Заказ-5 кубических сот

Заказ-5 кубических сот
Модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	{4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{4,3} ( куб )
Лица	{4} ( квадрат )
Крайняя фигура	{5} ( пятиугольник )
Вершинная фигура	икосаэдр
Группа Коксетера	BH 3 , [4,3,5]
Двойной	Додекаэдрические соты 4-го порядка
Характеристики	Обычный

В гиперболической геометрии кубические соты порядка 5 являются одними из четырех компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот ) в гиперболическом 3-мерном пространстве . С символом Шлефли {4,3,5} они имеют пять кубов {4,3} вокруг каждого ребра и 20 кубов вокруг каждой вершины . Они являются двойственными с додекаэдрическими сотами порядка 4 .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Одна ячейка, центрированная в шаровой модели Пуанкаре

Основные ячейки

Ячейки с расширенными краями до идеальной границы

Он имеет конструкцию симметрии радикальной подгруппы с додекаэдрическими фундаментальными областями: обозначение Кокстера : [4,(3,5) ^* ], индекс 120.

Кубические соты порядка 5 имеют родственные им чередующиеся соты,↔, с ячейками икосаэдра и тетраэдра .

Соты также являются одними из четырех обычных компактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве:

Четыре правильные компактные соты в H ³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

В семействе групп Коксетера [5,3,4] имеется пятнадцать однородных сот , включая кубические соты порядка 5 как правильную форму:

[5,3,4] семейные соты

{5,3,4}	г{5,3,4}	т{5,3,4}	рр{5,3,4}	т 0,3 {5,3,4}	тр{5,3,4}	т 0,1,3 {5,3,4}	т 0,1,2,3 {5,3,4}
{4,3,5}	г{4,3,5}	т{4,3,5}	рр{4,3,5}	2т{4,3,5}	тр{4,3,5}	т 0,1,3 {4,3,5}	т 0,1,2,3 {4,3,5}

Кубические соты порядка 5 находятся в последовательности правильных полихор и сот с икосаэдрическими вершинными фигурами .

{p,3,5} многогранники
Космос	С 3	Н 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также находится в последовательности правильных полихор и сот с кубическими ячейками . Первый политоп в последовательности — тессеракт , а второй — евклидовы кубические соты .

{4,3,p} обычные соты
Космос	С 3	Е 3	Н 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
Изображение
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленный заказ-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г{4,3,5} или 2г{5,3,4} 2г{5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	г{4,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	пятиугольная призма
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленный заказ-5 кубических сот ,, имеет чередующиеся ячейки икосаэдра и кубооктаэдра , с вершинной фигурой в виде пятиугольной призмы .

Существует четыре вида ректифицированных компактных регулярных сот:

Четыре ректифицированных регулярных компактных сот в H ³

Изображение
Символы	г{5,3,4}	г{4,3,5}	г{3,5,3}	г{5,3,5}
Вершинная фигура

р{п,3,5}

Космос	С 3	Н 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	г{3,3,5}	г{4,3,5}	г{5,3,5}	г{6,3,5}	г{7,3,5}	... г{∞,3,5}
Изображение
Клетки {3,5}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченный порядок-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{4,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	пятиугольная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченный порядок-5 кубических сот ,, имеет ячейки в виде усеченного куба и икосаэдра , с вершинной фигурой в виде пятиугольной пирамиды .

Его можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической усеченной квадратной мозаики порядка 5 , t{4,5}, с усеченными квадратными и пятиугольными гранями:

Он похож на евклидовы (порядок 4) усеченные кубические соты , t{4,3,4}, которые имеют октаэдрические ячейки в усеченных вершинах.

Четыре усеченных правильных компактных соты в H ³

Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вершинная фигура

Усеченные кубические соты порядка 5 идентичны усеченным додекаэдрическим сотам порядка 4 .

Скошенный порядок-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	рр{4,3} г{3,5} {}x{5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенный порядок-5 кубических сот ,, имеет ячейки ромбокубооктаэдра , икосододекаэдра и пентагональной призмы с клиновидной вершиной .

Он похож на евклидовы (порядка 4) сочлененные кубические соты , rr{4,3,4}:

Четыре регулярных компактных сота с кантеллированными ячейками в H 3
Изображение Символы рр{5,3,4} рр{4,3,5} рр{3,5,3} рр{5,3,5} Вершинная фигура

Усеченный порядок-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	тр{4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{4,3} т{3,5} {}x{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченный порядок - 5 кубических сот ,, имеет ячейки в форме усеченного кубооктаэдра , усеченного икосаэдра и пентагональной призмы с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Он похож на евклидовы (порядка 4) усеченные кубические соты , tr{4,3,4}:

Четыре усеченных регулярных компактных сотовых ячейки в H ³

Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вершинная фигура

Runcinated заказ-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве Полурегулярные соты
Символ Шлефли	т 0,3 {4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{4,3} {5,3} {}x{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты ранцинированного порядка-5 или додекаэдрические соты ранцинированного порядка-4 , имеет ячейки в форме куба , додекаэдра и пентагональной призмы с вершинной фигурой в виде неправильной треугольной антипризмы .

Это аналог 2D гиперболической ромбо-тетра-пентагональной мозаики , rr{4,5},с квадратными и пятиугольными гранями:

Он похож на евклидовы (порядка 4) кубические соты с бегающими концами , t _0,3 {4,3,4}:

Три регулярных компактных сотовых сота в H ³

Изображение
Символы	т0,3{4,3,5}	т 0,3 {3,5,3}	т 0,3 {5,3,5}
Вершинная фигура

Runcturcated order-5 кубические соты Runcturcated order-4 додекаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,3 {4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{4,3} рр{5,3} {}x{5} {}x{8}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} восьмиугольник {8}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты ранцикантеллатного порядка-5 или додекаэдрические соты ранцикантеллатного порядка-4 ,, имеет ячейки усеченного куба , ромбоикосододекаэдра , пятиугольной призмы и восьмиугольной призмы с вершинной фигурой в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Он похож на евклидовы (порядка 4) усеченные кубические соты , t _0,1,3 {4,3,4}:

Четыре усеченных регулярных компактных сотовых ячейки в H 3
Изображение Символы т 0,1,3 {5,3,4} т0,1,3{4,3,5} т 0,1,3 {3,5,3} т 0,1,3 {5,3,5} Вершинная фигура

Кубические соты ранцикантеллатного порядка 5 идентичны додекаэдрическим сотам ранцикантеллатного порядка 4 .

Усеченный порядок-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве Полурегулярные соты
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {4,3,5}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{5,3} тр{4,3} {10}x{} {8}x{}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные кубические соты порядка 5 или усеченные додекаэдрические соты порядка 4 ,, имеет ячейки усеченного икосододекаэдра , усеченного кубооктаэдра , декагональной призмы и восьмиугольной призмы с неправильной тетраэдрической вершиной.

Он похож на евклидовы (порядка 4) усеченные кубические соты , t _0,1,2,3 {4,3,4}:

Три усеченных регулярных компактных сота в H 3
Изображение Символы т0,1,2,3{4,3,5} т 0,1,2,3 {3,5,3} т 0,1,2,3 {5,3,5} Вершинная фигура

Альтернативный порядок-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч{4,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{3,3} {3,5}
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	икосододекаэдр
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$, [5,3 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

В 3-мерной гиперболической геометрии чередующиеся кубические соты порядка 5 представляют собой однородную компактную заполняющую пространство мозаику (или соты ). С символом Шлефли h{4,3,5} их можно рассматривать как квазиправильные соты , чередующиеся икосаэдры и тетраэдры вокруг каждой вершины в вершинной фигуре икосододекаэдра .

Он имеет 3 родственные формы: кантический ордер - 5 кубических сот ,, рунический порядок-5 кубических сот ,, и порядок руникантных-5 кубических сот ,.

Кантический ордер-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч 2 {4,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	г{5,3} т{3,5} т{3,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$, [5,3 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты порядка 5 кантика — это однородная компактная заполняющая пространство мозаика (или соты ) с символом Шлефли h ₂ {4,3,5}. Она имеет ячейки икосододекаэдр , усеченный икосаэдр и усеченный тетраэдр с вершинной фигурой в виде прямоугольной пирамиды .

Порядок Runcic-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч 3 {4,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{5,3} рр{5,3} {3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	треугольный усеченный треугольник
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$, [5,3 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты порядка 5 рунчи — это однородная компактная заполняющая пространство мозаика (или соты ) с символом Шлефли h ₃ {4,3,5}. Она имеет ячейки додекаэдра , ромбоикосододекаэдра и тетраэдра с вершиной в виде усеченного треугольника .

Порядок руникантный-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч 2,3 {4,3,5}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	т{5,3} тр{5,3} т{3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$, [5,3 1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кубические соты порядка 5 рунцикантика — это однородная компактная заполняющая пространство мозаика (или соты ) с символом Шлефли h _2,3 {4,3,5}. Она имеет ячейки усеченного додекаэдра , усеченного икосододекаэдра и усеченного тетраэдра с вершинной фигурой в виде неправильного тетраэдра .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Коксетер , Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 13: Гиперболические группы Коксетера