Полиформ

В развлекательной математике полиформа — это плоская фигура или твердое тело, построенное путем соединения идентичных базовых многоугольников . Базовый многоугольник часто (но не обязательно) является выпуклым многоугольником, заполняющим плоскость, таким как квадрат или треугольник . Более конкретные названия были даны полиформам, полученным из определенных базовых многоугольников, как подробно описано в таблице ниже. Например, квадратный базовый многоугольник приводит к хорошо известным полимино .

Правила соединения полигонов могут различаться, поэтому их необходимо указывать для каждого отдельного типа полиформы. Однако в целом применяются следующие правила:

1. Два основных многоугольника могут быть соединены только по общему краю и должны иметь общую часть этого края.
2. Никакие два основных многоугольника не могут перекрываться.
3. Полиформа должна быть связной (то есть все должно быть одной частью; см. связный граф , связное пространство ). Конфигурации несвязных базовых полигонов не считаются полиформами.
4. Зеркальное отражение асимметричной полиформы не считается отдельной полиформой (полиформы «двусторонние»).

Полиформы также можно рассматривать в более высоких измерениях. В трехмерном пространстве базовые многогранники можно соединять вдоль конгруэнтных граней. Соединение кубов таким образом дает поликубы , а соединение тетраэдров таким образом дает политетраэдры. Двумерные полиформы также можно складывать из плоскости вдоль их ребер, подобно развертке ; в случае полимино это приводит к полиминоидам .

Можно допустить более одного базового многоугольника. Возможностей так много, что упражнение кажется бессмысленным, если только не вводить дополнительные требования. Например, плитки Пенроуза определяют дополнительные правила для соединения ребер, что приводит к интересным полиформам с своего рода пятиугольной симметрией.

Когда базовая форма представляет собой многоугольник, который заполняет плоскость, правило 1 может быть нарушено. Например, квадраты могут быть соединены ортогонально в вершинах, а также по краям, образуя шарнирные/ псевдополимино , также известные как полиплеты или поликороли. ^[1]

Полиформы являются богатым источником проблем, головоломок и игр . Основная комбинаторная задача заключается в подсчете количества различных полиформ, учитывая базовый многоугольник и правила построения, как функции n , количества базовых многоугольников в полиформе.

Правильные многоугольники

Стороны	Базовый многоугольник (моноформ)		Моноэдральная мозаика	Полиформ	Приложения
3		равносторонний треугольник	Дельтиль	Полиалмазы : мониамонд, алмаз, триамонд, тетраамонд, пентиамонд, гексаамонд	Блокус Тригон
4		квадрат	Кадриль	Полимино : мономино, домино , тримино , тетромино , пентамино , гексомино , гептомино , октомино , нономино , декомино.	Тетрис , Филломино , Тентай Шоу , Эффект ряби (головоломка) , LITS , Нурикабэ , Судоку , Блокус
6		правильный шестиугольник	Гекстиль	Полигексагоны : моногексагон, дигексагон, тригексагон, тетрагексагон, пентагексагон, гексагексагон

Другие полиформы

Стороны	Базовый многоугольник (моноформ)		Моноэдральная мозаика	Полиформ	Приложения
1		сегмент линии		полистик	Сегментные дисплеи
3		треугольник 30°-60°-90°	Кисромбиль	полидрафтер	Вечная головоломка
		прямоугольный равнобедренный (45°-45°-90°) треугольник	Кисквадрилль	полиаболо	Танграмы
4		ромб	Ромбиль	полиромб
4		Соединенные полуквадраты		Поляре
12		Соединенные полукубы		Полиб
5		Каир Пентагон		Поликаиро
12		Куб		Поликуб	Куб Сомы , Куб Бедлама , Дьявольский куб , Загадка Слотубера-Граатсмы , Загадка Конвея
4		Соединенные полушестиугольники		Полихе
4		60°-90°-90°-120° Кайт		Поликит
4		Квадрат (соединенный по краям или углам)		Полиплет
3		Равнобедренный треугольник 30°-30°-120°		Полипон
4		Прямоугольник		Полирект

• Поликуб
• Полимино
• Полиминоид

На Викискладе есть медиафайлы по теме Полиформы .

• Вайсштейн, Эрик В. «Полиформа». MathWorld .
• Страницы Poly на RecMath.org, иллюстрации и информация о многих видах полиформ.