Модуль частного

Алгебраическая конструкция

В алгебре , если заданы модуль и подмодуль , можно построить их фактор-модуль . ^[1]^[2] Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на конструкцию фактор-векторного пространства . ^[3] Она отличается от аналогичных фактор-конструкций колец и групп тем, что в последних случаях подпространство , которое используется для определения фактора, не имеет той же природы, что и объемлющее пространство (то есть фактор-кольцо является фактором кольца по идеалу , а не подкольцу , а фактор-группа является фактором группы по нормальной подгруппе , а не по общей подгруппе ).

Если задан модуль $A$ над кольцом $R$ и подмодуль $B$ модуля $A$ , то факторпространство $A / B$ определяется отношением эквивалентности

a\сим б

если и только если

ba\in B,

для любых $a, b$ из $A.$ ^[4] Элементы $A / B$ являются классами эквивалентности . Функция , переводящая $a$ из $A$ в его класс эквивалентности $a$ $+$ $B,$ называется отображением факторизации или отображением проекции и является гомоморфизмом модулей . $[a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.$ $\pi :A\to A/B$

Операция сложения на $A$ $/$ $B$ определяется для двух классов эквивалентности как класс эквивалентности суммы двух представителей из этих классов; и скалярное умножение элементов $A$ $/$ $B$ на элементы $R$ определяется аналогично. Обратите внимание, что необходимо показать, что эти операции корректно определены . Тогда $A$ $/$ $B$ сам становится $R$ -модулем, называемым фактором-модулем . В символах для всех $a, b$ в $A$ и $r$ в $R$ :

{\begin{align}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{align}}

Примеры

Рассмотрим кольцо многочленов , ⁠ ⁠ $\mathbb {R} [X]$ с действительными коэффициентами , и ⁠ ⁠ $\mathbb {R} [X]$ -модуль . Рассмотрим подмодуль $A=\mathbb {R} [X],$

B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]

A , то есть подмодуль всех многочленов, делящихся на $X$ $2$ $+ 1 . Отсюда следует$ $,$ что отношение эквивалентности, определяемое этим модулем, будет

P (X) ~ Q (X)

тогда и только тогда, когда

P (X)

и

Q (X)

дают одинаковый остаток при делении на

X2

+ 1

.

Следовательно, в фактор-модуле $A / B$ , $X 2 + 1$ равно 0; поэтому можно рассматривать $A / B$ как полученное из ⁠ ⁠, $\mathbb {R} [X]$ установив $X 2 + 1 = 0.$ Этот фактор-модуль изоморфен комплексным числам , рассматриваемым как модуль над действительными числами ⁠ ⁠ $\mathbb {R} .$

Смотрите также

Ссылки

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
^ Роман, Стивен (2008). Расширенная линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. стр. 117. ISBN 978-0-387-72828-5.
^ Роман 2008, стр. 118 Теорема 4.7

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.

[2] Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

[3] Роман, Стивен (2008). Расширенная линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. стр. 117. ISBN 978-0-387-72828-5.

[4] Роман 2008, стр. 118 Теорема 4.7