Глоссарий линейной алгебры

Этот глоссарий линейной алгебры представляет собой список определений и терминов, относящихся к области линейной алгебры — разделу математики, изучающему линейные уравнения и их представления в виде векторных пространств .

Для глоссария, связанного с обобщением векторных пространств с помощью модулей , см. глоссарий теории модулей .

аффинное преобразование

Композиция функций, состоящая из линейного преобразования между векторными пространствами, за которым следует трансляция. ^[1] Эквивалентно, функция между векторными пространствами, которая сохраняет аффинные комбинации.

аффинная комбинация

Линейная комбинация, в которой сумма коэффициентов равна 1.

основа

В векторном пространстве — линейно независимый набор векторов, охватывающий всё векторное пространство. ^[2]

базисный вектор

Элемент заданного базиса векторного пространства. ^[2]

вектор-столбец

Матрица с одним столбцом. ^[3]

координатный вектор

Кортеж координат вектора на базисе .

ковектор

Элемент двойственного пространства векторного пространства (то есть линейная форма), отождествляемый с элементом векторного пространства через скалярное произведение .

определитель

Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является дистрибутивной относительно умножения матриц, полилинейной по строкам и столбцам и принимает значение для единичной матрицы.${\displaystyle 1}$

диагональная матрица

Матрица, в которой только элементы на главной диагонали не равны нулю. ^[4]

измерение

Число элементов любого базиса векторного пространства. ^[2]

двойное пространство

Векторные пространства всех линейных форм на заданном векторном пространстве. ^[5]

элементарная матрица

Квадратная матрица, отличающаяся от единичной матрицы не более чем на один элемент

матрица идентичности

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны . ^[4]${\displaystyle 1}$

обратная матрица

Из матрицы , другая матрица такая, что умноженная на и умноженная на оба равняется единичной матрице. ^[4]${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$

изотропный вектор

В векторном пространстве с квадратичной формой — ненулевой вектор, для которого форма равна нулю.

изотропная квадратичная форма

Векторное пространство с квадратичной формой, имеющее нулевой вектор.

линейная алгебра

Раздел математики, изучающий векторы, векторные пространства, линейные преобразования и системы линейных уравнений.

линейная комбинация

Сумма, каждое из слагаемых которой представляет собой соответствующий вектор, умноженный на соответствующий скаляр (или элемент кольца). ^[6]

линейная зависимость

Линейная зависимость кортежа векторов — это ненулевой кортеж скалярных коэффициентов, для которого линейная комбинация равна .${\textstyle {\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}$${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\textstyle c_{1}{\vec {v}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {v}}_{n}}$${\textstyle {\vec {0}}}$

линейное уравнение

Полиномиальное уравнение первой степени (такое как ). ^[7]${\displaystyle x=2y-7}$

линейная форма

Линейное отображение векторного пространства в его скалярное поле ^[8]

линейная независимость

Свойство не быть линейно зависимым. ^[9]

линейная карта

Функция между векторными пространствами , которая учитывает сложение и скалярное умножение.

линейное преобразование

Линейное отображение, область определения и область определения которого равны; обычно предполагается, что оно обратимо .

матрица

Прямоугольное расположение чисел или других математических объектов . ^[4]

нулевой вектор

1. Другой термин для изотропного вектора.

2. Другой термин для нулевого вектора.

вектор-строка

Матрица, состоящая только из одной строки. ^[4]

разложение по сингулярным значениям

факторизация комплексной матрицы M как , где U — комплексная унитарная матрица , — прямоугольная диагональная матрица с неотрицательными действительными числами на диагонали, а V — комплексная унитарная матрица. ^[10]${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle \mathbf {\Сигма } }$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$

спектр

Набор собственных значений матрицы. ^[11]

квадратная матрица

Матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов. ^[4]

единичный вектор

вектор в нормированном векторном пространстве, норма которого равна 1, или евклидов вектор длины один. ^[12]

вектор

1. Направленная величина, имеющая как величину, так и направление.

2. Элемент векторного пространства. ^[13]

векторное пространство

Множество , элементы которого можно складывать и умножать на элементы поля ( это скалярное умножение ); множество должно быть абелевой группой относительно сложения, а скалярное умножение должно быть линейным отображением . ^[14]

нулевой вектор

Аддитивное тождество в векторном пространстве. В нормированном векторном пространстве это единственный вектор с нулевой нормой. В евклидовом векторном пространстве это единственный вектор с нулевой длиной. ^[15]

• Джеймс, Роберт С.; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (5-е изд.). Chapman and Hall. ISBN 978-0442007416.
• Бурбаки, Николя (1989). Алгебра I. Спрингер. ISBN 978-3540193739.
• Уильямс, Гарет (2014). Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.). Jones & Bartlett Learning.