Теорема Крулля–Шмидта
Математическая теорема

В математике теорема Крулля –Шмидта утверждает, что группа, подчиненная определенным условиям конечности на цепочках подгрупп , может быть единственным образом записана в виде конечного прямого произведения неразложимых подгрупп.

Определения

Мы говорим, что группа G удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи (ACC) для подгрупп, если каждая последовательность подгрупп группы G :

1 = Г 0 ≤ Г 1 ≤ Г 2 ≤ ⋯ {\displaystyle 1=G_{0}\leq G_{1}\leq G_{2}\leq \cdots \,}

в конечном итоге постоянна, т. е. существует N такое, что G N = G N +1 = G N +2  = ... . Мы говорим, что G удовлетворяет ACC для нормальных подгрупп, если каждая такая последовательность нормальных подгрупп G в конечном итоге становится постоянной.

Аналогично можно определить условие нисходящей цепи для (нормальных) подгрупп, рассматривая все убывающие последовательности (нормальных) подгрупп:

Г = Г 0 ≥ Г 1 ≥ Г 2 ≥ ⋯ . {\displaystyle G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq \cdots .\,}

Очевидно, что все конечные группы удовлетворяют как ACC, так и DCC на подгруппах. Бесконечная циклическая группа удовлетворяет ACC, но не DCC, поскольку (2) > (2) 2  > (2) 3  > ... — бесконечная убывающая последовательность подгрупп. С другой стороны, часть -кручения ( квазициклической p -группы ) удовлетворяет DCC, но не ACC. З {\displaystyle \mathbf {Z} } п ∞ {\displaystyle p^{\infty}} В / З {\displaystyle \mathbf {Q} /\mathbf {Z} }

Мы говорим , что группа G неразложима , если ее нельзя записать в виде прямого произведения нетривиальных подгрупп G = H  ×  K.

Заявление

Если — группа, удовлетворяющая как ACC, так и DCC на нормальных подгруппах, то существует ровно один способ записи в виде прямого произведения конечного числа неразложимых подгрупп . Здесь единственность означает, что прямые разложения на неразложимые подгруппы обладают свойством обмена. То есть: предположим, что — другое выражение как произведение неразложимых подгрупп. Тогда и есть переиндексация , удовлетворяющая Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G} Г 1 × Г 2 × ⋯ × Г к {\displaystyle G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{k}\,} Г {\displaystyle G} Г = ЧАС 1 × ЧАС 2 × ⋯ × ЧАС л {\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,} Г {\displaystyle G} к = л {\displaystyle к=л} ЧАС я {\displaystyle H_{i}}

  • Г я {\displaystyle G_{i}} и изоморфны для каждого ; ЧАС я {\displaystyle H_{i}} я {\displaystyle я}
  • Г = Г 1 × ⋯ × Г г × ЧАС г + 1 × ⋯ × ЧАС л {\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,} для каждого . г {\displaystyle r}

Доказательство

Доказательство существования относительно просто: пусть S будет множеством всех нормальных подгрупп, которые не могут быть записаны как произведение неразложимых подгрупп. Более того, любая неразложимая подгруппа является (тривиально) прямым произведением самой себя с одним членом, следовательно, разложима. Если Крулль-Шмидт терпит неудачу, то S содержит G ; поэтому мы можем итеративно построить убывающий ряд прямых множителей; это противоречит DCC. Затем можно инвертировать конструкцию, чтобы показать, что все прямые множители G появляются таким образом. [1]

Доказательство единственности, с другой стороны, довольно длинное и требует последовательности технических лемм. Для полного изложения см. [2].

Замечание

Теорема не утверждает существование нетривиального разложения, а лишь то, что любые два таких разложения (если они существуют) одинаковы.

Ремак разложение

Разложение Ремака , введенное Робертом Ремаком , [3] представляет собой разложение абелевой группы или подобного объекта в конечную прямую сумму неразложимых объектов. Теорема Крулля–Шмидта дает условия для существования разложения Ремака и для того, чтобы его факторы были единственными.

Теорема Крулля–Шмидта для модулей

Если — модуль , удовлетворяющий условиям ACC и DCC на подмодулях (то есть он одновременно и нётеров , и артинов или — что эквивалентно — имеет конечную длину ), то — прямая сумма неразложимых модулей . С точностью до перестановки неразложимые компоненты в такой прямой сумме определяются однозначно с точностью до изоморфизма. [4] Э ≠ 0 {\displaystyle E\neq 0} Э {\displaystyle E}

В общем случае теорема неверна, если только предположить, что модуль является нётеровым или артиновым. [5]

История

Современная теорема Крулля–Шмидта была впервые доказана Джозефом Веддерберном ( Ann. of Math (1909)) для конечных групп, хотя он упоминает, что некоторая заслуга принадлежит более раннему исследованию GA Miller , в котором рассматривались прямые произведения абелевых групп. Теорема Веддерберна сформулирована как свойство обмена между прямыми разложениями максимальной длины. Однако доказательство Веддерберна не использует автоморфизмы.

Тезис Роберта Ремака (1911) вывел тот же результат единственности, что и Веддерберн, но также доказал (в современной терминологии), что группа центральных автоморфизмов действует транзитивно на множестве прямых разложений максимальной длины конечной группы. Из этой более сильной теоремы Ремак также доказал различные следствия, включая то, что группы с тривиальным центром и совершенные группы имеют единственное разложение Ремака .

Отто Шмидт ( Sur les produits directs, SMF Bull. 41 (1913), 161–164) упростил основные теоремы Ремака до 3-страничного предшественника сегодняшних доказательств учебника. Его метод улучшает использование Ремаком идемпотентов для создания соответствующих центральных автоморфизмов. И Ремак, и Шмидт опубликовали последующие доказательства и следствия своих теорем.

Вольфганг Крулль ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161–196) вернулся к исходной проблеме GA Miller о прямых произведениях абелевых групп, расширив ее до абелевых операторных групп с условиями восходящей и нисходящей цепи. Чаще всего это формулируется на языке модулей. Его доказательство замечает, что идемпотенты, используемые в доказательствах Ремака и Шмидта, могут быть ограничены гомоморфизмами модулей; остальные детали доказательства в значительной степени не изменились.

О. Оре объединил доказательства из различных категорий, включая конечные группы, абелевы операторные группы, кольца и алгебры, доказав, что теорема Веддерберна об обмене справедлива для модулярных решеток с условиями нисходящей и восходящей цепи. Это доказательство не использует идемпотенты и не передоказывает транзитивность теорем Ремака.

Теория групп Куроша и Теория групп Цассенхауза включают доказательства Шмидта и Оре под именем Ремака–Шмидта, но признают Веддерберна и Оре. Более поздние тексты используют название Крулля–Шмидта ( Алгебра Хангерфорда) и Крулля–Шмидта– Азумая ( Кертиса–Рейнера). Имя Крулля–Шмидта теперь популярно заменяет любую теорему, касающуюся единственности прямых произведений максимального размера. Некоторые авторы предпочитают называть прямые разложения максимального размера разложениями Ремака, чтобы почтить его вклад.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Томас В. Хангерфорд (6 декабря 2012 г.). Алгебра. Springer Science & Business Media. стр. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8.
  2. ^ Хангерфорд 2012, стр. 86-8.
  3. ^ Ремак, Роберт (1911), «Über die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare Faktoren», Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 139 : 293–308, doi : 10.1515/crll.1911.139.293, ISSN  0075-4102, ЖФМ  42.0156.01
  4. ^ Якобсон, Натан (2009). Основы алгебры . Т. 2 (2-е изд.). Довер. стр. 115. ISBN 978-0-486-47187-7.
  5. ^ Факкини, Альберто; Гербера, Долорс; Леви, Лоуренс С.; Вамос, Питер (1 декабря 1995 г.). «Крулл-Шмидт не справляется с артиновыми модулями». Труды Американского математического общества . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .

Дальнейшее чтение

  • А. Факкини: Теория модулей. Кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей. Progress in Mathematics, 167. Birkhäuser Verlag, Базель, 1998. ISBN 3-7643-5908-0 
  • CM Ringel: Крулль–Ремак–Шмидт не работает для артиновых модулей над локальными кольцами. Алгебр. Теория представления 4 (2001), № 1, 77–86.
  • Страница на PlanetMath
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Крулля–Шмидта&oldid=1239054406"