Модуль дуализации

В абстрактной алгебре дуализирующий модуль , также называемый каноническим модулем , — это модуль над коммутативным кольцом , аналогичный каноническому расслоению гладкого многообразия . Он используется в локальной двойственности Гротендика .

Дуализирующий модуль для нётерова кольца R — это конечно порождённый модуль M, такой что для любого максимального идеала m векторное пространство R / m Ext ^н
_Р( R / m , M ) обращается в нуль, если n  ≠ height( m ), и является одномерным, если n  = height( m ).

Дуализирующий модуль не обязан быть уникальным, поскольку тензорное произведение любого дуализирующего модуля с проективным модулем ранга 1 также является дуализирующим модулем. Однако это единственный способ, при котором дуализирующий модуль не является уникальным: если даны любые два дуализирующих модуля, один изоморфен тензорному произведению другого с проективным модулем ранга 1. В частности, если кольцо локально, дуализирующий модуль уникален с точностью до изоморфизма.

Нётерово кольцо не обязательно имеет дуализирующий модуль. Любое кольцо с дуализирующим модулем должно быть кольцом Коэна–Маколея . И наоборот, если кольцо Коэна–Маколея является фактором кольца Горенштейна , то оно имеет дуализирующий модуль. В частности, любое полное локальное кольцо Коэна–Маколея имеет дуализирующий модуль. Для колец без дуализирующего модуля иногда можно использовать дуализирующий комплекс в качестве замены.

Если R — кольцо Горенштейна, то R, рассматриваемое как модуль над собой, является дуализирующим модулем.

Если R — артиново локальное кольцо , то модуль Матлиса кольца R (инъективная оболочка поля вычетов) является дуализирующим модулем.

Артиново локальное кольцо R  =  k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) имеет единственный дуализирующий модуль, но оно не изоморфно R .

Кольцо Z [ √ –5 ] имеет два неизоморфных дуализирующих модуля, соответствующих двум классам обратимых идеалов.

Локальное кольцо k [ x , y ]/( y ² , xy ) не является кольцом Коэна–Маколея, поэтому не имеет дуализирующего модуля.

• дуализирующий пучок

• Бурбаки, Н. (2007), Коммутативная алгебра. Глава 10 , Éléments de mathématique (на французском языке), Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-34394-3, г-н  2333539
• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, г-н  1251956