Суперконформная алгебра
Алгебра, объединяющая суперсимметрию и конформную симметрию

В теоретической физике суперконформная алгебра — это градуированная алгебра Ли или супералгебра , объединяющая конформную алгебру и суперсимметрию . В двух измерениях суперконформная алгебра бесконечномерна. В более высоких измерениях суперконформные алгебры конечномерны и порождают суперконформную группу (в двух евклидовых измерениях супералгебра Ли не порождает никакой супергруппы Ли ).

Суперконформная алгебра в размерности больше 2

Конформная группа -мерного пространства есть , а ее алгебра Ли есть . Суперконформная алгебра есть супералгебра Ли, содержащая бозонный фактор и нечетные генераторы которой преобразуются в спинорные представления . Учитывая классификацию Каца конечномерных простых супералгебр Ли, это может произойти только для малых значений и . (Возможно, неполный) список есть ( п + д ) {\displaystyle (p+q)} Р п , д {\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}} С О ( п + 1 , д + 1 ) {\displaystyle SO(p+1,q+1)} с о ( п + 1 , д + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)} с о ( п + 1 , д + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)} с о ( п + 1 , д + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)} п {\displaystyle p} д {\displaystyle д}

  • о с п ∗ ( 2 Н | 2 , 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)} в 3+0D благодаря ; ты с п ( 2 , 2 ) ≃ с о ( 4 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}
  • о с п ( Н | 4 ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)} в 2+1D благодаря ; с п ( 4 , Р ) ≃ с о ( 3 , 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}
  • с ты ∗ ( 2 Н | 4 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)} в 4+0D благодаря ; с ты ∗ ( 4 ) ≃ с о ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}
  • с ты ( 2 , 2 | Н ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)} в 3+1D благодаря ; с ты ( 2 , 2 ) ≃ с о ( 4 , 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}
  • с л ( 4 | Н ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)} в 2+2D благодаря ; с л ( 4 , Р ) ≃ с о ( 3 , 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}
  • реальные формы в пяти измерениях Ф ( 4 ) {\displaystyle F(4)}
  • о с п ( 8 ∗ | 2 Н ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)} в 5+1D, благодаря тому, что спинорные и фундаментальные представления отображаются друг на друга внешними автоморфизмами. с о ( 8 , С ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}

Суперконформная алгебра в 3+1D

Согласно [1] [2] суперконформная алгебра с суперсимметриями в 3+1 измерениях задается бозонными генераторами , , , , U(1) R-симметрией , SU(N) R-симметрией и фермионными генераторами , , и . Здесь обозначают пространственно-временные индексы; левосторонние спинорные индексы Вейля; правосторонние спинорные индексы Вейля; и внутренние индексы R-симметрии. Н {\displaystyle {\mathcal {N}}} П μ {\displaystyle P_{\mu }} Д {\displaystyle D} М μ ν {\displaystyle М_{\му \ну }} К μ {\displaystyle K_{\mu }} А {\displaystyle А} Т дж я {\displaystyle T_{j}^{i}} В α я {\displaystyle Q^{\альфа i}} В ¯ я α ˙ {\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}} С я α {\displaystyle S_{i}^{\alpha }} С ¯ α ˙ я {\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}} μ , ν , ρ , … {\displaystyle \mu,\nu,\rho,\dots} α , β , … {\displaystyle \альфа ,\бета ,\точки } α ˙ , β ˙ , … {\displaystyle {\точка {\альфа}},{\точка {\бета}},\точки} я , дж , … {\displaystyle i,j,\точки}

Суперскобки Ли бозонной конформной алгебры задаются формулой

[ М μ ν , М ρ σ ] = η ν ρ М μ σ − η μ ρ М ν σ + η ν σ М ρ μ − η μ σ М ρ ν {\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }] = \eta _ {\nu \rho }M_ {\mu \sigma } - \eta _ {\mu \rho }M_ {\ nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}
[ М μ ν , П ρ ] = η ν ρ П μ − η μ ρ П ν {\ displaystyle [M _ {\ му \ nu }, P _ {\ rho }] = \ eta _ {\ nu \ rho } P_ {\ mu } - \ eta _ {\ mu \ rho } P_ {\ nu }}
[ М μ ν , К ρ ] = η ν ρ К μ − η μ ρ К ν {\ displaystyle [M _ {\ му \ nu }, K_ {\ rho }] = \ eta _ {\ nu \ rho } K_ {\ mu } - \ eta _ {\ mu \ rho } K_ {\ nu }}
[ М μ ν , Д ] = 0 {\displaystyle [M_ {\mu \nu },D]=0}
[ Д , П ρ ] = − П ρ {\displaystyle [D,P_{\rho}]=-P_{\rho}}
[ Д , К ρ ] = + К ρ {\displaystyle [D,K_{\rho}]=+K_{\rho}}
[ П μ , К ν ] = − 2 М μ ν + 2 η μ ν Д {\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _ {\mu \nu }D}
[ К н , К м ] = 0 {\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}
[ P n , P m ] = 0 {\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}

где η — метрика Минковского ; в то время как для фермионных генераторов метрики следующие:

{ Q α i , Q ¯ β ˙ j } = 2 δ i j σ α β ˙ μ P μ {\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}
{ Q , Q } = { Q ¯ , Q ¯ } = 0 {\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}
{ S α i , S ¯ β ˙ j } = 2 δ j i σ α β ˙ μ K μ {\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}
{ S , S } = { S ¯ , S ¯ } = 0 {\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}
{ Q , S } = {\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}
{ Q , S ¯ } = { Q ¯ , S } = 0 {\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}

Бозонные конформные генераторы не несут никаких R-зарядов, поскольку они коммутируют с генераторами R-симметрии:

[ A , M ] = [ A , D ] = [ A , P ] = [ A , K ] = 0 {\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}
[ T , M ] = [ T , D ] = [ T , P ] = [ T , K ] = 0 {\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}

Но фермионные генераторы несут R-заряд:

[ A , Q ] = − 1 2 Q {\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}
[ A , Q ¯ ] = 1 2 Q ¯ {\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}
[ A , S ] = 1 2 S {\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}
[ A , S ¯ ] = − 1 2 S ¯ {\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}
[ T j i , Q k ] = − δ k i Q j {\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}
[ T j i , Q ¯ k ] = δ j k Q ¯ i {\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}
[ T j i , S k ] = δ j k S i {\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}
[ T j i , S ¯ k ] = − δ k i S ¯ j {\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}

При бозонных конформных преобразованиях фермионные генераторы преобразуются следующим образом:

[ D , Q ] = − 1 2 Q {\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}
[ D , Q ¯ ] = − 1 2 Q ¯ {\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}
[ D , S ] = 1 2 S {\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}
[ D , S ¯ ] = 1 2 S ¯ {\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}
[ P , Q ] = [ P , Q ¯ ] = 0 {\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}
[ K , S ] = [ K , S ¯ ] = 0 {\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}

Суперконформная алгебра в 2D

Существуют две возможные алгебры с минимальной суперсимметрией в двух измерениях: алгебра Невё–Шварца и алгебра Рамона. Возможна дополнительная суперсимметрия, например, суперконформная алгебра N = 2 .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ West, PC (2002). «Введение в жесткие суперсимметричные теории». Конфайнмент, дуальность и непертурбативные аспекты КХД . Серия NATO Science: B. Том 368. С. 453–476. arXiv : hep-th/9805055 . doi :10.1007/0-306-47056-X_17. ISBN 0-306-45826-8. S2CID  119413468.
  2. ^ Гейтс, С. Дж.; Грисару, Маркус Т.; Рочек, М.; Сигел , В. (1983). «Суперпространство, или тысяча и один урок суперсимметрии». Frontiers in Physics . 58 : 1–548. arXiv : hep-th/0108200 . Bibcode : 2001hep.th....8200G.


Значок заглушки

Эта статья по квантовой механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Superconformal_algebra&oldid=1240503727"