Монодромия

В математике монодромия — это изучение того, как объекты из математического анализа , алгебраической топологии , алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии ведут себя, когда они «бегут» вокруг сингулярности . Как следует из названия, фундаментальное значение монодромии происходит от «бега по кругу поодиночке». Она тесно связана с покрывающими картами и их вырождением в разветвление ; аспект, порождающий явление монодромии, заключается в том, что некоторые функции, которые мы хотим определить, не могут быть однозначными , когда мы «бежим по кругу» по пути, окружающему сингулярность. Неудача монодромии может быть измерена путем определения группы монодромии : группы преобразований, действующих на данные, которые кодируют то, что происходит, когда мы «бежим по кругу» в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией . ^[1]

Пусть X — связное и локально связное топологическое пространство с базой x , и пусть — покрытие со слоем . Для петли γ: [0, 1] → X с базой в x обозначим подъем под отображением покрытия, начинающийся в точке , через . Наконец, мы обозначаем через конечную точку , которая в общем случае отличается от . Существуют теоремы, утверждающие, что эта конструкция дает хорошо определенное групповое действие фундаментальной группы π ₁ ( X , x ) на F , и что стабилизатором является в точности , то есть элемент [γ] фиксирует точку в F тогда и только тогда, когда он представлен образом петли в с базой в . Это действие называется действием монодромии , а соответствующий гомоморфизм π ₁ ( X ,  x ) → Aut( H _* ( F _x )) в группу автоморфизмов на F — алгебраическая монодромия . Образ этого гомоморфизма — группа монодромии . Существует еще одно отображение π ₁ ( X ,  x ) → Diff( F _x )/Is( F _x ), образ которого называется топологической группой монодромии .${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle {\tilde {x}}\cdot \gamma }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$${\displaystyle {\тильда {x}}}$ ${\displaystyle {\тильда {x}}}$${\displaystyle p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)}$${\displaystyle {\тильда {X}}}$${\displaystyle {\тильда {x}}}$

Эти идеи впервые были явно выражены в комплексном анализе . В процессе аналитического продолжения функция, которая является аналитической функцией F ( z ) в некотором открытом подмножестве E проколотой комплексной плоскости, может быть продолжена обратно в E , но с другими значениями. Например, возьмем${\displaystyle \mathbb {C} \обратная косая черта \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{align}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end{align}}}$

затем аналитическое продолжение против часовой стрелки по кругу

${\displaystyle |z|=1}$

приведет к возврату не к F ( z ), а

${\displaystyle F(z)+2\пи i}$

В этом случае группа монодромии является бесконечной циклической , а покрывающее пространство является универсальным покрытием проколотой комплексной плоскости. Это покрытие можно визуализировать как геликоид (как определено в статье о геликоиде), ограниченный ρ > 0. Покрывающее отображение является вертикальной проекцией, в некотором смысле схлопывающей спираль очевидным образом, чтобы получить проколотую плоскость.

Одно важное приложение — дифференциальные уравнения , где одно решение может давать дальнейшие линейно независимые решения посредством аналитического продолжения . Линейные дифференциальные уравнения , определенные в открытом связном множестве S в комплексной плоскости, имеют группу монодромии, которая (точнее) является линейным представлением фундаментальной группы S , суммируя все аналитические продолжения вокруг петель внутри S. Обратная задача построения уравнения (с регулярными особенностями ) по заданному представлению — это задача Римана–Гильберта .

Для регулярной (и в частности фуксовой) линейной системы в качестве генераторов группы монодромии обычно выбирают операторы M _{j ,} соответствующие петлям, каждая из которых обходит только один из полюсов системы против часовой стрелки. Если индексы j выбраны таким образом, что они увеличиваются от 1 до p  + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственным соотношением между генераторами является равенство . Проблема Делиня–Симпсона — это следующая задача реализации: для каких кортежей классов сопряженности в GL( n ,  C ) существуют неприводимые кортежи матриц M _j из этих классов, удовлетворяющие указанному выше соотношению? Проблема была сформулирована Пьером Делинем , а Карлос Симпсон первым получил результаты по ее решению. Аддитивная версия задачи о вычетах фуксовых систем была сформулирована и исследована Владимиром Костовым. Проблема рассматривалась и другими авторами для групп матриц, отличных от GL( n ,  C ). ^[2]${\displaystyle M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id} }$

В случае накрывающего отображения мы рассматриваем его как частный случай расслоения и используем свойство гомотопического подъема , чтобы «следовать» путям на базовом пространстве X (для простоты мы предполагаем, что оно путями связно ), поскольку они поднимаются в покрытие C. Если мы следуем по петле с основанием в x в X , которую мы поднимаем, чтобы начать в c выше  x , мы закончим в некоторой точке c* снова выше x ; вполне возможно, что c  ≠  c* , и для кодирования этого рассматривается действие фундаментальной группы π ₁ ( X ,  x ) как группы перестановок на множестве всех  c , как группы монодромии в этом контексте.

В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос . В главном расслоении B над гладким многообразием M соединение допускает «горизонтальное» движение от волокон выше m в M к соседним. Эффект при применении к петлям, основанным на m , заключается в определении группы голономии трансляций волокна в m ; если структурная группа B — G , то это подгруппа G , которая измеряет отклонение B от произведения  расслоения M  ×  G.

Аналогично фундаментальному группоиду можно избавиться от выбора базовой точки и определить группоид монодромии. Здесь мы рассматриваем (гомотопические классы) подъемы путей в базовом пространстве X расслоения . Результат имеет структуру группоида над базовым пространством X . Преимущество в том, что мы можем отказаться от условия связности  X .${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$

Более того, конструкция может быть обобщена и на слоения : рассмотрим (возможно, сингулярное) слоение M. Тогда для каждого пути в листе M мы можем рассмотреть его индуцированный диффеоморфизм на локальных трансверсальных сечениях через конечные точки. Внутри односвязной карты этот диффеоморфизм становится уникальным и особенно каноническим между различными трансверсальными сечениями, если мы перейдем к ростку диффеоморфизма вокруг конечных точек. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри односвязной карты и, следовательно, инвариантен относительно гомотопии.${\displaystyle (М,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Пусть F ( x ) обозначает поле рациональных функций от переменной x над полем F , которое является полем дробей кольца многочленов F [ x ] . Элемент y = f ( x ) из F ( x ) определяет конечное расширение поля [ F ( x ) : F ( y )].

Это расширение в общем случае не является Галуа, но имеет замыкание Галуа L ( f ). Ассоциированная группа Галуа расширения [ L ( f ) : F ( y )] называется группой монодромии  f .

В случае F  =  C вступает в действие теория римановой поверхности и допускает геометрическую интерпретацию, данную выше. В случае, когда расширение [ C ( x ) :  C ( y )] уже является расширением Галуа, связанная с ним группа монодромии иногда называется группой преобразований палубы .

Это связано с теорией Галуа о накрывающих пространствах, приводящей к теореме о существовании Римана.

• Группа кос
• Матрица монодромии
• Теорема монодромии
• Группа классов отображения (проколотого диска)

• В.И. Данилов (2001) [1994], «Монодромия», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• «Групповые группоиды и монодромные группоиды», О. Муджук, Б. Кылычарслан, Т. Сахан, Н. Алемдар, Топология и ее приложения 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
• Р. Браун Топология и группоиды (2006).
• П. Дж. Хиггинс, «Категории и группоиды», ван Ностранд (1971) TAC Reprint
• Х. Жолондек, «Группа монодромии», Birkhäuser Basel, 2006; дои: 10.1007/3-7643-7536-1