Декомино
Декомино , или 10-мино , — это полимино порядка 10; то есть многоугольник на плоскости, состоящий из 10 квадратов одинакового размера , соединенных ребром к ребру. [1] Если вращения и отражения не считаются различными фигурами, то существует 4655 различных свободных декомино (свободные декомино включают 195 с отверстиями и 4460 без отверстий). Если отражения считаются различными, то существует 9189 односторонних декомино. Если вращения также считаются различными, то существует 36446 фиксированных декомино. [2]
Симметрия
4655 свободных декомино можно классифицировать в соответствии с их группами симметрии : [2]
- 4461 декомино не имеют симметрии . Их группа симметрии состоит только из тождественного отображения .
- 90 декомино имеют ось симметрии отражения, совмещенную с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и отражения относительно линии, параллельной сторонам квадратов.
- 22 декомино имеют ось симметрии отражения под углом 45° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и диагонального отражения.
- 73 декомино обладают точечной симметрией, также известной как вращательная симметрия 2-го порядка. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и поворота на 180°.
- 8 декомино имеют две оси симметрии отражения, обе выровненные с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: тождества, двух отражений и поворота на 180°. Это диэдральная группа порядка 2, также известная как четверная группа Клейна .
- 1 декомино имеет две оси симметрии отражения, обе выровненные с диагоналями. Его группа симметрии также является диэдральной группой порядка 2 с четырьмя элементами.
В отличие от октамино и нономино , ни одно декомино не имеет вращательной симметрии четвертого порядка.
Упаковка и укладка плитки
195 декомино имеют дырки. Это делает тривиальным доказательство того, что полный набор декомино не может быть упакован в прямоугольник, и что не все декомино можно замостить .
4460 декомино без отверстий составляют 44 600 единичных квадратов. Таким образом, наибольший квадрат, который может быть покрыт различными декомино, имеет не более 210 единиц на стороне (210 в квадрате составляет 44 100). Такой квадрат, содержащий 4410 декомино, был построен Ливио Зуккой. [3]
Ссылки
- ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ ab Редельмейер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака». Дискретная математика . 36 (2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
- ^ Iread.it: Максимальные квадраты полимино
