Стерилизованные 5-симплексы

5-симплекс	Стерилизованный 5-симплекс
Стериусеченный 5-симплекс	Стерилизованный 5-симплекс
Стерикантитруцированный 5-симплекс	Стерирунцитоусеченный 5-симплекс
Стерирунцикантитруцированный 5-симплекс (Омнитруцированный 5-симплекс)
Ортогональные проекции в плоскостях Коксетера A 5 и A 4

В пятимерной геометрии стерифицированный 5-симплекс — это выпуклый однородный 5-многогранник с усечениями четвертого порядка ( стерификацией ) правильного 5-симплекса .

Существует шесть уникальных стерических преобразований 5-симплекса, включая перестановки усечений, кантелляций и рунцинаций. Простейший стерический 5-симплекс также называется расширенным 5-симплексом , в котором первый и последний узлы окольцованы, поскольку его можно построить с помощью операции расширения , примененной к обычному 5-симплексу. Высшая форма, стерирунцикантиутрескованный 5-симплекс , проще называется омниутрескованным 5-симплексом, в котором все узлы окольцованы.

Стерилизованный 5-симплекс
Тип	Однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	2r2r{3,3,3,3} 2r{3 2,2 } =${\displaystyle 2r\left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}}$
Диаграмма Коксетера-Дынкина	или
4-х гранный	62	6+6 {3,3,3} 15+15 {}×{3,3} 20 {3}×{3}
Клетки	180	60 {3,3} 120 {}×{3}
Лица	210	120 {3} 90 {4}
Края	120
Вершины	30
Вершинная фигура	Тетраэдрическая антипризма
Группа Коксетера	A 5 ×2, [[3,3,3,3]], заказ 1440
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный

Стерифицированный 5-симплекс может быть построен с помощью операции расширения , примененной к правильному 5-симплексу , и поэтому его также иногда называют расширенным 5-симплексом . Он имеет 30 вершин , 120 ребер , 210 граней (120 треугольников и 90 квадратов ), 180 ячеек (60 тетраэдров и 120 треугольных призм ) и 62 4-грани (12 5-ячеек , 30 тетраэдрических призм и 20 3-3 дуопризм ).

• Расширенный 5-симплекс
• Стерилизованный гексатерон
• Мелкоклеточный додекатерон (сокращение: ставрида) (Джонатан Бауэрс) ^[1]

Максимальное поперечное сечение стерилизованного гексатерона с 4-мерной гиперплоскостью представляет собой струйчатую 5-ячейку . Это поперечное сечение делит стерилизованный гексатерон на два пентахоральных гиперкупола, состоящих из 6 5-ячеек , 15 тетраэдрических призм и 10 3-3 дуопризм каждый.

Вершины стерилизованного 5-симплекса могут быть построены на гиперплоскости в 6-пространстве как перестановки (0,1,1,1,1,2). Это представляет собой положительную ортантную грань стерилизованного 6-ортоплекса .

Вторая конструкция в 6-пространстве из центра выпрямленного 6-ортоплекса задается перестановками координат:

(1,-1,0,0,0,0)

Декартовы координаты в 5-мерном пространстве для нормализованных вершин стерически центрированного гексатерона следующие:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1,\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ 0,\ ​​\pm 1,\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\ ​​\pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\ ​​\pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ \pm 1/2,\ 0,\ \pm {\sqrt {1/2}},\ 0\right)}$

Его 30 вершин представляют корневые векторы простой группы Ли A ₅ . Это также вершинная фигура 5-симплексных сот .

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 5	А 4
График
Диэдральная симметрия	[6]	[[5]]=[10]
Самолет Коксетера ​	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[4]	[[3]]=[6]

ортогональная проекция с [6] симметрией

Стериусеченный 5-симплекс
Тип	Однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,4 {3,3,3,3}
Диаграмма Коксетера-Дынкина
4-х гранный	62	6 т{3,3,3} 15 {}× т{3,3} 20 {3}×{6} 15 {}× {3,3} 6 т 0,3 {3,3,3}
Клетки	330
Лица	570
Края	420
Вершины	120
Вершинная фигура
Группа Коксетера	А 5 [3,3,3,3], порядок 720
Характеристики	выпуклый , изогональный

• Стери-усеченный гексатерон
• Целлипризматический гексатерон (сокращение: cappix) (Джонатан Бауэрс) ^[2]

Координаты могут быть созданы в 6-мерном пространстве как 180 перестановок:

(0,1,1,1,2,3)

Эта конструкция существует как одна из 64 ортантных граней стерильно усеченного 6-ортоплекса .

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 5	А 4
График
Диэдральная симметрия	[6]	[5]
Самолет Коксетера ​	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[4]	[3]

Стерилизованный 5-симплекс
Тип	Однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	т 0,2,4 {3,3,3,3}
Диаграмма Коксетера-Дынкина	или
4-х гранный	62	12 рр{3,3,3} 30 рр{3,3}x {} 20 {3}×{3}
Клетки	420	60 р{3,3} 240 {}×{3} 90 {}×{}×{} 30 р{3,3}
Лица	900	360 {3} 540 {4}
Края	720
Вершины	180
Вершинная фигура
Группа Коксетера	A 5 ×2, [[3,3,3,3]], заказ 1440
Характеристики	выпуклый , изогональный

• Стерилизованный гексатерон
• Целлиромбированный додекатерон (сокращение: карта) (Джонатан Бауэрс) ^[3]

Координаты могут быть созданы в 6-мерном пространстве как перестановки:

(0,1,1,2,2,3)

Эта конструкция существует как одна из 64 ортантных граней стерикантеллированного 6-ортоплекса .

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 5	А 4
График
Диэдральная симметрия	[6]	[[5]]=[10]
Самолет Коксетера ​	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[4]	[[3]]=[6]

Стерикантитруцированный 5-симплекс
Тип	Однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,2,4 {3,3,3,3}
Диаграмма Коксетера-Дынкина
4-х гранный	62
Клетки	480
Лица	1140
Края	1080
Вершины	360
Вершинная фигура
Группа Коксетера	А 5 [3,3,3,3], порядок 720
Характеристики	выпуклый , изогональный

• Стерикантитруцированный гексатерон
• Целлигреаторомбатированный гексатерон (сокращение: когракс) (Джонатан Бауэрс) ^[4]

Координаты могут быть созданы в 6-мерном пространстве как 360 перестановок:

(0,1,1,2,3,4)

Эта конструкция существует как одна из 64 ортантных граней стерически антиусеченного 6-ортоплекса .

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 5	А 4
График
Диэдральная симметрия	[6]	[5]
Самолет Коксетера ​	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[4]	[3]

Стерирунцитоусеченный 5-симплекс
Тип	Однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,3,4 {3,3,3,3} 2т{3 2,2 }
Диаграмма Коксетера-Дынкина	или
4-х гранный	62	12 т 0,1,3 {3,3,3} 30 {}× т{3,3} 20 {6}×{6}
Клетки	450
Лица	1110
Края	1080
Вершины	360
Вершинная фигура
Группа Коксетера	A 5 ×2, [[3,3,3,3]], заказ 1440
Характеристики	выпуклый , изогональный

• Стерирунцитоусеченный гексатерон
• Целлиприсмоусечённый додекатерон (сокращение: каптид) (Джонатан Бауэрс) ^[5]

Координаты могут быть созданы в 6-мерном пространстве как 360 перестановок:

(0,1,2,2,3,4)

Эта конструкция существует как одна из 64 ортантных граней стерильно усеченного 6-ортоплекса .

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 5	А 4
График
Диэдральная симметрия	[6]	[[5]]=[10]
Самолет Коксетера ​	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[4]	[[3]]=[6]

Усеченный 5-симплекс
Тип	Однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,2,3,4 {3,3,3,3} 2тр{3 2,2 }
Диаграмма Коксетера-Дынкина	или
4-х гранный	62	12 т 0,1,2,3 {3,3,3} 30 {}×тр{3,3} 20 {6}×{6}
Клетки	540	360 т{3,4} 90 {4,3} 90 {}×{6}
Лица	1560	480 {6} 1080 {4}
Края	1800
Вершины	720
Вершинная фигура	Нерегулярный 5-клеточный
Группа Коксетера	A 5 ×2, [[3,3,3,3]], заказ 1440
Характеристики	выпуклый , изогональный , зонотоп

Всеусеченный 5-симплекс имеет 720 вершин , 1800 ребер , 1560 граней (480 шестиугольников и 1080 квадратов ), 540 ячеек (360 усеченных октаэдров , 90 кубов и 90 шестиугольных призм ) и 62 4-грани (12 всеусеченных 5-ячеек , 30 усеченных октаэдрических призм и 20 6-6 дуопризм ).

• Steriruncicantiturcated 5-simplex (Полное описание омнитрункации для 5-политопов Джонсона)
• Гексатерон усеченный
• Большой ячеистый додекатерон (сокращение: gocad) (Джонатан Бауэрс) ^[6]

Вершины всеусеченного 5-симплекса могут быть проще всего построены на гиперплоскости в 6-пространстве как перестановки (0,1,2,3,4,5). Эти координаты исходят из положительной ортантной грани стерильноусеченного 6-ортоплекса , t _0,1,2,3,4 {3 ⁴ ,4},.

ортографические проекции

Самолет Коксетера ​	А 5	А 4
График
Диэдральная симметрия	[6]	[[5]]=[10]
Самолет Коксетера ​	А 3	А 2
График
Диэдральная симметрия	[4]	[[3]]=[6]

Всеусеченный 5-симплекс является пермутоэдром порядка 6. Он также является зонотопом , суммой Минковского шести отрезков прямых, параллельных шести прямым, проходящим через начало координат и шесть вершин 5-симплекса.

Ортогональная проекция , вершины помечены как пермутоэдр .

Усеченные 5-симплексные соты образованы усеченными 5-симплексными гранями с 3 гранями вокруг каждого ребра . Диаграмма Коксетера-Дынкина.

Группа Коксетера	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$
Коксетер-Дынкин
Картина
Имя	Апейрогон	Гекстиль	Усеченные 3-симплексные соты	Усеченные 4-симплексные соты	Усеченные 5-симплексные соты
Грани

Полный плосконосый 5-симплекс или омниплоский 5-симплекс , определяемый как чередование омниусеченного 5-симплекса, не является однородным, но ему может быть дана диаграмма Коксетераи симметрия [[3,3,3,3]] ⁺ , и построен из 12 плосконосых 5-ячеек , 30 плосконосых тетраэдрических антипризм , 20 3-3 дуоантипризм и 360 неправильных 5-ячеек, заполняющих пробелы в удаленных вершинах.

Эти многогранники являются частью 19 однородных 5-многогранников, основанных на группе Коксетера [3,3,3,3] , все они показаны здесь в ортографических проекциях Коксетера на плоскость _A5 . (Вершины окрашены в порядке перекрытия проекций: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый, имеющие постепенно больше вершин)

Многогранники A5
т 0	т 1	т 2	т 0,1	т 0,2	т 1,2	т 0,3
т 1,3	т 0,4	т 0,1,2	т 0,1,3	т 0,2,3	т 1,2,3	т 0,1,4
т 0,2,4	т 0,1,2,3	т 0,1,2,4	т 0,1,3,4	т 0,1,2,3,4

• HSM Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973
  • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии.
• Клитцинг, Ричард. «Пятимерные однородные многогранники (политеры)».x3o3o3o3x - scad, x3x3o3o3x - cappix, x3o3x3o3x - карта, x3x3x3o3x - cograx, x3x3o3x3x - captid, x3x3x3x3x - gocad

• Глоссарий гиперпространства, Джордж Ольшевский.
• Многогранники различных размерностей
• Многомерный глоссарий