Первичное разложение

В алгебре выражение идеала как пересечения идеалов определенного типа.

В математике теорема Ласкера –Нётер утверждает, что каждое нётерово кольцо является кольцом Ласкера , что означает, что каждый идеал может быть разложен в виде пересечения, называемого первичным разложением , конечного числа первичных идеалов (которые связаны со степенями простых идеалов , но не совсем совпадают с ними ). ​​Теорема была впервые доказана Эмануэлем Ласкером  (1905) для особого случая колец многочленов и колец сходящихся степенных рядов , а в полной общности была доказана Эмми Нётер  (1921).

Теорема Ласкера–Нётер является расширением основной теоремы арифметики и, в более общем смысле, основной теоремы конечно порождённых абелевых групп на все нётеровы кольца. Теорема играет важную роль в алгебраической геометрии , утверждая, что каждое алгебраическое множество может быть однозначно разложено в конечное объединение неприводимых компонент .

Он имеет прямое расширение на модули, утверждая, что каждый подмодуль конечно порождённого модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением первичных подмодулей. Это содержит случай колец как частный случай, рассматривая кольцо как модуль над собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает форму первичного разложения структурной теоремы для конечно порождённых модулей над областью главных идеалов , а для частного случая полиномиальных колец над полем это обобщает разложение алгебраического множества в конечное объединение (неприводимых) многообразий.

Первый алгоритм вычисления примарных разложений для колец многочленов над полем характеристики 0 [Примечание 1] был опубликован ученицей Нётер Гретой Германн  (1926). [1] [2] Разложение в общем случае не выполняется для некоммутативных нётеровых колец. Нётер привела пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, который не является пересечением примарных идеалов.

Первичное разложение идеала

Пусть — нётерово коммутативное кольцо. Идеал кольца называется первичным , если он является собственным идеалом и для каждой пары элементов и из , такой что входит в , либо некоторая степень входит в ; эквивалентно, каждый делитель нуля в частном нильпотентен. Радикал первичного идеала является простым идеалом и называется -первичным для . Р {\displaystyle R} я {\displaystyle Я} Р {\displaystyle R} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} Р {\displaystyle R} х у {\displaystyle xy} я {\displaystyle Я} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} я {\displaystyle Я} Р / я {\displaystyle Р/И} В {\displaystyle Q} В {\displaystyle Q} п {\displaystyle {\mathfrak {p}}} п = В {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}

Пусть — идеал в . Тогда имеет неизбыточное первичное разложение на первичные идеалы: я {\displaystyle Я} Р {\displaystyle R} я {\displaystyle Я}

я = В 1 В н   {\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\ } .

Избыточность означает:

  • Удаление любого из них изменяет пересечение, т.е. для каждого имеем: . В я {\displaystyle Q_{i}} я {\displaystyle я} дж я В дж В я {\displaystyle \cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}}
  • Все главные идеалы различны . В я {\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}

Более того, это разложение уникально в двух отношениях:

  • Множество однозначно определяется , и { В я я } {\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}} я {\displaystyle Я}
  • Если — минимальный элемент указанного выше множества, то однозначно определяется по ; фактически, является прообразом под картой локализации . п = В я {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}} В я {\displaystyle Q_{i}} я {\displaystyle Я} В я {\displaystyle Q_{i}} я Р п {\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}} Р Р п {\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}

Первичные идеалы, соответствующие неминимальным простым идеалам над , в общем случае не являются уникальными (см. пример ниже). О существовании разложения см. #Первичное разложение из ассоциированных простых чисел ниже. я {\displaystyle Я}

Элементы из называются простыми делителями или простыми числами , принадлежащими . На языке теории модулей, как обсуждается ниже, множество также является множеством ассоциированных простых чисел -модуля . Явно это означает, что существуют элементы в , такие что { В я я } {\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}} я {\displaystyle Я} я {\displaystyle Я} { В я я } {\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}} Р {\displaystyle R} Р / я {\displaystyle Р/И} г 1 , , г н {\displaystyle g_{1},\точки ,g_{n}} Р {\displaystyle R}

В я = { ф Р ф г я я } . {\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.} [3]

Для краткости некоторые авторы называют ассоциированное простое число просто ассоциированным простым числом (обратите внимание, что такая практика будет противоречить использованию в теории модулей). Р / я {\displaystyle Р/И} я {\displaystyle Я}

  • Минимальные элементы совпадают с минимальными простыми идеалами, содержащими и , называются изолированными простыми числами . { В я я } {\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}} я {\displaystyle Я}
  • С другой стороны, неминимальные элементы называются вложенными простыми числами .

В случае кольца целых чисел теорема Ласкера–Нётер эквивалентна основной теореме арифметики . Если целое число имеет разложение на простые множители , то первичное разложение идеала, порожденного в , равно З {\displaystyle \mathbb {Z} } н {\displaystyle n} н = ± п 1 г 1 п г г г {\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}} н {\displaystyle \langle n\rangle} н {\displaystyle n} З {\displaystyle \mathbb {Z} }

н = п 1 г 1 п г г г . {\displaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}

Аналогично, в области уникальной факторизации , если элемент имеет простую факторизацию, где — единица , то первичное разложение главного идеала , порожденное f = u p 1 d 1 p r d r , {\displaystyle f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},} u {\displaystyle u} f {\displaystyle f}

f = p 1 d 1 p r d r . {\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}

Примеры

Примеры раздела предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут показаться неожиданными или контринтуитивными. Все примеры являются идеалами в кольце полиномов над полем k .

Пересечение против продукта

Первичное разложение идеала имеет вид k [ x , y , z ] {\displaystyle k[x,y,z]} I = x , y z {\displaystyle I=\langle x,yz\rangle }

I = x , y z = x , y x , z . {\displaystyle I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .}

Из-за генератора степени один, I не является произведением двух больших идеалов. Похожий пример дан в двух неопределенностях

I = x , y ( y + 1 ) = x , y x , y + 1 . {\displaystyle I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .}

Первичная и основная мощность

В идеале это первичный идеал, который имеет как ассоциированный простой. Он не является степенью ассоциированного простого числа. k [ x , y ] {\displaystyle k[x,y]} x , y 2 {\displaystyle \langle x,y^{2}\rangle } x , y {\displaystyle \langle x,y\rangle }

Неуникальность и встроенное простое число

Для каждого положительного целого числа n первичное разложение идеала равно k [ x , y ] {\displaystyle k[x,y]} I = x 2 , x y {\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle }

I = x 2 , x y = x x 2 , x y , y n . {\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .}

Соответствующие простые числа:

x x , y . {\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .}

Пример: Пусть N  =  R  =  k [ xy ] для некоторого поля k , и пусть M будет идеалом ( xyy 2 ). Тогда M имеет два различных минимальных примарных разложения M = ( y ) ∩ ( x , y 2 ) = ( y ) ∩ ( x  +  yy 2 ). Минимальным простым числом является ( y ), а вложенным простым числом является ( xy ).

Неассоциированное простое число между двумя ассоциированными простыми числами

В идеале имеет (неединственное) первичное разложение k [ x , y , z ] , {\displaystyle k[x,y,z],} I = x 2 , x y , x z {\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle }

I = x 2 , x y , x z = x x 2 , y 2 , z 2 , x y , x z , y z . {\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .}

Ассоциированные простые идеалы являются и являются неассоциированным простым идеалом таким, что x x , y , z , {\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,} x , y {\displaystyle \langle x,y\rangle }

x x , y x , y , z . {\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .}

Сложный пример

За исключением очень простых примеров, первичное разложение может быть трудно вычисляемым и может иметь очень сложный вывод. Следующий пример был разработан для предоставления такого сложного вывода и, тем не менее, доступен для рукописных вычислений.

Позволять

P = a 0 x m + a 1 x m 1 y + + a m y m Q = b 0 x n + b 1 x n 1 y + + b n y n {\displaystyle {\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}}

— два однородных многочлена от x , y , коэффициенты которых являются многочленами от других неизвестных над полем k . То есть P и Q принадлежат и именно в этом кольце ищется первичное разложение идеала . Для вычисления первичного разложения мы сначала предполагаем , что 1 является наибольшим общим делителем P и Q . a 1 , , a m , b 0 , , b n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}} z 1 , , z h {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{h}} R = k [ x , y , z 1 , , z h ] , {\displaystyle R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],} I = P , Q {\displaystyle I=\langle P,Q\rangle }

Это условие подразумевает, что I не имеет первичного компонента высоты один. Поскольку I порождается двумя элементами, это подразумевает, что он является полным пересечением (точнее, он определяет алгебраическое множество , которое является полным пересечением), и, таким образом, все первичные компоненты имеют высоту два. Следовательно, ассоциированные простые числа I являются в точности простыми идеалами высоты два, которые содержат I .

Отсюда следует, что является ассоциированным простым числом I. x , y {\displaystyle \langle x,y\rangle }

Пусть будет однородным результирующим по x , y для P и Q. Поскольку наибольший общий делитель P и Q является константой, результирующий D не равен нулю, и результирующая теория подразумевает, что I содержит все произведения D на моном по x , y степени m + n – 1. Поскольку все эти мономы принадлежат первичному компоненту, содержащемуся в Этот первичный компонент содержит P и Q , и поведение первичных разложений при локализации показывает, что этот первичный компонент является D k [ z 1 , , z h ] {\displaystyle D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]} D x , y , {\displaystyle D\not \in \langle x,y\rangle ,} x , y . {\displaystyle \langle x,y\rangle .}

{ t | e , D e t I } . {\displaystyle \{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.}

Короче говоря, у нас есть первичный компонент с очень простым связанным с ним простым числом, все его порождающие наборы включают в себя все неопределенности. x , y , {\displaystyle \langle x,y\rangle ,}

Другой первичный компонент содержит D. Можно доказать, что если P и Q достаточно общие (например, если коэффициенты P и Q являются различными неизвестными), то существует только другой первичный компонент , который является простым идеалом и порождается P , Q и D.

Геометрическая интерпретация

В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество V ( I ) определяется как множество общих нулей идеала I кольца многочленов R = k [ x 1 , , x n ] . {\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}

Неизбыточное первичное разложение

I = Q 1 Q r {\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}}

I определяет разложение V ( I ) в объединение алгебраических множеств V ( Q i ) , которые неприводимы, поскольку не являются объединением двух меньших алгебраических множеств.

Если — ассоциированное простое число , то и теорема Ласкера–Нётер показывает, что V ( I ) имеет единственное несократимое разложение на неприводимые алгебраические многообразия P i {\displaystyle P_{i}} Q i {\displaystyle Q_{i}} V ( P i ) = V ( Q i ) , {\displaystyle V(P_{i})=V(Q_{i}),}

V ( I ) = V ( P i ) , {\displaystyle V(I)=\bigcup V(P_{i}),}

где объединение ограничено минимальными ассоциированными простыми числами. Эти минимальные ассоциированные простые числа являются первичными компонентами радикала I . По этой причине первичное разложение радикала I иногда называют первичным разложением I .

Компоненты первичного разложения (а также разложения алгебраического множества), соответствующие минимальным простым числам, называются изолированными , а остальные —встроенный .

Для разложения алгебраических многообразий интерес представляют только минимальные простые числа, но в теории пересечений и, в более общем плане, в теории схем полное первичное разложение имеет геометрический смысл.

Первичное разложение из ассоциированных простых чисел

В настоящее время общепринято делать первичное разложение идеалов и модулей в рамках теории ассоциированных простых чисел . В частности, влиятельный учебник Бурбаки « Коммутативная алгебра» использует этот подход.

Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. По определению, ассоциированный простой идеал — это простой идеал, который является аннулятором ненулевого элемента M ; то есть для некоторого (это подразумевает ). Эквивалентно, простой идеал — это ассоциированный простой элемент M , если существует инъекция R -модулей . p = Ann ( m ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)} m M {\displaystyle m\in M} m 0 {\displaystyle m\neq 0} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} R / p M {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M}

Можно показать, что максимальный элемент множества аннуляторов ненулевых элементов M является простым идеалом, и, таким образом, когда R — нётерово кольцо, существует ассоциированное простое число M тогда и только тогда, когда M ненулевое.

Множество ассоциированных простых чисел M обозначается через или . Прямо из определения, Ass R ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)} Ass ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}

  • Если , то . M = i M i {\displaystyle M=\bigoplus _{i}M_{i}} Ass ( M ) = i Ass ( M i ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})}
  • Для точной последовательности , . [4] 0 N M L 0 {\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0} Ass ( N ) Ass ( M ) Ass ( N ) Ass ( L ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}
  • Если R — нётерово кольцо, то где относится к носителю . [5] Кроме того, множество минимальных элементов совпадает с множеством минимальных элементов . [5] Ass ( M ) Supp ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)} Supp {\displaystyle \operatorname {Supp} } Ass ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (M)} Supp ( M ) {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}

Если M — конечно порождённый модуль над R , то существует конечная возрастающая последовательность подмодулей

0 = M 0 M 1 M n 1 M n = M {\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}

такой, что каждое частное M i / M i−1 изоморфно для некоторых простых идеалов , каждый из которых обязательно находится в носителе M . [6] Более того, каждое связанное простое число M встречается среди множества простых чисел ; т.е., R / p i {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}} p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}

Ass ( M ) { p 1 , , p n } Supp ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)} . [7]

(В общем случае эти включения не являются равенствами.) В частности, является конечным множеством, когда M конечно порождено. Ass ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}

Пусть — конечно порождённый модуль над нётеровым кольцом R , а N — подмодуль M. Если задано множество ассоциированных простых чисел , то существуют подмодули такие, что и M {\displaystyle M} Ass ( M / N ) = { p 1 , , p n } {\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}} M / N {\displaystyle M/N} Q i M {\displaystyle Q_{i}\subset M} Ass ( M / Q i ) = { p i } {\displaystyle \operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}

N = i = 1 n Q i . {\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.} [8] [9]

Подмодуль N модуля M называется -примарным , если . Подмодуль R -модуля R является -примарным как подмодуль тогда и только тогда, когда он является -примарным идеалом; таким образом, когда , указанное выше разложение является в точности примарным разложением идеала. p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} Ass ( M / N ) = { p } {\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} M = R {\displaystyle M=R}

Принимая , приведенное выше разложение говорит, что множество ассоциированных простых чисел конечно порожденного модуля M такое же, как и при (без конечной порожденности может быть бесконечно много ассоциированных простых чисел). N = 0 {\displaystyle N=0} { Ass ( M / Q i ) | i } {\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})|i\}} 0 = 1 n Q i {\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}

Свойства ассоциированных простых чисел

Пусть будет нётерово кольцо. Тогда R {\displaystyle R}

  • Множество делителей нуля на R совпадает с объединением ассоциированных простых чисел R (это связано с тем, что множество делителей нуля R является объединением множества аннигиляторов ненулевых элементов, максимальные элементы которых являются ассоциированными простыми числами). [10]
  • По той же причине объединение ассоциированных простых чисел R -модуля M есть в точности множество делителей нуля на M , то есть элемент r такой, что эндоморфизм не является инъективным. [11] m r m , M M {\displaystyle m\mapsto rm,M\to M}
  • Для данного подмножества M R -модуля существует подмодуль такой, что и . [ 12] Φ Ass ( M ) {\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)} N M {\displaystyle N\subset M} Ass ( N ) = Ass ( M ) Φ {\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi } Ass ( M / N ) = Φ {\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\Phi }
  • Пусть будет мультипликативным подмножеством, -модулем и множеством всех простых идеалов не пересекающихся . Тогда будет биекцией. [13] Также, . [14] S R {\displaystyle S\subset R} M {\displaystyle M} R {\displaystyle R} Φ {\displaystyle \Phi } R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} p S 1 p , Ass R ( M ) Φ Ass S 1 R ( S 1 M ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)} Ass R ( M ) Φ = Ass R ( S 1 M ) {\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)}
  • Любой простой идеал, минимальный относительно содержания идеала J, находится в Эти простые числа являются в точности изолированными простыми числами. A s s R ( R / J ) . {\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J).}
  • Модуль M над R имеет конечную длину тогда и только тогда, когда M конечно порожден и состоит из максимальных идеалов. [15] A s s ( M ) {\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}
  • Пусть — гомоморфизм колец между нётеровыми кольцами и F a B -модулем, который является плоским над A. Тогда для каждого A -модуля E , A B {\displaystyle A\to B}
Ass B ( E A F ) = p Ass ( E ) Ass B ( F / p F ) {\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)} . [16]

Не-нётеров случай

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы кольцо имело примарные разложения для своих идеалов.

Теорема  —  Пусть R — коммутативное кольцо. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

  1. Каждый идеал в R имеет первичное разложение.
  2. R обладает следующими свойствами:
    • (L1) Для каждого собственного идеала I и простого идеала P существует x из R - P такой, что ( I  : x ) является прообразом I R P при отображении локализации RR P .
    • (L2) Для каждого идеала I множество всех прообразов I S −1 R при отображении локализации RS −1 R , где S пробегает все мультипликативно замкнутые подмножества R , конечно.

Доказательство дано в главе 4 книги Атьи–Макдональда в виде серии упражнений. [17]

Для идеала, имеющего примарное разложение, имеет место следующая теорема единственности.

Теорема  —  Пусть R — коммутативное кольцо, а I — идеал. Предположим, что I имеет минимальное примарное разложение (примечание: «минимальное» подразумевает, что они различны). Тогда I = 1 r Q i {\displaystyle I=\cap _{1}^{r}Q_{i}} Q i {\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}

  1. Множество представляет собой множество всех простых идеалов в множестве . E = { Q i | 1 i r } {\displaystyle E=\left\{{\sqrt {Q_{i}}}|1\leq i\leq r\right\}} { ( I : x ) | x R } {\displaystyle \left\{{\sqrt {(I:x)}}|x\in R\right\}}
  2. Множество минимальных элементов E совпадает с множеством минимальных простых идеалов над I. Более того, первичный идеал, соответствующий минимальному простому P , является прообразом I R P и, таким образом, однозначно определяется I.

Теперь для любого коммутативного кольца R , идеала I и минимального простого числа P над I прообраз I R P при отображении локализации является наименьшим P -первичным идеалом, содержащим I . [18] Таким образом, в условиях предыдущей теоремы первичный идеал Q, соответствующий минимальному простому числу P, также является наименьшим P -первичным идеалом, содержащим I , и называется P -первичным компонентом I .

Например, если степень P n простого числа P имеет примарное разложение, то его P -примарный компонент является n символической степенью P .

Аддитивная теория идеалов

Этот результат является первым в области, которая теперь известна как аддитивная теория идеалов, которая изучает способы представления идеала как пересечения специального класса идеалов. Решение о "специальном классе", например, первичных идеалах, является проблемой само по себе. В случае некоммутативных колец класс третичных идеалов является полезной заменой класса первичных идеалов.

Примечания

  1. ^ Первичное разложение требует проверки неприводимости полиномов, что не всегда алгоритмически возможно в ненулевой характеристике.
  1. ^ Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina , ред. (2001). Applications of Algebraic Geometry to Coding Theory, Physics and Computing. Дордрехт: Springer Netherlands. ISBN 978-94-010-1011-5.
  2. ^ Герман, Г. (1926). «Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale». Mathematische Annalen (на немецком языке). 95 : 736–788 . doi : 10.1007/BF01206635. S2CID  115897210.
  3. ^ Другими словами, это идеальное отношение. Q i = ( I : g i ) {\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=(I:g_{i})}
  4. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, № 1, предложение 3.
  5. ^ аб Бурбаки, Гл. IV, § 1, № 3, следствие 1.
  6. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, № 4, Теорема 1.
  7. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, № 4, Теорема 2.
  8. Бурбаки, гл. IV, § 2, № 2. Теорема 1.
  9. ^ Вот доказательство существования разложения (по Бурбаки). Пусть M — конечно порождённый модуль над нётеровым кольцом R , а N — подмодуль. Чтобы показать, что N допускает примарное разложение, заменив M на , достаточно показать, что при . Теперь, M / N {\displaystyle M/N} N = 0 {\displaystyle N=0}
    0 = Q i = Ass ( Q i ) = Ass ( Q i ) {\displaystyle 0=\cap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})}
    где — первичные подмодули M . Другими словами, 0 имеет первичное разложение, если для каждого ассоциированного простого числа P из M существует первичный подмодуль Q такой, что . Теперь рассмотрим множество (которое непусто, поскольку в нем находится ноль). Множество имеет максимальный элемент Q, поскольку M — нётеров модуль. Если Q не является P -первичным, скажем, ассоциирован с , то для некоторого подмодуля Q' , что противоречит максимальности. Таким образом, Q является первичным, и доказательство завершено. Замечание: то же доказательство показывает, что если R , M , N все градуированы, то в разложении можно считать также градуированным. Q i {\displaystyle Q_{i}} P Ass ( Q ) {\displaystyle P\not \in \operatorname {Ass} (Q)} { N M | P Ass ( N ) } {\displaystyle \{N\subseteq M|P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}} P P {\displaystyle P'\neq P} M / Q {\displaystyle M/Q} R / P Q / Q {\displaystyle R/P'\simeq Q'/Q} Q i {\displaystyle Q_{i}}
  10. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, следствие 3.
  11. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, следствие 2.
  12. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, предложение 4.
  13. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 1, вып. 2, предложение 5.
  14. ^ Мацумура 1970, 7.C Лемма
  15. ^ Кон, П. М. (2003), Основы алгебры, Springer, Упражнение 10.9.7, стр. 391, ISBN 9780857294289.
  16. ^ Бурбаки, Ч. IV, § 2. Теорема 2.
  17. ^ Атья и Макдональд 1994
  18. ^ Атья и Макдональд 1994, Гл. 4. Упражнение 11

Ссылки

  • Атья, М. ; Макдональд, И.Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру . Эддисон–Уэсли . ISBN 0-201-40751-5.
  • Бурбаки, коммутативная алгебра
  • Данилов, В.И. (2001) [1994], «Кольцо Ласкера», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
  • Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, г-н  1322960, особенно раздел 3.3.
  • Герман, Грета (1926), «Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale», Mathematische Annalen (на немецком языке), 95 : 736–788 , doi : 10.1007/BF01206635, S2CID  115897210Английский перевод в Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
  • Ласкер, Э. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale", Math. Энн. , 60 : 20–116 , doi :10.1007/BF01447495, S2CID  120367750
  • Марков, В.Т. (2001) [1994], "Первичное разложение", Энциклопедия математики , EMS Press
  • Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
  • Нётер, Эмми (1921), «Идеальная теория в Ringbereichen», Mathematische Annalen , 83 (1): 24–66 , doi : 10.1007/BF01464225
  • Кертис, Чарльз (1952), «Об аддитивной теории идеалов в общих кольцах», American Journal of Mathematics , 74 (3), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 687–700 , doi :10.2307/2372273, JSTOR  2372273
  • Крулль, Вольфганг (1928), «Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen», Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 481–503 , doi : 10.1007/BF01181179, S2CID  122870138
  • «Первичное разложение все еще важно?». MathOverflow . 21 августа 2012 г.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Primary_decomposition&oldid=1183922687"