Додекаэдрические соты порядка 6

Додекаэдрические соты порядка 6
Перспективный проекционный вид в модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	{5,3,6} {5,3 [3] }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{5,3}
Лица	пятиугольник {5}
Крайняя фигура	шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольная мозаика
Двойной	Заказ-5 шестиугольная плитка сотовая
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$
Характеристики	Регулярный, квазирегулярный

Додекаэдрические соты порядка 6 являются одними из 11 паракомпактных правильных сот в гиперболическом 3-пространстве . Они паракомпактны, поскольку имеют вершинные фигуры, состоящие из бесконечного числа граней, причем все вершины являются идеальными точками на бесконечности. Они имеют символ Шлефли {5,3,6} с шестью идеальными додекаэдрическими ячейками, окружающими каждое ребро сот. Каждая вершина идеальна и окружена бесконечным числом додекаэдров. Соты имеют треугольную мозаичную вершинную фигуру .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Конструкция полусимметрии существует какс попеременно окрашенными додекаэдрическими ячейками.

Модель центрирована на ячейке в модели диска Пуанкаре , при этом точка наблюдения помещена в начало координат.

Додекаэдрические соты порядка 6 похожи на двумерную гиперболическую пятиугольную мозаику бесконечного порядка {5,∞} с пятиугольными гранями и вершинами на идеальной поверхности.

Додекаэдрические соты порядка 6 являются правильными гиперболическими сотами в 3-мерном пространстве и одними из 11, которые являются паракомпактными.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

В семействе групп Коксетера [5,3,6] имеется 15 однородных сот , включая эту правильную форму и ее правильную двойственную форму — шестиугольные мозаичные соты порядка 5 .

[6,3,5] семейные соты

{6,3,5}	г{6,3,5}	т{6,3,5}	рр{6,3,5}	т 0,3 {6,3,5}	тр{6,3,5}	т 0,1,3 {6,3,5}	т 0,1,2,3 {6,3,5}
{5,3,6}	г{5,3,6}	т{5,3,6}	рр{5,3,6}	2т{5,3,6}	тр{5,3,6}	т 0,1,3 {5,3,6}	т 0,1,2,3 {5,3,6}

Додекаэдрические соты порядка 6 являются частью последовательности правильных полихор и сот с треугольными мозаичными вершинными фигурами :

Гиперболические однородные соты : {p,3,6}

Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является частью последовательности правильных многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3,p} многогранники
Космос	С 3	Н 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Изображение
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	г{5,3,6} т 1 {5,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	г{5,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	шестиугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленная додекаэдрическая сота порядка 6 , t ₁ {5,3,6}, имеет ячейки икосододекаэдра и треугольной мозаики , соединенные в вершинную фигуру шестиугольной призмы .

Перспективный проекционный вид в модели диска Пуанкаре

Он похож на двумерную гиперболическую пентапирогональную мозаику r{5,∞} с пятиугольными и апейрогональными гранями.

р{п,3,6}

• в
• т
• е

Космос	Н 3
Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	г{3,3,6}	г{4,3,6}	г{5,3,6}	г{6,3,6}	г{7,3,6}	... г{∞,3,6}
Изображение
Клетки {3,6}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	т{5,3,6} т 0,1 {5,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	т{5,3} {3,6}
Лица	треугольник {3} декагон {10}
Вершинная фигура	шестиугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6 , t _0,1 {5,3,6}, имеют усеченный додекаэдр и треугольные ячейки мозаики, соединенные в вершинную фигуру шестиугольной пирамиды .

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6 идентичны усеченным шестиугольным мозаичным сотам порядка 5 .

Додекаэдрические соты с кантеллированным порядком 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	рр{5,3,6} т 0,2 {5,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	рр{5,3} рр{6,3} {}x{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные додекаэдрические соты порядка 6 , t _0,2 {5,3,6}, имеют ячейки ромбоикосододекаэдра , тригексагональной мозаики и шестиугольной призмы с клиновидной вершиной.

Кантиусечённые додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	тр{5,3,6} т 0,1,2 {5,3,6}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	тр{5,3} т{3,6} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6] , [5,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {ЛС}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6 , t _0,1,2 {5,3,6}, имеют грани усеченного икосододекаэдра , шестиугольной мозаики и шестиугольной призмы с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Додекаэдрические соты ранцинированного порядка 6 идентичны шестиугольным мозаичным сотам ранцинированного порядка 5 .

Ранцитусечённые додекаэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	т 0,1,3 {5,3,6}
Диаграммы Коксетера
Клетки	т{5,3} рр{6,3} {}x{10} {}x{6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {HV}}_{3}}$, [5,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6 , t _0,1,3 {5,3,6}, имеют грани усеченного додекаэдра , ромботригексагональной мозаики , десятиугольной призмы и шестиугольной призмы с вершиной в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Ранцикантеллированные додекаэдрические соты порядка 6 идентичны ранцикантеллированным гексагональным мозаичным сотам порядка 5 .

Усеченные додекаэдрические соты порядка 6 идентичны усеченным шестиугольным мозаичным сотам порядка 5 .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве) Таблица III 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Коксетера