Глоссарий теории модулей

Теория модулей — раздел математики, в котором изучаются модули . Это глоссарий некоторых терминов по этой теме.

См. также: Глоссарий линейной алгебры , Глоссарий теории колец , Глоссарий теории представлений .

алгебраически компактный

алгебраически компактный модуль (также называемый чисто инъективным модулем ) — это модуль, в котором все системы уравнений могут быть решены финитными средствами. Альтернативно, те модули, которые оставляют чисто-точную последовательность точной после применения Hom.

аннигилятор

1. Аннулятором левого -модуля является множество . Это (левый ) идеал .${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$${\displaystyle {\textrm {Энн}}(М):=\{r\in R~|~rm=0\,\forall m\in M\}}$${\displaystyle R}$

2. Аннулятором элемента является множество .${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle {\textrm {Энн}}(м):=\{r\in R~|~rm=0\}}$

артинский

Артинов модуль — это модуль, в котором каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

ассоциированный премьер

1.   ассоциированное простое число

автоморфизм

Автоморфизм — это эндоморфизм , который также является изоморфизмом.

Адзумая

Теорема Адзумайи утверждает, что два разложения на модули с локальными кольцами эндоморфизмов эквивалентны.

сбалансированный

сбалансированный модуль

основа

Базис модуля — это такой набор элементов , что каждый элемент модуля может быть выражен как конечная сумма элементов базиса единственным способом.${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$

Бовиль–Ласло

Теорема Бовилля–Ласло

большой

«большой» обычно означает «не обязательно конечно порожденный».

бимодуль

бимодуль

канонический модуль

канонический модуль (термин «канонический» происходит от канонического делителя )

категория

Категория модулей над кольцом — это категория, объектами которой являются все (скажем) левые модули над данным кольцом, а морфизмы — гомоморфизмы модулей.

характер

модуль персонажа

цепной комплекс

цепной комплекс (часто просто комплекс)

закрытый подмодуль

Модуль называется закрытым подмодулем, если он не содержит никаких существенных расширений .

Коэн–Маколей

Модуль Коэна–Маколея

последовательный

Когерентный модуль — это конечно порождённый модуль, конечно порождённые подмодули которого конечно представлены .

коядро

Коядром гомоморфизма модулей является область значений , факторизованная по образу.

компактный

Компактный модуль

полностью сводимый

Синоним « полупростого модуля ».

завершение

завершение модуля

состав

Серия композиций Джордана Гёльдера

непрерывный

непрерывный модуль

счетно сгенерировано

Счетно порожденный модуль — это модуль, допускающий порождающее множество, мощность которого не более счетна.

циклический

Модуль называется циклическим, если он порождается одним элементом.

Д

D -модуль — это модуль над кольцом дифференциальных операторов.

разложение

Разложение модуля — это способ выражения модуля в виде прямой суммы подмодулей.

плотный

плотный подмодуль

определитель

Определитель конечного свободного модуля над коммутативным кольцом — это r -я внешняя степень модуля, где r — ранг модуля.

дифференциал

Дифференциально-градуированный модуль или dg-модуль — это градуированный модуль с дифференциалом.

прямая сумма

Прямая сумма модулей — это модуль, который является прямой суммой базовой абелевой группы вместе с покомпонентным скалярным умножением.

двойной модуль

Двойственным модулем модуля M над коммутативным кольцом R является модуль .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$

дуализация

модуль дуализации

Дринфельд

Модуль Дринфельда — это модуль над кольцом функций на алгебраической кривой с коэффициентами из конечного поля.

Эйленберг–Мазур

Афера Эйленберга-Мазура

элементарный

элементарный делитель

эндоморфизм

1. Эндоморфизм — это гомоморфизм модуля на себя.

2. Кольцо эндоморфизмов — это множество всех модульных гомоморфизмов со сложением как сложением функций и произведением как композицией функций.

достаточно

достаточно инъекций

достаточно проективных

существенный

Для данного модуля M существенный подмодуль N модуля M — это подмодуль, с которым каждый ненулевой подмодуль M пересекается нетривиально.

точный

точная последовательность

Ext-функтор

Ext-функтор

расширение

Расширение скаляров использует кольцевой гомоморфизм из R в S для преобразования R -модулей в S -модули.

верный

Точный модуль — это такой, где действие каждого ненулевого на нетривиально (т.е. для некоторых из ). Эквивалентно, это нулевой идеал.${\displaystyle М}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle М}$${\displaystyle rx\neq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle М}$${\displaystyle {\textrm {Энн}}(М)}$

конечный

Термин « конечный модуль » — это другое название конечно порождённого модуля .

конечная длина

Модуль конечной длины — это модуль, допускающий (конечный) композиционный ряд.

конечное представление

1. Конечное свободное представление модуля M — это точная последовательность , где — конечно порождённые свободные модули.${\displaystyle F_{1}\to F_{0}\to M}$${\displaystyle F_{i}}$

2. Конечно представленный модуль — это модуль, допускающий конечное свободное представление .

конечно сгенерированный

Модуль конечно порожден, если существует конечное число элементов в , таких, что каждый элемент из является конечной линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами из скалярного кольца .${\displaystyle М}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle R}$

подгонка

1.   идеально подходит

2.   Лемма Фиттинга

пять

Пять лемм

плоский

-модуль называется плоским модулем, если тензорный функтор произведения точен . В частности , каждый проективный модуль является плоским.${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -\otimes _{R}F}$

бесплатно

Свободный модуль — это модуль, имеющий базис, или, что эквивалентно, модуль, изоморфный прямой сумме копий скалярного кольца .${\displaystyle R}$

Взаимность Фробениуса

Взаимность Фробениуса .

Галуа

Модуль Галуа — это модуль над групповым кольцом группы Галуа.

генераторная установка

Подмножество модуля называется порождающим набором модуля, если подмодуль, порождаемый набором (т. е. наименьшее подмножество, содержащее набор), является всем модулем.

глобальный

глобальное измерение

градуированный

Модуль над градуированным кольцом является градуированным модулем, если его можно выразить в виде прямой суммы и .${\displaystyle М}$${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i}}$${\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

Коэффициент Эрбрана

Другим термином для индекса является частное Эрбрана гомоморфизма модуля.

Гильберт

1.   Теорема Гильберта о сизигиях

2. Ряд Гильберта–Пуанкаре градуированного модуля.

3. Теорема Гильберта–Серра определяет, когда ряд Гильберта–Пуанкаре является рациональной функцией.

гомологическая размерность

гомологическая размерность

гомоморфизм

Для двух левых -модулей групповой гомоморфизм называется гомоморфизмом -модулей, если .${\displaystyle R}$${\displaystyle М_{1},М_{2}}$${\displaystyle \phi :M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\,\forall r\in R,m\in M_{1}}$

Хом

Hom-функтор

идемпотентный

Идемпотент — это эндоморфизм , квадрат которого равен ему самому.

неразложимый

Неразложимый модуль — это ненулевой модуль, который не может быть записан как прямая сумма двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль неразложим (но не наоборот).

индекс

Индекс эндоморфизма — это разность , когда коядро и ядро ​​имеют конечную длину.${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle \operatorname {длина} (\operatorname {кокер} (f))-\operatorname {длина} (\operatorname {кер} (f))}$${\displaystyle f}$

инъекционный

1. -модуль называется инъективным модулем , если для -модульного гомоморфизма и инъективного -модульного гомоморфизма существует -модульный гомоморфизм такой, что .${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g:X\to Q}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h:Y\to Q}$${\displaystyle f\circ h=g}$

Следующие условия эквивалентны:

• Контравариантный функтор является точным .${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(-,I)}$
• ${\displaystyle Я}$является инъективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность разделена.${\displaystyle 0\to I\to L\to L'\to 0}$

Якобсон

Теорема плотности Джекобсона

Дифференциалы Кэлера

Дифференциалы Кэлера

Капланский

Теорема Капланского о проективном модуле утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

ядро

Ядром гомоморфизма модулей является прообраз нулевого элемента.

комплекс Козюля

комплекс Козюля

Крулль–Шмидт

Теорема Крулля –Шмидта утверждает, что (1) модуль конечной длины допускает неразложимое разложение и (2) любые два его неразложимых разложения эквивалентны.

длина

Длина модуля — это общая длина любой серии композиции модуля; длина бесконечна, если нет серии композиции. В поле длина более известна как размерность .

линейный

1. Линейное отображение — это еще один термин для гомоморфизма модулей .

2.   Линейная топология

локализация

Локализация модуля преобразует модули R в модули S , где S — локализация R.

Модуль Матлиса

Модуль Матлиса

Теорема вложения Митчелла

Теорема вложения Митчелла

Миттаг-Леффлер

Состояние Миттаг-Леффлера (ML)

модуль

1. Левый модуль над кольцом — это абелева группа с операцией (называемой скалярным умножением), удовлетворяющей следующему условию:${\displaystyle М}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (М,+)}$${\displaystyle R\times M\to M}$

${\displaystyle \forall r,s\in R,\forall m,n\in M}$,

1. ${\displaystyle r(m+n)=rm+rn}$
2. ${\displaystyle r(sm)=(rs)m}$
3. ${\displaystyle 1_{R}\,м=м}$

2. Правый модуль над кольцом — это абелева группа с операцией, удовлетворяющей следующему условию:${\displaystyle М}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (М,+)}$${\displaystyle M\times R\to M}$

${\displaystyle \forall r,s\in R,\forall m,n\in M}$,

1. ${\displaystyle (м+н)г=г-н+н}$
2. ${\displaystyle (мс)r=r(см)}$
3. ${\displaystyle m1_{R}=m}$

нильпотентный

Нильпотентный эндоморфизм — это эндоморфизм, некоторая степень которого равна нулю.

нётеровский

Нётеров модуль — это модуль, в котором каждый подмодуль конечно порожден. Эквивалентно, каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

нормальный

нормальные формы для матриц

идеальный

1.   совершенный комплекс

2.   идеальный модуль

главный

Главный неразложимый модуль — это циклический неразложимый проективный модуль.

начальный

основной подмодуль

проективный

-модуль называется проективным модулем , если для -модульного гомоморфизма и сюръективного -модульного гомоморфизма существует -модульный гомоморфизм такой , что .${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g:P\to M}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h:P\to N}$${\displaystyle f\circ h=g}$

Следующие условия эквивалентны:

• Ковариантный функтор является точным .${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(P,-)}$
• ${\displaystyle М}$является проективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность разделена.${\displaystyle 0\to L\to L'\to P\to 0}$
• ${\displaystyle М}$является прямым слагаемым свободных модулей.

В частности, каждый свободный модуль проективен.

Теорема Квиллена–Суслина

Теорема Квиллена–Суслина утверждает, что конечный проективный модуль над кольцом многочленов свободен.

частное

Учитывая левый -модуль и подмодуль , фактор-группу можно сделать левым -модулем с помощью для . Она называется фактор-модулем или фактор-модулем .${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle М/Н}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r(m+N)=rm+N}$${\displaystyle r\in R,\,m\in M}$

радикальный

Радикал модуля — это пересечение максимальных подмодулей. Для артиновых модулей — наименьший подмодуль с полупростым фактором.

рациональный

рациональная каноническая форма

рефлексивный

Рефлексивный модуль — это модуль, который изоморфен посредством естественного отображения своему второму двойственному модулю.

разрешение

разрешение

ограничение

Ограничение скаляров использует кольцевой гомоморфизм из R в S для преобразования S -модулей в R -модули.

Шануэль

Лемма Шануэля

Шур

Лемма Шура утверждает, что кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом.

Шапиро

Лемма Шапиро

связка модулей

связка модулей

змея

змея лемма

цоколь

Цоколь — самый большой полупростой подмодуль.

полупростой

Полупростой модуль — это прямая сумма простых модулей.

простой

Простой модуль — это ненулевой модуль, единственными подмодулями которого являются ноль и он сам.

Смит

Нормальная форма Смита

стабильно свободный

Стабильно бесплатный модуль

структурная теорема

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов гласит, что конечно порожденные модули над PID являются конечными прямыми суммами первичных циклических модулей.

подмодуль

Для данного -модуля аддитивная подгруппа является подмодулем , если .${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$${\displaystyle RN\subset N}$

поддерживать

Носителем модуля над коммутативным кольцом является множество простых идеалов, в которых локализации модуля отличны от нуля.

тензор

Тензорное произведение модулей

топологический

Топологический модуль

Тор

функтор Tor

без кручения

модуль без кручения

без кручения

модуль без кручения

униформа

Равномерный модуль — это модуль, в котором каждые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение.

слабый

слабое измерение

ноль

1. Нулевой модуль — это модуль, состоящий только из нулевого элемента.

2. Гомоморфизм нулевого модуля — это гомоморфизм модуля, который отображает каждый элемент в ноль.

• Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям (1-е изд.). Addison-Wesley . ISBN 0-521-64407-0.
• Голан, Джонатан С.; Хэд, Том (1991), Модули и структура колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, т. 147, Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-8555-0, МР  1201818
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Серж Ланг (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-55540-9.
• Пассман, Дональд С. (1991), Курс теории колец , Математическая серия Уодсворта и Брукса/Коула, Пасифик-Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-13776-2, МР  1096302