одной линией, если они находятся на расстоянии , и двойной линией, если они находятся на расстоянии .${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

Решетки Нимейера также соответствуют 24 орбитам примитивных векторов нулевой нормы w четной унимодулярной лоренцевой решетки II _25,1 , где решетка Нимейера, соответствующая w , есть w ^⊥ / w .

• Мрачный самогон
• Формула массы Смита Минковского Зигеля#Размерность n = 24

• Шеневье, Гаэтан; Ланн, Жан (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
• Conway, JH ; Sloane, NJA (1998). Упаковки сфер, решетки и группы (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
• Эбелинг, Вольфганг (2002) [1994], Решетки и коды, Лекции продвинутого уровня по математике (переработанная редакция), Брауншвейг: Фридр. Vieweg & Sohn, doi : 10.1007/978-3-322-90014-2, ISBN 978-3-528-16497-3, г-н  1938666
• Нимейер, Ханс-Фолькер (1973). «Определенная квадратичная форма измерения 24 и дискриминация 1» (на немецком языке) . Журнал теории чисел . 5 (2): 142–178 . Бибкод : 1973JNT.....5..142N. дои : 10.1016/0022-314X(73)90068-1 . МР  0316384.
• Венков Б.Б. (1978), "К классификации целых даже унимодулярных 24-мерных квадратичных форм", Академия наук Союза Советских Социалистических Республик. Труды Математического института имени В.А. Стеклова , 148 : 65–76 , ISSN  0371-9685, MR  0558941Перевод на английский язык в Conway & Sloane (1998)
• Витт, Эрнст (1941), «Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 14 : 323–337 , doi : 10.1007/BF02940750, MR  0005508, S2CID  120849019
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen , Собрание сочинений Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN 978-3-540-57061-5, г-н  1643949

• Каталог решеток Ахенского университета