Правильный 4-мерный многогранник

В математике правильный 4-мерный многогранник или правильный полихор — это правильный четырехмерный многогранник . Они являются четырехмерными аналогами правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.

Существует шесть выпуклых и десять звездчатых правильных 4-мерных многогранников, что в сумме дает шестнадцать.

Выпуклые правильные 4-мерные многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. ^[1] Он обнаружил, что существует ровно шесть таких фигур.

Шлефли также нашел четыре правильных звездных 4-многогранника: большой 120-ячейковый , большой звёздчатый 120-ячейковый , большой 600-ячейковый и большой звёздчатый 120-ячейковый . Он пропустил оставшиеся шесть, потому что не допускал форм, которые не соответствовали характеристике Эйлера на ячейках или вершинных фигурах (для торов с нулевым отверстием: F  −  E  +  V  = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как большой додекаэдр {5, ⁠5/2⁠ } и малый звездчатый додекаэдр { ⁠5/2⁠ ,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 года Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .

Существование правильного 4-мерного многогранника ограничивается существованием правильных многогранников , которые образуют его ячейки, и ограничением на двугранный угол${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}}$

чтобы гарантировать, что ячейки соединятся и образуют замкнутую 3-мерную поверхность.

Описанные шесть выпуклых и десять звездчатых многогранников являются единственными решениями этих ограничений.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, которые имеют допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r} и проходят двугранный тест, но не создают конечные фигуры: {3, ⁠5/2⁠ ,3}, {4,3, ⁠5/2⁠ }, { ⁠5/2⁠ ,3,4}, { ⁠5/2⁠ ,3, ⁠5/2⁠ }.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников в двух измерениях.

Каждый выпуклый правильный 4-политоп ограничен набором 3-мерных ячеек , которые все являются Платоновыми телами одного типа и размера. Они подогнаны друг к другу вдоль своих соответствующих граней (лицом к лицу) регулярным образом, образуя поверхность 4 -политопа, которая является замкнутым, искривленным 3-мерным пространством (аналогично тому, как поверхность Земли является замкнутым, искривленным 2-мерным пространством).

Как и их 3-мерные аналоги, выпуклые правильные 4-многогранники могут быть естественным образом упорядочены по размеру как мера 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, заключая больше содержимого в том же радиусе. ^[2] 4-симплекс (5-ячейка) имеет наименьшее содержимое, а 120-ячейка — наибольшее.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
Группа симметрии	А 4	Б 4		Ф 4	Н 4
Имя	5-ти ячеечный Гипертетраэдр 5 - точечный	16-ячеечный Гипероктаэдр 8- конечный	8-ячеечный Гиперкуб 16 -точечный	24-ячеечный 24-очковый	600-ячеечный Гиперикосаэдр 120 -точечный	120-ячеечный Гипердодекаэдр 600 - точечный
Символ Шлефли	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Зеркала Коксетера
Зеркальные двугранные углы	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
График
Вершины	5 тетраэдрический	8 октаэдрический	16 тетраэдрический	24 кубических	120 икосаэдрический	600 тетраэдрический
Края	10 треугольных	24 квадрата	32 треугольных	96 треугольный	720 пятиугольный	1200 треугольный
Лица	10 треугольников	32 треугольника	24 квадрата	96 треугольников	1200 треугольников	720 пятиугольников
Клетки	5 тетраэдров	16 тетраэдров	8 кубиков	24 октаэдра	600 тетраэдров	120 додекаэдров
Тори	1 5-тетраэдр	2 8-тетраэдр	2 4-кубовый	4 6-октаэдр	20 30-тетраэдр	12 10-додекаэдр
Надписанный	120 в 120-ячеечной	675 в 120-ячеечной	2 16-ти ячеечные	3 8-ячеечные	25 24-ячеечный	10 600-ячеек
Большие полигоны		2 квадрата х 3	4 прямоугольника х 4	4 шестиугольника x 4	12 декагонов x 6	100 неправильных шестиугольников x 4
Петри полигоны	1 пятиугольник x 2	1 восьмиугольник x 3	2 восьмиугольника x 4	2 двенадцатиугольника x 4	4 30-угольника x 6	20 30-угольников x 4
Длинный радиус	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Длина кромки	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0,270}$
Короткий радиус	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$
Область	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\приблизительно 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\приблизительно 27,713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\приблизительно 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
Объем	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Контент	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

В следующей таблице перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Коксетера и даны в обозначениях, описанных в этой статье. Число, следующее за именем группы, является порядком группы.

Имена	Изображение	Семья	Шлефли Коксетер	В	Э	Ф	С	Вертикальный рис.	Двойной	Группа симметрии
5-клеточный пентахорон пентатоп 4-симплекс		n -симплекс (семейство A n )	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	самодвойственный	А 4 [3,3,3]	120
16-клеточный гексадекахорон 4-ортоплекс		n -ортоплекс (семейство B n )	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-ячеечный	Б 4 [4,3,3]	384
8-ячеечный октахорон тессеракт 4-куб		гиперкуб n -куб ( семейство B n )	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-ячеечный
24-ячеистый икоситетрахорон октаплекс полиоктаэдр (pO)		F n семья	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	самодвойственный	Ф 4 [3,4,3]	1152
600-ячеистый гексакосихоронный тетраплексный политетраэдр (pT)		n-пентагональный многогранник (семейство H n )	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-ячеечный	Н 4 [5,3,3]	14400
120-ячеистый гекатонико- сахорон додекаконтахорон додекаплекс полидодекаэдр (pD)		n-пентагональный многогранник (семейство H n )	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-ячеечный

Джон Конвей предлагал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), тетраплекс или политетраэдр (pT) и додекаплекс или полидодекаэдр (pD). ^[3]

Норман Джонсон отстаивал названия n-ячейка, или пентахорон, гексадекахорон, тессеракт или октахорон, икоситетрахорон, гексакосихорон и гекатонико-сахорон (или додекаконтахорон), придумав термин полихорон, являющийся 4-мерной аналогией 3-мерного многогранника и 2-мерного многоугольника, образованного от греческих корней поли («много») и хорос («комната» или «пространство»). ^{[4] [5]}

Характеристика Эйлера для всех 4-многогранников равна нулю, мы имеем 4-мерный аналог многогранной формулы Эйлера:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}$

где N _k обозначает количество k -граней в многограннике (вершина — это 0-грань, ребро — это 1-грань и т. д.).

Топология любого заданного 4-мерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[6]

Правильный 4-многогранник может быть полностью описан как матрица конфигурации, содержащая количество ее составляющих элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (сверху слева направо вниз) говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или в нем. Например, в каждом ребре есть 2 вершины (каждое ребро имеет 2 вершины), и 2 ячейки встречаются на каждой грани (каждая грань принадлежит 2 ячейкам) в любом правильном 4-многограннике. Конфигурация для двойственного многогранника может быть получена путем поворота матрицы на 180 градусов. ^{[7] [8]}

5-клеточный {3,3,3}	16-ячеечный {3,3,4}	8-ячеечный {4,3,3}	24-ячеечный {3,4,3}	600-ячеечный {3,3,5}	120-ячеечный {5,3,3}
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

В следующей таблице показаны некоторые 2-мерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. Графики диаграмм Коксетера-Дынкина также приведены под символом Шлефли .

А 4 = [3,3,3]	В 4 = [4,3,3]		Ф 4 = [3,4,3]	Н 4 = ​​[5,3,3]
5-ти ячеечный	16-ячеечный	8-ячеечный	24-ячеечный	600-ячеечный	120-ячеечный
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
Твердые 3D ортографические проекции
Тетраэдрическая оболочка (центрированная на ячейке/вершине)	Кубическая оболочка (центрированная по ячейке)	Кубическая оболочка (центрированная по ячейке)	Кубооктаэдрическая оболочка (центрированная на ячейке)	Пентакис-икосо-додекаэдрическая оболочка (с вершинным центром)	Оболочка усеченного ромбического триаконтаэдра (центрированная по ячейке)
Каркасные диаграммы Шлегеля ( перспективная проекция )
Клеточно-центрированный	Клеточно-центрированный	Клеточно-центрированный	Клеточно-центрированный	Вершинно-центрированный	Клеточно-центрированный
Каркасные стереографические проекции ( 3-сферные )

Четырехмерные многогранники Шлефли–Гесса представляют собой полный набор из 10 правильных самопересекающихся звездчатых многогранников ( четырехмерных многогранников ). ^[10] Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса . Каждый из них представлен символом Шлефли { p , q , r }, в котором одно из чисел равно ⁠5/2⁠ . Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера–Пуансо , которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.

Их имена, приведенные здесь, были даны Джоном Конвеем , расширяющим имена Кэли для многогранников Кеплера–Пуансо : наряду со звездчатым и большим он добавляет модификатор grand . Конвей предложил следующие рабочие определения:

1. звёздчатость – заменяет рёбра более длинными рёбрами в тех же линиях. (Пример: пятиугольник превращается в звёздчатую пентаграмму )
2. увеличение – заменяет грани на большие в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр )
3. Расширение – заменяет ячейки на более крупные в тех же 3-х ячейках. (Пример: 600-ячейка расширяется до большой 600-ячейки )

Джон Конвей называет 10 форм из 3 правильных 4-ячеистых многогранников: pT = политетраэдр {3,3,5} (тетраэдрический 600-ячеистый ), pI = полиикосаэдр {3,5, ⁠5/2⁠ } ( икосаэдрический 120-ячеечный ), и pD=полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдрический 120-ячеечный ), с префиксными модификаторами: g , a , и s для great, (ag)grand и stellated. Последняя звездчатая форма, большой великий звездчатый полидодекаэдр, содержит их все как gaspD .

Все десять полихор имеют [3,3,5] ( H ₄ ) гексакосихорическую симметрию . Они генерируются из 6 связанных групп симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

Каждая группа имеет 2 правильных звездных полихора, за исключением двух групп, которые являются самодвойственными, имея только один. Таким образом, среди десяти правильных звездных полихоров имеется 4 дуальных пары и 2 самодвойственные формы.

Примечание:

• Существует 2 уникальных расположения вершин , соответствующих 120-ячеечному и 600-ячеечному вариантам .
• Существует 4 уникальных расположения рёбер , которые показаны в виде каркасных ортогональных проекций .
• Существует 7 уникальных расположений граней , показанных в виде сплошных (цветных) ортографических проекций.

Ячейки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные реберные фигуры и многогранные вершинные фигуры идентифицируются их символами Шлефли .

Имя Конвей (сокращенно)	Ортогональная проекция	Шлефли Коксетер	С {п, д}	Ф {п}	Э {р}	В {д, р}	Денс.	χ
Икосаэдрический 120-ячеистый полиикосаэдр (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2 }	120 {5,5/2}	4	480
Малый звездчатый 120-ячеистый звездчатый полидодекаэдр (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Большой 120-ячеистый большой полидодекаэдр (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Большой 120-ячеечный большой полидодекаэдр (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Большой звездчатый 120-ячейниковый большой звездчатый полидодекаэдр (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Большой звездчатый 120-ячейниковый большой звездчатый полидодекаэдр (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Большой 120-ячейковый большой полидодекаэдр (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Большой икосаэдрический 120-ячейковый большой полиикосаэдр (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Большой 600-ячеечный большой политетраэдр (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Большой звездчатый 120-ячейниковый большой звездчатый полидодекаэдр (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

• Правильный многогранник
• Список правильных многогранников
• Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
  • Одна правильная евклидова сота: {4,3,4}
  • Четыре компактных правильных гиперболических соты: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
  • Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
• Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
  • 11-клеточный {3,5,3}
  • 57-ячеечный {5,3,5}
• Однородные 4-мерные многогранники — однородные 4-мерные многогранники, построенные из этих 6 правильных форм.
• Платоновы тела
• Многогранники Кеплера-Пуансо — правильные звездчатые многогранники
• Звездчатый многоугольник — правильные звездчатые многоугольники
• 4-многогранник
• 5-политоп
• 6-многогранник

• Вайсштейн, Эрик В. «Регулярный полихор». MathWorld .
• Джонатан Бауэрс, 16 правильных 4-мерных многогранников
• Правильные 4D-многогранники
• Каталог изображений многогранников Коллекция стереографических проекций 4-мерных многогранников.
• Каталог однородных многогранников
• Измерения. 2-часовой фильм о четвертом измерении (содержит стереографические проекции всех правильных 4-мерных многогранников)
• Regulare Polytope (Регулярный многогранник)
• Правильная звезда Полихора
• Гиперсолиды