Заказ-5 шестиугольная плитка сотовая

Заказ-5 шестиугольная плитка сотовая
Перспективная проекция вида из центра модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	{6,3,5}
Диаграммы Коксетера-Дынкина	↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестиугольник {6}
Крайняя фигура	пятиугольник {5}
Вершинная фигура	икосаэдр
Двойной	Додекаэдрические соты порядка 6
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Обычный

В области гиперболической геометрии шестиугольная мозаика порядка 5 возникает как одна из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Она является паракомпактной , поскольку имеет ячейки , состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка состоит из шестиугольной мозаики , вершины которой лежат на орисфере , плоской плоскости в гиперболическом пространстве, которая стремится к единственной идеальной точке на бесконечности.

Символ Шлефли шестиугольной мозаики порядка 5 — {6,3,5}. Поскольку символ шестиугольной мозаики — {6,3}, то эта сотовая ячейка имеет пять таких шестиугольных мозаик, встречающихся на каждом ребре. Поскольку символ Шлефли икосаэдра — {3,5}, то вершинная фигура этой сотовой ячейки — икосаэдр. Таким образом, в каждой вершине этой сотовой ячейки встречаются 20 шестиугольных мозаик. ^[1]

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Существует конструкция с более низкой симметрией индекса 120, [6,(3,5) ^{* ], с правильными} додекаэдрическими фундаментальными доменами и икосаэдрической диаграммой Коксетера-Дынкина с 6 осевыми ветвями бесконечного порядка (ультрапараллельными).

Шестиугольная мозаика порядка 5 в виде сот похожа на двумерную гиперболическую регулярную паракомпактную апейрогональную мозаику порядка 5 , {∞,5}, с пятью апейрогональными гранями, встречающимися вокруг каждой вершины.

Шестиугольные соты мозаики порядка 5 являются правильными гиперболическими сотами в трехмерном пространстве и одними из 11, которые являются паракомпактными.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

В семействе групп Коксетера [6,3,5] имеется 15 однородных сот , включая эту правильную форму и ее правильную двойственную форму — додекаэдрические соты порядка 6 .

[6,3,5] семейные соты

{6,3,5}	г{6,3,5}	т{6,3,5}	рр{6,3,5}	т 0,3 {6,3,5}	тр{6,3,5}	т 0,1,3 {6,3,5}	т 0,1,2,3 {6,3,5}
{5,3,6}	г{5,3,6}	т{5,3,6}	рр{5,3,6}	2т{5,3,6}	тр{5,3,6}	т 0,1,3 {5,3,6}	т 0,1,2,3 {5,3,6}

Шестиугольные соты мозаичного изображения порядка 5 имеют родственные чередующиеся соты, представленные как↔, с ячейками икосаэдра и треугольной мозаики .

Он является частью последовательности правильных гиперболических сот вида {6,3,p} с шестиугольными мозаичными гранями:

{6,3, p } соты в т е
Космос	Н 3
Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Коксетер
Изображение
Вершинная фигура {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с икосаэдрическими вершинными фигурами:

{p,3,5} многогранники
Космос	С 3	Н 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Выпрямленный порядок-5 шестиугольная черепица сотовая
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	г{6,3,5} или т 1 {6,3,5}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	{3,5} г{6,3} или h 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	пятиугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {{\overline {HV}}_{3}}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {{\overline {ЛС}}_{3}}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленная шестиугольная черепица порядка 5 , t ₁ {6,3,5},имеет грани икосаэдра и тригексагона , вершинная фигура — пятиугольная призма .

Это похоже на 2D гиперболическую квадратную мозаику бесконечного порядка , r{∞,5} с пятиугольными и апейроугольными гранями. Все вершины находятся на идеальной поверхности.

р{п,3,5}

Космос	С 3	Н 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	г{3,3,5}	г{4,3,5}	г{5,3,5}	г{6,3,5}	г{7,3,5}	... г{∞,3,5}
Изображение
Клетки {3,5}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченный порядок-5 шестиугольная мозаика сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т{6,3,5} или т 0,1 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{3,5} т{6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	пятиугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная мозаика порядка 5 , t _0,1 {6,3,5},имеет грани икосаэдра и усеченного шестиугольника , вершина которого представляет собой пятиугольную пирамиду .

Усеченные шестиугольные соты порядка 5
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	2т{6,3,5} или т 1,2 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	т{3,6} т{3,5}
Лица	пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	двуугольный двуклиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица порядка 5 , t _1,2 {6,3,5},имеет шестиугольную мозаику и грани усеченного икосаэдра с двуугольной двуклиновидной вершиной .

Шестиугольная черепица порядка 5 с кантеллированным узором, сотовая
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	рр{6,3,5} или т 0,2 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	г{3,5} рр{6,3} {}x{5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенная шестиугольная черепица порядка 5, сотовая , t _0,2 {6,3,5},имеет грани икосододекаэдра , ромботригексагональной мозаики и пятиугольной призмы с клиновидной вершиной .

Усеченные шестиугольные соты порядка 5
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	tr{6,3,5} или t 0,1,2 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{3,5} тр{6,3} {}x{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная мозаика порядка 5 , t _0,1,2 {6,3,5},имеет грани усеченного икосаэдра , усеченного тригексагонального мозаичного изображения и пятиугольной призмы с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Runcinated order-5 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,3 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{6,3} {5,3} {}x{6} {}x{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Шестиугольная черепичная сота порядка 5 , t _0,3 {6,3,5},имеет грани додекаэдра , шестиугольной мозаики , пятиугольной призмы и шестиугольной призмы с вершиной в виде неправильной треугольной антипризмы .

Runciturcated order-5 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,1,3 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{6,3} рр{5,3} {}x{5} {}x{12}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Шестиугольная черепица усеченного порядка 5 , t _0,1,3 {6,3,5},имеет ячейки в виде усеченной шестиугольной мозаики , ромбоикосододекаэдра , пятиугольной призмы и двенадцатиугольной призмы с вершиной в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Шестиугольные соты ранцикантеллатного порядка 5 идентичны додекаэдрическим сотам ранцикантеллатного порядка 6 .

Усеченные шестиугольные соты 5-го порядка
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{6,3} тр{5,3} {}x{10} {}x{12}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная мозаика сот порядка 5 , t _0,1,2,3 {6,3,5},имеет грани усеченного тригексагонального мозаичного изображения , усеченного икосододекаэдра , десятиугольной призмы и двенадцатиугольной призмы с неправильной тетраэдрической вершиной .

Альтернативный порядок-5 шестиугольных сотовых плиток
Тип	Паракомпактные однородные соты Полурегулярные соты
Символ Шлефли	ч{6,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{3 [3] } {3,5}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	усеченный икосаэдр
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$, [5,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

Шестиугольные соты чередующегося порядка 5 , h{6,3,5},↔, имеет треугольную мозаику и грани икосаэдра , с вершинной фигурой усеченного икосаэдра . Это квазиправильные соты .

Кантический порядок-5 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	ч 2 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	ч 2 {6,3} т{3,5} г{5,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$, [5,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантический порядок-5 шестиугольная черепица соты , h ₂ {6,3,5},↔, имеет тригексагональную мозаику , грани усеченного икосаэдра и икосододекаэдра с вершинной фигурой в виде треугольной призмы .

Порядок Runcic-5 шестиугольная мозаика соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	ч 3 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{3 [3] } рр{5,3} {5,3} {}x{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$, [5,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Порядок рунчи -5, шестиугольная мозаика , соты , h ₃ {6,3,5},↔, имеет треугольную мозаику , грани ромбоикосододекаэдра , додекаэдра и треугольной призмы , с вершиной в виде треугольного купола .

Порядок Runcicantic-5 шестиугольная черепица соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	ч 2,3 {6,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	ч 2 {6,3} тр{5,3} т{5,3} {}x{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$, [5,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Порядок руникант-5, шестиугольная черепица, соты , h _2,3 {6,3,5},↔, имеет тригексагональную мозаику , грани усеченного икосододекаэдра , усеченного додекаэдра и треугольной призмы с вершинной фигурой прямоугольной пирамиды .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве) Таблица III 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Коксетера