Шестиугольная мозаика

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2011 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Шестиугольная мозаика
Тип	Обычная укладка плитки
Конфигурация вершины	6.6.6 (или 6 3 )
Конфигурация лица	V3.3.3.3.3.3 (или V3 6 )
Символ(ы) Шлефли	{6,3} т{3,6}
Символ(ы) Витхоффа	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Диаграмма(ы) Коксетера
Симметрия	п6м , [6,3], (*632)
Симметрия вращения	р6 , [6,3] + , (632)
Двойной	Треугольная мозаика
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , гране-транзитивный

В геометрии гексагональная мозаика или гексагональная тесселяция — это правильная мозаика евклидовой плоскости , в которой в каждой вершине сходятся ровно три шестиугольника . Она имеет символ Шлефли { 6,3} или t {3,6} (как усеченная треугольная мозаика).

Английский математик Джон Конвей назвал его гекстиллем .

Внутренний угол шестиугольника составляет 120 градусов, поэтому три шестиугольника в одной точке образуют полные 360 градусов. Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Две другие — треугольная мозаика и квадратная мозаика .

Шестиугольная мозаика — самый плотный способ расположения кругов в двух измерениях. Гипотеза о сотах утверждает, что шестиугольная мозаика — лучший способ разделить поверхность на области равной площади с наименьшим общим периметром. Оптимальная трехмерная структура для создания сот (или, скорее, мыльных пузырей) была исследована лордом Кельвином , который считал, что структура Кельвина (или объемно-центрированная кубическая решетка) является оптимальной. Однако менее регулярная структура Уэйра–Фелана немного лучше.

Эта структура существует в природе в форме графита , где каждый слой графена напоминает проволочную сетку с сильными ковалентными углеродными связями. Были синтезированы трубчатые графеновые листы, известные как углеродные нанотрубки . Они имеют множество потенциальных применений из-за их высокой прочности на разрыв и электрических свойств. Силицен похож.

Сетчатая проволока представляет собой шестиугольную решетку (часто нерегулярную) из проволок.

• 
  Самая плотная упаковка кругов организована подобно шестиугольникам в этой мозаике.
• 
  Ограждение из проволочной сетки
• 
  Графен
• 
  Углеродную нанотрубку можно рассматривать как шестиугольную мозаику на цилиндрической поверхности.
• 
  Шестиугольная персидская плитка, ок.  1955 г.
• 
  В Нью-Йорке рушится шестиугольная  мостовая «трилинка»

Шестиугольная мозаика встречается во многих кристаллах. В трех измерениях гранецентрированная кубическая и гексагональная плотная упаковка являются обычными кристаллическими структурами. Они являются самыми плотными сферическими упаковками в трех измерениях. Структурно они состоят из параллельных слоев гексагональной мозаики, подобной структуре графита. Они отличаются тем, как слои расположены в шахматном порядке относительно друг друга, причем гранецентрированная кубическая является более регулярной из двух. Чистая медь , среди других материалов, образует гранецентрированную кубическую решетку.

Существует три различных однородных раскраски шестиугольной мозаики, все они получены из отражательной симметрии конструкций Витхоффа . ( h , k ) представляют собой периодическое повторение одной цветной плитки, считая шестиугольные расстояния как h в первую очередь и k во вторую. Тот же подсчет используется в многогранниках Голдберга с обозначением { p +,3} _{h , k} и может быть применен к гиперболическим мозаикам для p  > 6.

к -равномерный	1-униформа			2-единообразный		3-единообразный
Симметрия	стр6м, (*632)		п3м1, (*333)	стр6м, (*632)		стр.6, (632)
Картина
Цвета	1	2	3	2	4	2	7
(ч,к)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Шлефли	{6,3}	т{3,6}	т{3 [3] }
Витхофф	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
Коксетер
Конвей	ЧАС	тΔ		сН=t6daH		wH=t6dsH

Трёхцветная мозаика представляет собой мозаику, созданную пермутоэдрами порядка 3 .

Скошенная шестиугольная мозаика заменяет края новыми шестиугольниками и трансформируется в другую шестиугольную мозаику. В пределе исходные грани исчезают, а новые шестиугольники вырождаются в ромбы, и она становится ромбической мозаикой .

Шестиугольники (H)	Шестигранники с фаской (cH)			Ромбы (daH)

Шестиугольники можно разбить на наборы из 6 треугольников. Этот процесс приводит к двум 2-однородным мозаикам и треугольной мозаике :

Обычная укладка плитки	Вскрытие	2-однородные мозаики		Обычная укладка плитки	Вставка	Двойные плитки
Оригинал		1/3 рассечена	2/3 рассечено	полностью рассеченный		E к IH к FH к H

Шестиугольную мозаику можно считать удлиненной ромбической мозаикой , где каждая вершина ромбической мозаики растянута в новое ребро. Это похоже на отношение мозаик ромбического додекаэдра и ромбо-шестиугольного додекаэдра в 3 измерениях.

Ромбическая мозаика

Шестиугольная мозаика

Фехтование использует это отношение

Также возможно подразделить протоплитки некоторых шестиугольных мозаик на два, три, четыре или девять равных пятиугольников:

Пятиугольная мозаика типа 1 с наложениями правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из 2 пятиугольников).

Пятиугольная мозаика типа 3 с наложениями правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из 3 пятиугольников).

Пятиугольная мозаика типа 4 с наложениями полуправильных шестиугольников (каждый из которых состоит из 4 пятиугольников).

Пятиугольная мозаика типа 3 с наложениями правильных шестиугольников двух размеров (состоящих из 3 и 9 пятиугольников соответственно).

Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных мозаик с шестиугольными гранями, начиная с шестиугольной мозаики, с символом Шлефли {6,n} и диаграммой Коксетера , прогрессируя до бесконечности.

* n 62 мутация симметрии правильных мозаик: {6, n } в т е
Сферический	Евклидов	Гиперболические мозаики
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Эта мозаика топологически связана с правильными многогранниками с числом вершин n ³ , как часть последовательности, которая продолжается в гиперболическую плоскость .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,3} в т е
Сферический				Евклидов	Компактный гиперб.		Парако.	Некомпактный гиперболический
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3и,3}

Аналогично это относится к однородным усеченным многогранникам с вершинной фигурой n .6.6.

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик: n .6.6 в т е
Сим. * н 42 [н,3]	Сферический				Евклид.	Компактный		Парак.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9и,3]	[6i,3]
Усеченные фигуры
Конфигурация.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis цифры
Конфигурация.	В2.6.6	В3.6.6	В4.6.6	В5.6.6	В6.6.6	В7.6.6	В8.6.6	В∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Эта мозаика также является частью последовательности усеченных ромбических многогранников и мозаик с симметрией группы Коксетера [n,3] . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, где ромбы являются квадратами. Усеченные формы имеют правильные n-угольники в усеченных вершинах и неправильные шестиугольные грани.

Симметричные мутации двойственных квазирегулярных мозаик: V(3.n) 2
*н32	Сферический			Евклидов	Гиперболический
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плиточный
Конф.	В(3.3) 2	В(3.4) 2	В(3,5) 2	В(3,6) 2	В(3,7) 2	В(3,8) 2	V(3.∞) 2

Подобно однородным многогранникам, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной шестиугольной мозаике (или двойственной треугольной мозаике ).

Если нарисовать плитки, окрашенные в красный цвет на исходных гранях, в желтый цвет на исходных вершинах и в синий цвет вдоль исходных ребер, то получится 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная плитка топологически идентична шестиугольной плитке.)

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Фундаментальные домены	Симметрия : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	т{6,3}	г{6,3}	т{3,6}	{3,6}	рр{6,3}	тр{6,3}	ср{6,3}
Конфигурация.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Существует 3 типа моноэдральных выпуклых шестиугольных мозаик. ^[1] Все они изоэдральные . Каждая из них имеет параметрические вариации в пределах фиксированной симметрии. Тип 2 содержит скользящие отражения и является 2-изоэдральным, сохраняя хиральные пары различными.

3 типа моноэдральных выпуклых шестиугольных мозаик

1	2		3
стр2, 2222	пгг, 22×	стр2, 2222	стр.3, 333
б = е В + С + D = 360°	б = е, г = ж В + С + Е = 360°		а = е, б = с, г = е В = D = F = 120°
решетка из 2 плиток	4-х ячеистая решетка		3-х ячеистая решетка

Существует также 15 одногранных выпуклых пятиугольных мозаик , а также все четырехугольники и треугольники.

Шестиугольные мозаики могут быть сделаны с идентичной топологией {6,3}, как и обычная мозаика (3 шестиугольника вокруг каждой вершины). С равногранными гранями существует 13 вариаций. Симметрия подразумевает, что все грани одного цвета. Цвета здесь представляют позиции решетки. ^[2] Одноцветные (1-плиточные) решетки являются параллелограммными шестиугольниками.

13 равногранно-мозаичных шестиугольников

стр. (××)		стр2 (2222)	стр.3 (333)	пмг (22*)
пгг (22×)			стр31м (3*3)	стр2 (2222)	смм (2*22)	стр.6м (*632)

Другие топологические шестиугольные мозаики, выложенные изоэдрально, рассматриваются как четырехугольники и пятиугольники, которые не являются ребрами, а интерпретируются как коллинеарные смежные ребра:

Четырехугольники, разделенные на равные части

пмг (22*)		пгг (22×)			смм (2*22)	стр2 (2222)
Параллелограмм	трапеция	Параллелограмм	Прямоугольник	Параллелограмм	Прямоугольник	Прямоугольник

Равноугольно-мозаичные пятиугольники

стр2 (2222)	пгг (22×)	стр.3 (333)

2-однородные и 3-однородные мозаики имеют вращательную степень свободы, которая искажает 2/3 шестиугольников, включая коллинеарный случай, который также можно рассматривать как не-ребро-к-ребру мозаику шестиугольников и больших треугольников. ^[3]

Его также можно исказить в хиральный 4-цветный трехнаправленный тканый узор, искажая некоторые шестиугольники в параллелограммы . Тканый узор с 2 цветными гранями имеет вращательную симметрию 632 (p6) . Шевронный узор имеет симметрию pmg (22*), которая понижается до p1 (°) с 3 или 4 цветными плитками.

Обычный	Вращающийся	Обычный	Сплетенный	Шеврон
стр6м, (*632)	стр.6, (632)	стр.6м (*632)	стр.6 (632)	р1 (°)
п3м1, (*333)	стр.3, (333)	стр.6м (*632)	стр2 (2222)	р1 (°)

Шестиугольную мозаику можно использовать как упаковку кругов , размещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. Каждый круг соприкасается с 3 другими кругами в упаковке ( число соприкосновения ). ^[4] Зазор внутри каждого шестиугольника позволяет разместить один круг, создавая самую плотную упаковку из треугольной мозаики , где каждый круг соприкасается максимум с 6 кругами.

Существует 2 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины шестиугольной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, где ребра могут содержать 2 или более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r ограничены: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а вершинные фигуры являются r -угольными. ^[5]

Первый состоит из 2-ребер, по три вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные ребра, по три вокруг каждой вершины. Третий сложный апейрогон, разделяющий те же вершины, является квазиправильным, в котором чередуются 2-ребра и 6-ребра.

2{12}3 или	6{4}3 или

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Гексагональная мозаика порядка 3» .

• Шестиугольная решетка
• Шестиугольные призматические соты
• Мозаики правильных многоугольников
• Список однородных мозаик
• Список правильных многогранников
• Шестиугольная плитка в виде сот
• Дизайн настольной игры с гексагональной картой

• Коксетер, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Dover, ISBN  0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Регулярные соты
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Правильные и однородные мозаики , стр. 58–65)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: путеводитель по дизайну . Dover Publications, Inc. стр. 35. ISBN 0-486-23729-X.
• Джон Х. Конвей, Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] 

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольная сетка». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Регулярная тесселяция». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная тесселяция». MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Двумерные евклидовы мозаики o3o6x – гексат – O3».

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
Космос	Семья	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\тильда {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\тильда {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
Э 2	Равномерная укладка плитки	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
Е 3	Равномерные выпуклые соты	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
Е 4	Равномерный 4-сотовый	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
Э 5	Равномерный 5-сотовый	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
Е 6	Равномерный 6-сотовый	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
Е 7	Равномерный 7-сотовый	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
Е 8	Равномерный 8-сотовый	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Е 9	Равномерный 9-сотовый	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
Е 10	Равномерный 10-сотовый	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
Э н -1	Равномерный ( n -1)- соты	0 [ н ]	δ н	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21