Треугольная мозаика
Регулярная замощение плоскости
Треугольная мозаика
Треугольная мозаика
ТипОбычная укладка плитки
Конфигурация вершины3.3.3.3.3.3 (или 3 6 )
Конфигурация лицаV6.6.6 (или V6 3 )
Символ(ы) Шлефли{3,6}
{3 [3] }
Символ(ы) Витхоффа6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Диаграмма(ы) Коксетера

=
Симметрияп6м , [6,3], (*632)
Симметрия вращенияр6 , [6,3] + , (632)
р3 , [3 [3] ] + , (333)
ДвойнойШестиугольная мозаика
ХарактеристикиВершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , гране-транзитивный

В геометрии треугольная мозаика или треугольная тесселяция является одной из трех правильных мозаик евклидовой плоскости и единственной такой мозаикой, где составляющие фигуры не являются параллелограммами . Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60 градусам, шесть треугольников в точке занимают полные 360 градусов. Треугольная мозаика имеет символ Шлефли {3,6}.

Английский математик Джон Конвей назвал его deltille , названным по треугольной форме греческой буквы delta (Δ). Треугольная мозаика может также называться kishextille с помощью операции kis , которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней hextille .

Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Две другие — это квадратная мозаика и шестиугольная мозаика .

Равномерные окраски

2-однородная треугольная мозаика, 4 цветных треугольника, связанных с геодезическим многогранником соотношением {3,6+} 2,0 .

Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики. (Название цветов осуществляется индексами 6 треугольников вокруг вершины: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Три из них могут быть получены из других путем повторения цветов: 111212 и 111112 из 121213 путем объединения 1 и 3, в то время как 111213 уменьшается из 121314. [1]

Существует один класс архимедовых раскрасок , 111112 (отмеченный *), который не является 1-однородным, содержащим чередующиеся ряды треугольников, где каждый третий окрашен. Показанный пример является 2-однородным, но существует бесконечно много таких архимедовых раскрасок, которые можно создать произвольными горизонтальными сдвигами рядов.

111111121212111222112122111112(*)
стр.6м (*632)п3м1 (*333)смм (2*22)стр2 (2222)стр2 (2222)
121213111212111112121314111213
стр31м (3*3)стр.3 (333)

Упаковки решеток и кругов А2

А*
2решетка в виде трех треугольных мозаик:++

Расположение вершин треугольной мозаики называется решеткой A2 . [ 2] Это двумерный случай симплектических сот .

А*
2решетка (также называемая A3
2) может быть построена путем объединения всех трех решеток A2 и эквивалентна решетке A2 .

++= двойственное из=

Вершины треугольной мозаики являются центрами максимально плотной упаковки кругов . [3] Каждый круг соприкасается с 6 другими кругами в упаковке ( число контакта ). Плотность упаковки составляет π ⁄ √ 12 или 90,69%. Ячейка Вороного треугольной мозаики является шестиугольником , и поэтому мозаика Вороного , шестиугольная мозаика, имеет прямое соответствие упаковкам кругов.

Геометрические вариации

Треугольные мозаики могут быть сделаны с эквивалентной топологией {3,6}, как и обычная мозаика (6 треугольников вокруг каждой вершины). С идентичными гранями ( гране-транзитивность ) и вершинно-транзитивностью , есть 5 вариаций. Симметрия задана, предполагая, что все грани одного цвета. [4]

Плоские мозаики связаны с многогранниками . Размещение меньшего количества треугольников на вершине оставляет зазор и позволяет сложить ее в пирамиду . Их можно расширить до Платоновых тел : пять, четыре и три треугольника на вершине определяют икосаэдр , октаэдр и тетраэдр соответственно.

Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3,n}, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n }
СферическийЕвклид.Компактный гипер.Парако.Некомпактный гиперболический
3.33 33 43 5363 73 83 ∞3 12i3 9i3 6и3 3и

Он также топологически связан как часть последовательности каталонских тел с конфигурацией граней Vn.6.6, а также продолжается в гиперболическую плоскость.


В3.6.6
В4.6.6
В5.6.6
В6.6.6
В7.6.6

Конструкции Витхоффа из шестиугольных и треугольных плиток

Подобно однородным многогранникам, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной шестиугольной мозаике (или двойственной треугольной мозаике).

Если раскрасить плитки красным цветом на исходных гранях, желтым — на исходных вершинах и синим — вдоль исходных ребер, то получится 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная плитка топологически идентична шестиугольной плитке.)

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Фундаментальные
домены		Симметрия : [6,3], (*632)[6,3] + , (632)
{6,3}т{6,3}г{6,3}т{3,6}{3,6}рр{6,3}тр{6,3}ср{6,3}
Конфигурация.6 33.12.12(6.3) 26.6.63 63.4.6.44.6.123.3.3.3.6
Треугольные симметричные мозаики
Витхофф3 | 3 33 3 | 33 | 3 33 3 | 33 | 3 33 3 | 33 3 3 || 3 3 3
Коксетер
Изображение
Вершина фигуры
(3.3)3
3.6.3.6
(3.3)3
3.6.3.6
(3.3)3
3.6.3.6
6.6.6
3.3.3.3.3.3

Существует 4 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины треугольной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, где ребра могут содержать 2 или более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r ограничены: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а вершинные фигуры являются r -угольными. [5]

Первый состоит из 2-х граней, следующие два — из треугольных граней, а последний имеет перекрывающиеся шестиугольные грани.

2{6}6 или3{4}6 или3{6}3 или6{3}6 или

Другие треугольные мозаики

Существуют также три мозаики Лавеса, состоящие из треугольников одного типа:


Прямоугольные треугольники Kisrhombille
с углами 30°-60°-90°
Кисквадриль
45°-45°-90° прямоугольные треугольники

Равнобедренные треугольники Kisdeltile 30°-30°-120°

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Треугольная мозаика порядка 6» .

Ссылки

  1. ^ Мозаики и узоры , стр.102-107
  2. ^ «Решетка А2».
  3. ^ Порядок в пространстве: Справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр. 74-75, шаблон 1
  4. ^ Мозаики и узоры , из списка 107 равногранных мозаик, стр.473-481
  5. ↑ Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111-112, стр. 136.

Источники

  • Коксетер, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Dover, ISBN 0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Регулярные соты 
  • Грюнбаум, Бранко и Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Правильные и однородные мозаики , стр. 58-65, Глава 2.9 Архимедовы и однородные раскраски, стр. 102–107)
  • Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.стр.35
  • Джон Х. Конвей, Хайди Берджил, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] 
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
КосмосСемья А ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}} С ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}} Б ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}} Д ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}} Г ~ 2 {\displaystyle {\тильда {G}}_{2}} / / Ф ~ 4 {\displaystyle {\тильда {F}}_{4}} Э ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
Э 2Равномерная укладка плитки0[3]δ 3hδ 3qδ 3Шестиугольный
Е 3Равномерные выпуклые соты0 [4]δ 4hδ 4qδ 4
Е 4Равномерный 4-сотовый0 [5]δ 5hδ 5qδ 524-ячеечные соты
Э 5Равномерный 5-сотовый0 [6]δ 6hδ 6qδ 6
Е 6Равномерный 6-сотовый0 [7]δ 7hδ 7qδ 72 22
Е 7Равномерный 7-сотовый0 [8]δ 8hδ 8qδ 81 33 • 3 31
Е 8Равномерный 8-сотовый0 [9]δ 9hδ 9qδ 91 52 • 2 51 • 5 21
Е 9Равномерный 9-сотовый0 [10]δ 10hδ 10qδ 10
Е 10Равномерный 10-сотовый0 [11]δ 11hδ 11qδ 11
Э н -1Равномерный ( n -1)- соты0 [ н ]δ нhδ nqδ n1 к2 • 2 к1 • к 21
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Треугольная_плитка&oldid=1259494593"