В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранных или многомерных ячеек , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений. Его размерность можно пояснить как n -соты для сот n - мерного пространства.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Существует бесконечно много сот, которые классифицированы лишь частично. Наиболее регулярные привлекли наибольший интерес, в то время как богатый и разнообразный ассортимент других продолжает открываться.
Простейшие соты для построения формируются из сложенных слоев или пластин призм , основанных на некоторых мозаиках плоскости. В частности, для каждого параллелепипеда копии могут заполнять пространство, причем кубические соты являются особенными, поскольку это единственные правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другое интересное семейство — тетраэдры Хилла и их обобщения, которые также могут замостить пространство.
3-мерные однородные соты — это соты в 3-пространстве , состоящие из однородных многогранных ячеек , и имеющие все вершины одинаковые (т. е. группа [изометрий 3-пространства, сохраняющих мозаику] транзитивна на вершинах ). Существует 28 выпуклых примеров в евклидовом 3-пространстве, [1] также называемых архимедовыми сотами .
Соты называются регулярными, если группа изометрий, сохраняющих мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, лежащем на грани, лежащей в ячейке. Все регулярные соты автоматически однородны. Однако в евклидовом 3-пространстве есть только одни регулярные соты, кубические соты . Две из них являются квазирегулярными (созданными из двух типов регулярных ячеек):
Тип | Обычные кубические соты | Квазирегулярные соты |
---|---|---|
Клетки | Кубический | Октаэдры и тетраэдры |
Слой плиты | ![]() | ![]() |
Тетраэдрально -октаэдрические соты и спиральные тетраэдрально-октаэдрические соты генерируются 3 или 2 позициями слоев пластин, в каждой из которых чередуются тетраэдры и октаэдры. Бесконечное количество уникальных сот может быть создано более высоким порядком шаблонов повторения этих слоев пластин.
Сота, все ячейки которой идентичны в пределах ее симметрии, называется ячеечно-транзитивной или изохорной . В трехмерном евклидовом пространстве ячейка такой соты называется заполняющим пространство многогранником . [2] Необходимым условием для того, чтобы многогранник был заполняющим пространство многогранником, является то, что его инвариант Дена должен быть равен нулю, [3] [4] исключая любые Платоновы тела, кроме куба.
Пять заполняющих пространство выпуклых многогранников могут замостить трехмерное евклидово пространство, используя только переносы. Они называются параллелоэдрами :
![]() кубические соты | ![]() Шестиугольные призматические соты | ![]() Ромбические додекаэдры | ![]() Удлиненные додекаэдры | ![]() Усеченные октаэдры |
Куб (параллелепипед) | Шестиугольная призма | Ромбический додекаэдр | Удлиненный додекаэдр | Усеченный октаэдр |
---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
3 длины кромок | 3+1 длина ребра | 4 длины ребер | 4+1 длина ребра | 6 длин кромок |
Другие известные примеры многогранников, заполняющих пространство, включают в себя:
Иногда два [11] или более различных многогранников могут быть объединены для заполнения пространства. Помимо многих однородных сот, другим известным примером является структура Уайера-Фелана , заимствованная из структуры кристаллов клатратных гидратов [12]
Документированные примеры редки. Можно выделить два класса:
В 3-мерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от его размера. Таким образом, правильные гиперболические соты включают два с четырьмя или пятью додекаэдрами, встречающимися на каждом ребре; их двугранные углы, таким образом, равны π/2 и 2π/5, оба из которых меньше, чем у евклидова додекаэдра. Помимо этого эффекта, гиперболические соты подчиняются тем же топологическим ограничениям, что и евклидовы соты и полихоры.
Перечислены 4 компактных и 11 паракомпактных правильных гиперболических сот, а также множество компактных и паракомпактных однородных гиперболических сот.
![]() {5,3,4} | ![]() {4,3,5} | ![]() {3,5,3} | ![]() {5,3,5} |
11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() {6,3,3} | ![]() {6,3,4} | ![]() {6,3,5} | ![]() {6,3,6} | ![]() {4,4,3} | ![]() {4,4,4} | ||||||
![]() {3,3,6} | ![]() {4,3,6} | ![]() {5,3,6} | ![]() {3,6,3} | ![]() {3,4,4} |
Для каждой соты существует двойная сота, которую можно получить путем обмена:
Это всего лишь правила дуализации четырехмерных 4-мерных многогранников , за исключением того, что обычный конечный метод взаимного перемещения вокруг концентрической гиперсферы может столкнуться с проблемами.
Более правильные соты аккуратно дуализируются:
Соты также могут быть самодвойственными . Все n -мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3 n −2 ,4} являются самодвойственными.
Космос | Семья | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Э 2 | Равномерная укладка плитки | 0 [3] | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
Е 3 | Равномерные выпуклые соты | 0 [4] | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
Е 4 | Равномерный 4-сотовый | 0 [5] | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
Э 5 | Равномерный 5-сотовый | 0 [6] | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
Е 6 | Равномерный 6-сотовый | 0 [7] | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
Е 7 | Равномерный 7-сотовый | 0 [8] | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
Е 8 | Равномерный 8-сотовый | 0 [9] | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
Е 9 | Равномерный 9-сотовый | 0 [10] | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
Е 10 | Равномерный 10-сотовый | 0 [11] | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
Э н -1 | Равномерный ( n -1)-сотовый | 0 [ н ] | δ н | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |