Макет модульной формы

В математике фиктивная модулярная форма — это голоморфная часть гармонической слабой формы Мааса , а фиктивная тета-функция — это по сути фиктивная модулярная форма веса .1/2⁠ . Первые примеры фиктивных тета-функций были описаны Шринивасой Рамануджаном в его последнем письме 1920 года к Г. Х. Харди и в его утерянной записной книжке . Сандер Цвегерс обнаружил, что добавление к ним определенных неголоморфных функций превращает их в гармонические слабые формы Мааса. ^{[1] [2]}

В письме Рамануджана от 12 января 1920 года к Харди ^[3] перечислено 17 примеров функций, которые он назвал фиктивными тета-функциями, а его утерянная записная книжка ^[4] содержала еще несколько примеров. (Рамануджан использовал термин «тета-функция» для того, что сегодня назвали бы модулярной формой.) Рамануджан указал, что они имеют асимптотическое разложение в точках возврата, подобное разложению модулярных форм веса ⁠1/2⁠ , возможно, с полюсами в точках возврата, но не может быть выражена в терминах «обычных» тета-функций . Он назвал функции с похожими свойствами «фиктивными тета-функциями». Позже Цвегерс обнаружил связь фиктивной тета-функции со слабыми формами Мааса.

Рамануджан связал порядок с его фиктивными тета-функциями, который не был четко определен. До работы Цвегерса порядки известных фиктивных тета-функций включали

3, 5, 6, 7, 8, 10.

Позднее оказалось, что представление Рамануджана о порядке соответствует проводнику характера Небентипуса веса ⁠1/2⁠ гармонические формы Маасса, которые допускают фиктивные тета-функции Рамануджана в качестве своих голоморфных проекций.

В последующие несколько десятилетий фиктивные тета-функции Рамануджана изучались Уотсоном, Эндрюсом, Сельбергом, Хикерсоном, Чоем, Макинтошом и другими, которые доказали утверждения Рамануджана о них и нашли еще несколько примеров и тождеств. (Большинство «новых» тождеств и примеров уже были известны Рамануджану и вновь появились в его утерянной записной книжке.) В 1936 году Уотсон обнаружил, что под действием элементов модулярной группы фиктивные тета-функции порядка 3 почти преобразуются как модулярные формы веса ⁠1/2⁠ (умноженные на подходящие степени q ), за исключением того, что в функциональных уравнениях есть «ошибочные члены», обычно задаваемые как явные интегралы. ^[5] Однако в течение многих лет не было хорошего определения фиктивной тета-функции. Это изменилось в 2001 году, когда Цвегерс обнаружил связь с неголоморфными модулярными формами, суммами Лерха и неопределенными тета-рядами. Цвегерс показал, используя предыдущую работу Уотсона и Эндрюса, что фиктивные тета-функции порядков 3, 5 и 7 могут быть записаны как сумма слабой формы Мааса веса ⁠1/2⁠ и функция, ограниченная вдоль геодезических, заканчивающихся в точках возврата. ^[2] Слабая форма Мааса имеет собственное значение ⁠3/16⁠ под гиперболическим Лапласианом (то же значение, что и у голоморфных модулярных форм веса ⁠1/2⁠ ); однако, он экспоненциально быстро растет вблизи точек возврата, поэтому он не удовлетворяет обычному условию роста для волновых форм Маасса . Цвегерс доказал этот результат тремя различными способами, связав фиктивные тета-функции с тета-функциями Гекке неопределенных решеток размерности 2, с суммами Аппеля–Лерха и с мероморфными формами Якоби.

Фундаментальный результат Цвегерса показывает, что фиктивные тета-функции являются «голоморфными частями» действительных аналитических модулярных форм веса ⁠1/2⁠ . Это позволяет распространить многие результаты о модулярных формах на фиктивные тета-функции. В частности, подобно модулярным формам, фиктивные тета-функции все лежат в определенных явных конечномерных пространствах, что сводит длинные и сложные доказательства многих тождеств между ними к рутинной линейной алгебре. Впервые стало возможным создать бесконечное количество примеров фиктивных тета-функций; до этой работы было известно всего около 50 примеров (большинство из которых были впервые найдены Рамануджаном). В качестве дальнейших приложений идей Цвегерса Катрин Брингманн и Кен Оно показали, что некоторые q-ряды, возникающие из базового гипергеометрического ряда Роджерса–Файна, связаны с голоморфными частями веса ⁠3/2⁠ гармонические слабые формы Мааса ^[6] и показали, что асимптотический ряд для коэффициентов фиктивной тета-функции f ( q ), изученной Джорджем Эндрюсом ^[7] и Лейлой Драгонетт ^[8], сходится к коэффициентам. ^[9] В частности, фиктивные тета-функции имеют асимптотические разложения в точках возврата модулярной группы , действующей на верхней полуплоскости , которые напоминают разложения модулярных форм веса ⁠1/2⁠ со столбами на концах.

Поддельная модулярная форма будет определена как «голоморфная часть» гармонической слабой формы Маасса .

Зафиксируем вес k , обычно с целым 2 k . Зафиксируем подгруппу Γ группы SL ₂ ( Z ) (или метаплектической группы, если k полуцелое) и характер ρ группы Γ. Модулярная форма f для этого характера и этой группы Γ преобразуется под элементами Γ по формуле

${\displaystyle f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$

Слабая форма Маасса веса k — это непрерывная функция на верхней полуплоскости, которая преобразуется как модулярная форма веса k и является собственной функцией оператора Лапласа веса k и называется гармонической , если ее собственное значение равно ( ⁠1 − к/2⁠ ) ​​⁠к/2⁠ . ^[10] Это собственное значение голоморфных весовых k- модулярных форм, поэтому все они являются примерами гармонических слабых форм Маасса. ( Форма Маасса — это слабая форма Маасса, которая быстро убывает в точках возврата.) Таким образом, гармоническая слабая форма Маасса уничтожается дифференциальным оператором

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}}$

Если F — любая гармоническая слабая форма Мааса, то функция g, заданная выражением

${\displaystyle g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}}$

является голоморфной и преобразуется как модулярная форма веса k , хотя она может не быть голоморфной в точках возврата. Если мы можем найти любую другую функцию g ^* с тем же образом g , то F  −  g ^* будет голоморфной. Такая функция задается путем обращения дифференциального оператора путем интегрирования; например, мы можем определить

${\displaystyle g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}}$

где

${\displaystyle \displaystyle \beta _{k}(t)=\int _{t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du}$

по сути является неполной гамма-функцией . Интеграл сходится всякий раз, когда g имеет ноль в точке возврата i ∞, и неполная гамма-функция может быть расширена аналитическим продолжением , поэтому эту формулу можно использовать для определения голоморфной части g ^* функции F даже в случае, когда g мероморфна в точке i ∞, хотя это требует некоторой осторожности, если k равно 1 или не является целым числом, или если n  = 0. Обратный оператор дифференциального оператора далек от уникальности, поскольку мы можем добавить любую гомоморфную функцию к g ^*, не затрагивая ее образ, и в результате функция g ^* не обязательно должна быть инвариантной относительно группы Γ. Функция h = F −  g  * ^{называется} голоморфной частью F .

Поддельная модулярная форма определяется как голоморфная часть h некоторой гармонической слабой формы Маасса F. Таким образом, существует изоморфизм из пространства поддельных модулярных форм h в подпространство гармонических слабых форм Маасса.

Фиктивная модулярная форма h голоморфна, но не совсем модулярна, в то время как h  +  g ^* модулярна, но не совсем голоморфна. Пространство фиктивных модулярных форм веса k содержит пространство почти модулярных форм («модулярных форм, которые могут быть мероморфными в точках возврата») веса k в качестве подпространства. Фактор (антилинейно) изоморфен пространству голоморфных модулярных форм веса 2 −  k . Модулярная форма веса (2 −  k ) , соответствующая фиктивной модулярной форме h, называется ее тенью . Довольно часто разные фиктивные тета-функции имеют одну и ту же тень. Например, 10 фиктивных тета-функций порядка 5, найденных Рамануджаном, делятся на две группы по 5, где все функции в каждой группе имеют одну и ту же тень (с точностью до умножения на константу).

Дон Загир ^[11] определяет фиктивную тета-функцию как рациональную степень числа q  = e ^{2 π i 𝜏,} умноженную на фиктивную модульную форму веса ⁠1/2⁠ тень которого представляет собой ряд тета формы

${\displaystyle \sum _{n\in Z}\varepsilon (n)nq^{\kappa n^{2}}}$

для положительного рационального κ и нечетной периодической функции ε . (Любой такой тета-ряд является модулярной формой веса ⁠3/2⁠ ). Рациональная степень q — это историческая случайность.

Большинство фиктивных модульных форм и слабых форм Мааса имеют быстрый рост в точках возврата. Обычно накладывают условие, что они растут не более чем экспоненциально быстро в точках возврата (что для фиктивных модульных форм означает, что они «мероморфны» в точках возврата). Пространство фиктивных модульных форм (заданного веса и группы), рост которых ограничен некоторой фиксированной экспоненциальной функцией в точках возврата, является конечномерным.

Суммы Аппеля–Лерха, обобщение рядов Ламберта , были впервые изучены Полем Эмилем Аппелем ^[12] и Матиасом Лерхом ^[13] . Уотсон изучал фиктивные тета-функции порядка 3, выражая их через суммы Аппеля–Лерха, а Цвегерс использовал их, чтобы показать, что фиктивные тета-функции по сути являются фиктивными модулярными формами.

Ряд Аппеля–Лерха — это

${\displaystyle \mu (u,v;\tau)={\frac {a^{\frac {1}{2}}}{\theta (v;\tau)}}\sum _{n\in Z }{\frac {(-b)^{n}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{1-aq^{n}}}}$

где

${\displaystyle \displaystyle q=e^{2\pi i\tau},\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}}$

и

${\displaystyle \theta (v,\tau )=\sum _{n\in Z}(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.}$

Модифицированная серия

${\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v;\tau)=\mu (u,v;\tau) - {\frac {1}{2}}R(uv;\tau)}$

где

${\displaystyle R(z;\tau )=\sum _{\nu \in Z+{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}}$

и y = Im(𝜏) и

${\displaystyle E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du}$

удовлетворяет следующим свойствам преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau) &=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}} {\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=- {\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1) &={\hat {\mu }}(u ,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\пи i}{\tau }}(uv)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{выровнено} }}$

Другими словами, модифицированный ряд Аппеля–Лерха преобразуется как модулярная форма относительно 𝜏. Поскольку фиктивные тета-функции могут быть выражены в терминах рядов Аппеля–Лерха, это означает, что фиктивные тета-функции преобразуются как модулярные формы, если к ним добавлен определенный неаналитический ряд.

Джордж Эндрюс ^[14] показал, что несколько фиктивных тета-функций пятого порядка Рамануджана равны частным ⁠Θ(𝜏)/θ (𝜏)⁠ где θ (𝜏) — это модульная форма веса ⁠1/2⁠ и Θ(𝜏) является тета-функцией неопределенной бинарной квадратичной формы, и Дин Хикерсон ^[15] доказал аналогичные результаты для фиктивных тета-функций седьмого порядка. Цвегерс показал, как дополнить неопределенные тета-функции для получения реальных аналитических модулярных форм, и использовал это, чтобы дать еще одно доказательство связи между фиктивными тета-функциями и слабыми волновыми формами Маасса.

Джордж Эндрюс ^[16] заметил, что некоторые из фиктивных тета-функций пятого порядка Рамануджана могут быть выражены через частные тета-функций Якоби. Цвегерс использовал эту идею для выражения фиктивных тета-функций как коэффициентов Фурье мероморфных форм Якоби.

• Рут Лоуренс и Дон Загир связали фиктивные тета-функции с квантовыми инвариантами 3-многообразий. ^[17]
• А. М. Семихатов, А. Таормина и И. Ю. Типунин связали фиктивные тета-функции с бесконечномерными супералгебрами Ли и двумерной конформной теорией поля . ^[18]
• Дж. Троост показал, что модулярные завершения фиктивных модулярных форм возникают как эллиптические роды конформных теорий поля с непрерывным спектром. ^[19]
• Фиктивные тета-функции появляются в теории теневого лунного света .
• Атиш Дабхолкар , Самир Мурти и Дон Загир показали, что фиктивные модулярные формы связаны с вырождениями квантовых черных дыр в теориях струн с N = 4. ^[20]

• Любая модулярная форма веса k (возможно, только мероморфная в точках возврата) является фиктивной модулярной формой веса k с тенью 0.
• Квазимодулярный ряд Эйзенштейна

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

веса 2 и уровня 1 является имитацией модульной формы веса 2, с тенью как константой. Это означает, что

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}}$

преобразуется как модулярная форма веса 2 (где 𝜏 = x  +  iy ).

• Функция, изученная Доном Загиром ^{[21] [22]} с коэффициентами Фурье, которые являются числами классов Гурвица H ( N ) мнимых квадратичных полей, является имитацией модулярной формы веса ⁠3/2⁠ , уровень 4 и тень Σ  q ^{n 2} . Соответствующая слабая форма волны Мааса — 

${\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}}$

где

${\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du}$

и y  = Im(𝜏), q  = e ^{2 π i 𝜏} .

Фиктивные тета-функции — это фиктивные модульные формы веса ⁠1/2⁠ тень которой — унарная тета-функция, умноженная на рациональную степень q (по историческим причинам). До того, как работа Цвегерса привела к общему методу их построения, большинство примеров приводилось как базовые гипергеометрические функции , но это в значительной степени историческая случайность, и большинство фиктивных тета-функций не имеют известного простого выражения в терминах таких функций.

«Тривиальные» фиктивные тета-функции представляют собой (голоморфные) модулярные формы веса ⁠1/2⁠ , которые были классифицированы Серром и Штарком ^[23] , показавшими, что все они могут быть записаны в терминах тета-функций одномерных решеток.

В следующих примерах используются символы q-Похгаммера ( a ; q ) _n , которые определяются как:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}$

Некоторые фиктивные тета-функции второго порядка были изучены Макинтошом. ^[24]

${\displaystyle A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A006304 в OEIS )

${\displaystyle B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (последовательность A153140 в OEIS )

${\displaystyle \mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}}$ (последовательность A006306 в OEIS )

Функция μ была найдена Рамануджаном в его потерянной тетради.

Они связаны с функциями, перечисленными в разделе о функциях порядка 8.

${\displaystyle U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu (q)}$

${\displaystyle V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})}$

${\displaystyle V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})}$

Рамануджан упомянул четыре фиктивные тета-функции порядка 3 в своем письме Харди и перечислил еще три в своей утерянной записной книжке, которые были заново открыты Г. Н. Уотсоном . ^[5] Последний доказал соотношения между ними, установленные Рамануджаном, а также нашел их преобразования относительно элементов модулярной группы, выразив их как суммы Аппеля–Лерха. Драгонетт ^[8] описал асимптотическое разложение их коэффициентов. Цвегерс ^[1] связал их с гармоническими слабыми формами Мааса. См. также монографию Натана Файна. ^[25]

Семь фиктивных тета-функций порядка 3, данных Рамануджаном, следующие:

${\displaystyle f(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}^{2}}}={\frac {2}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{n}}}}$, (последовательность A000025 в OEIS ).

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{2n}}}}$(последовательность A053250 в OEIS ).

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n>0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}={\frac {q}{\prod _{n>0}(1-q^{4n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{6n(n+1)}}{1-q^{4n+1}}}}$ (последовательность A053251 в OEIS ).

${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})}}={\frac {1}{2\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1-q^{n}+q^{2n}}}}$ (последовательность A053252 в OEIS ).

${\displaystyle \omega (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1+q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}}}$ (последовательность A053253 в OEIS ).

${\displaystyle \nu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)/2}{\frac {1-q^{2n+1}}{1+q^{2n+1}}}}}$ (последовательность A053254 в OEIS ).

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{\prod _{0\leq i\leq n}(1+q^{2i+1}+q^{4i+2})}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1-q^{4n+2}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}}$ (последовательность A053255 в OEIS ).

Первые четыре из них образуют группу с одинаковой тенью (с точностью до константы), то же самое делают и последние три. Точнее, функции удовлетворяют следующим соотношениям (найденным Рамануджаном и доказанным Уотсоном):

${\displaystyle {\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+4\psi (-q)=\theta _{4}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}(0,q^{3})\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left({\frac {1}{2}}q^{-{\frac {3}{8}}}\theta _{2}(0,q^{\frac {3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\\nu (\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}^{2}\left(0,q^{2}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\\f(q^{8})+q\omega (q)-q\omega (-q)&=\theta _{3}(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}}$

Рамануджан записал десять фиктивных тета-функций порядка 5 в своем письме Харди 1920 года и установил некоторые соотношения между ними, которые были доказаны Уотсоном. ^[26] В своей потерянной записной книжке он установил некоторые дополнительные тождества, связывающие эти функции, эквивалентные фиктивным тета-гипотезам , ^[27] которые были доказаны Хикерсоном. ^[28] Эндрюс ^[14] нашел представления многих из этих функций как частного неопределенного тета-ряда по модулярным формам веса ⁠1/2⁠ .

${\displaystyle f_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}}}}$(последовательность A053256 в OEIS )

${\displaystyle f_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}+n}}{(-q;q)_{n}}}}$(последовательность A053257 в OEIS )

${\displaystyle \phi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}$(последовательность A053258 в OEIS )

${\displaystyle \phi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}$(последовательность A053259 в OEIS )

${\displaystyle \psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}}$(последовательность A053260 в OEIS )

${\displaystyle \psi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}}$(последовательность A053261 в OEIS )

${\displaystyle \chi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n}}}=2F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)}$(последовательность A053262 в OEIS )

${\displaystyle \chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)}$(последовательность A053263 в OEIS )

${\displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}}$(последовательность A053264 в OEIS )

${\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A053265 в OEIS )

${\displaystyle \Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n-1})(1-q^{5n+1})}}}$(последовательность A053266 в OEIS )

${\displaystyle \Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n-2})(1-q^{5n+2})}}}$(последовательность A053267 в OEIS )

Рамануджан ^[4] записал семь фиктивных тета-функций порядка 6 в своей потерянной тетради и установил 11 тождеств между ними, которые были доказаны Эндрюсом и Хикерсоном. ^[29] Два тождества Рамануджана связывают φ и ψ при различных аргументах, четыре из них выражают φ и ψ в терминах рядов Аппеля–Лерха, а последние пять тождеств выражают оставшиеся пять фиктивных тета-функций шестого порядка в терминах φ и ψ . Берндт и Чан ^[30] открыли еще две функции шестого порядка.

Фиктивные тета-функции порядка 6:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n}}}}$(последовательность A053268 в OEIS )

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n+1}}}}$(последовательность A053269 в OEIS )

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A053270 в OEIS )

${\displaystyle \sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A053271 в OEIS )

${\displaystyle \lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n}}}}$(последовательность A053272 в OEIS )

${\displaystyle 2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n+1}}}}$(последовательность A053273 в OEIS )

${\displaystyle \gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(q;q)_{n}}{(q^{3};q^{3})_{n}}}}$(последовательность A053274 в OEIS )

${\displaystyle \phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-1}}{(q;q^{2})_{n}}}}$(последовательность A153251 в OEIS )

${\displaystyle \psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-2}}{(q;q^{2})_{n}}}}$(последовательность A153252 в OEIS )

Рамануджан дал три фиктивные тета-функции порядка 7 в своем письме Харди от 1920 года. Они были изучены Сельбергом ^[31] , который нашел асимптотическое разложение для их коэффициентов, и Эндрюсом. ^[14] Хикерсон ^[15] нашел представления многих из этих функций как частных неопределенных тета-рядов по модулярным формам веса ⁠1/2⁠ . Цвегеры ^{[1] [2]} описали их свойства модульного преобразования.

• ${\displaystyle \displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n+1};q)_{n}}}}$(последовательность A053275 в OEIS )
• ${\displaystyle \displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n};q)_{n}}}}$(последовательность A053276 в OEIS )
• ${\displaystyle \displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}}$(последовательность A053277 в OEIS )

Эти три фиктивные тета-функции имеют разные тени, поэтому в отличие от функций Рамануджана порядка 3 и порядка 5, между ними и обычными модулярными формами нет линейных отношений. Соответствующие слабые формы Мааса

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{\binom {12}{n}}\operatorname {sgn}(n)\beta \left({\frac {n^{2}y}{6p}}\right)q^{-n^{2}/24p}}$

и

${\displaystyle \beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du}$

более или менее дополнительная функция ошибки . В метаплектической группе эти три функции преобразуются в соответствии с определенным трехмерным представлением метаплектической группы следующим образом

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}}$

Другими словами, они являются компонентами векторно-значной гармонической слабой формы Маасса уровня 1 веса  ⁠1/2⁠ .

Гордон и Макинтош ^[32] нашли восемь фиктивных тета-функций порядка 8. Они нашли пять линейных соотношений, включающих их, и выразили четыре функции как суммы Аппеля–Лерха, и описали их преобразования под модулярной группой. Две функции V ₁ и U ₀ были найдены ранее Рамануджаном ^[33] в его потерянной записной книжке.

${\displaystyle S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}$ (последовательность A153148 в OEIS )

${\displaystyle S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}$ (последовательность A153149 в OEIS )

${\displaystyle T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}$ (последовательность A153155 в OEIS )

${\displaystyle T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A153156 в OEIS )

${\displaystyle U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{4};q^{4})_{n}}}}$ (последовательность A153172 в OEIS )

${\displaystyle U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{4})_{n+1}}}}$(последовательность A153174 в OEIS )

${\displaystyle V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n}}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}(-q^{2};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+1}}}}$ (последовательность A153176 в OEIS )

${\displaystyle V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n+1}(-q^{4};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+2}}}}$ (последовательность A153178 в OEIS )

Рамануджан ^[34] перечислил четыре фиктивные тета-функции порядка 10 в своей утерянной тетради и установил некоторые соотношения между ними, которые были доказаны Чоем. ^{[35] [36] [37] [38]}

• ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A053281 в OEIS )
• ${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(последовательность A053282 в OEIS )
• ${\displaystyle \mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(-q;q)_{2n}}}}$(последовательность A053283 в OEIS )
• ${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}}{(-q;q)_{2n+1}}}}$(последовательность A053284 в OEIS )

• Международная конференция: Имитационные тета-функции и их применение 2009 г.
• Статьи о фиктивных тета-функциях Джорджа Эндрюса
• Статьи по фиктивным тета-функциям Катрин Брингманн
• Статьи по фиктивным тета-функциям Кена Оно
• Статьи о фиктивных тета-функциях Сандера Цвегерса
• Вайсштейн, Эрик В. , «Фиктивная тета-функция», MathWorld