Додекаэдрические соты 5-го порядка

Правильная мозаика гиперболического 3-мерного пространства

Додекаэдрические соты 5-го порядка
Перспективная проекция из центра модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	${5,3,5} т 0 {5,3,5}$
Диаграмма Коксетера-Дынкина
Клетки	${5,3}$ ( правильный додекаэдр )
Лица	${5}$ ( пятиугольник )
Крайняя фигура	${5}$ (пятиугольник)
Вершинная фигура	икосаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	$К 3, [5,3,5]$
Характеристики	Обычный

В гиперболической геометрии додекаэдрические соты порядка 5 являются одними из четырех компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот ) в гиперболическом 3-мерном пространстве . С символом Шлефли ${5,3,5}$ они имеют пять додекаэдрических ячеек вокруг каждого ребра , а каждая вершина окружена двадцатью додекаэдрами. Их вершинная фигура — икосаэдр .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Описание

Двугранный угол евклидова правильного додекаэдра составляет ~116,6°, поэтому не более трех из них могут поместиться вокруг ребра в евклидовом 3-пространстве. В гиперболическом пространстве, однако, двугранный угол меньше, чем в евклидовом пространстве, и зависит от размера фигуры; наименьший возможный двугранный угол составляет 60° для идеального гиперболического правильного додекаэдра с бесконечно длинными ребрами. Додекаэдры в этих додекаэдрических сотах имеют такой размер, что все их двугранные углы составляют ровно 72°.

Изображения

Связанные многогранники и соты

В трехмерном гиперболическом пространстве имеется четыре правильных компактных соты:

Четыре правильные компактные соты в H ³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

Есть еще одна сота в гиперболическом 3-пространстве, называемая додекаэдрической сотой порядка 4 , {5,3,4}, которая имеет только четыре додекаэдра на ребро. Эти соты также связаны с 120-ячейкой , которую можно рассматривать как соту в положительно искривленном пространстве (поверхность 4-мерной сферы), с тремя додекаэдрами на каждом ребре, {5,3,3}. Наконец, додекаэдрический дитоп , {5,3,2} существует на 3-сфере , с 2 полусферическими ячейками.

В семействе групп Коксетера [5,3,5] имеется девять однородных сот , включая эту правильную форму. Также битусеченная форма, t _1,2 {5,3,5},, все ячейки этих сот имеют форму усеченного икосаэдра .

[5,3,5] семейные соты
{5,3,5}	г{5,3,5}	т{5,3,5}	рр{5,3,5}	т _0,3 {5,3,5}

	2т{5,3,5}	тр{5,3,5}	т _0,1,3 {5,3,5}	т _0,1,2,3 {5,3,5}

Пространство Зейферта–Вебера представляет собой компактное многообразие , которое может быть образовано как факторпространство додекаэдрических сот пятого порядка.

Эти соты являются частью последовательности полихор и сот с вершинными фигурами в виде икосаэдра :

{p,3,5} многогранники
Космос	С ³	Н ³
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Эти соты являются частью последовательности правильных многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3,p} многогранники
Космос	С ³	Н ³
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Изображение
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

{p,3,p} обычные соты
Космос	С ³	Евклидово E ³	Н ³
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	... {∞,3,∞}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г{5,3,5} т ₁ {5,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	г{5,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	пятиугольная призма
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5 ,, имеет чередующиеся ячейки икосаэдра и икосододекаэдра , с вершинной фигурой в виде пятиугольной призмы .

Связанные плитки и соты

Существует четыре вида ректифицированных компактных регулярных сот:

Четыре ректифицированных регулярных компактных сот в H ³
Изображение
Символы	г{5,3,4}	г{4,3,5}	г{3,5,3}	г{5,3,5}
Вершинная фигура

р{п,3,5}
Космос	С ³	Н ³
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	г{3,3,5}	г{4,3,5}	г{5,3,5}	г{6,3,5}	г{7,3,5}	... г{∞,3,5}
Изображение
Клетки {3,5}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченный додекаэдрический сотовый ряд 5-го порядка

Усеченный додекаэдрический сотовый ряд 5-го порядка
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{5,3,5} т _0,1 {5,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{5,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} декагон {10}
Вершинная фигура	пятиугольная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченный додекаэдрический сотовый ряд 5-го порядка ,, имеет ячейки икосаэдра и усеченного додекаэдра , с вершинной фигурой в виде пятиугольной пирамиды .

Связанные соты

Четыре усеченных правильных компактных соты в H ³
Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вершинная фигура

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т{5,3,5} т _1,2 {5,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{3,5}
Лица	пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	тетрагональный двуклиновидный
Группа Коксетера	$2\times {\overline {K}}_{3}$ , [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, ячеично-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5 ,, имеет ячейки в форме усеченного икосаэдра , с тетрагональной двуклиновидной вершинной фигурой .

Связанные соты

Три усеченных компактных сота в H ³
Изображение
Символы	2т{4,3,5}	2т{3,5,3}	2т{5,3,5}
Вершинная фигура

Додекаэдрические соты с кантеллированным порядком 5

Додекаэдрические соты с кантеллированным порядком 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{5,3,5} т _0,2 {5,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	рр{5,3} г{3,5} {}x{5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные додекаэдрические соты порядка 5 ,, имеет ячейки ромбоикосододекаэдра , икосододекаэдра и пентагональной призмы с клиновидной вершиной .

Связанные соты

Четыре регулярных компактных сота с кантеллированными ячейками в H ³

Изображение
Символы	рр{5,3,4}	рр{4,3,5}	рр{3,5,3}	рр{5,3,5}
Вершинная фигура

Кантиусечённые додекаэдрические соты порядка 5

Кантиусечённые додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	тр{5,3,5} т _0,1,2 {5,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{5,3} т{3,5} {}x{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5 ,, имеет ячейки в форме усеченного икосододекаэдра , усеченного икосаэдра и пентагональной призмы с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Связанные соты

Четыре усеченных регулярных компактных сота в H ³
Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вершинная фигура