Алгебраически компактный модуль

Модуль такой, что бесконечные системы линейных уравнений могут быть решены путем решения конечных подсистем

В математике алгебраически компактные модули , также называемые чисто-инъективными модулями , — это модули , которые обладают определенным «хорошим» свойством, которое позволяет решать бесконечные системы уравнений в модуле финитными средствами. Решения этих систем допускают расширение определенных видов гомоморфизмов модулей . Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективным модулям , где можно расширить все гомоморфизмы модулей. Все инъективные модули алгебраически компактны, и аналогия между ними делается довольно точной с помощью вложения категорий.

Определения

Пусть $R —$ кольцо , а $M —$ левый $R$ -модуль. Рассмотрим систему бесконечного числа линейных уравнений

\sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i},

где оба множества $I$ и $J$ могут быть бесконечными, и для каждого $i$ число ненулевых чисел конечно. $m_{i}\in М,$ $r_{i,j}\in R$

Цель состоит в том, чтобы решить, имеет ли такая система решение , то есть существуют ли элементы $x j$ из $M$ , такие, что все уравнения системы одновременно удовлетворяются. (Не требуется, чтобы только конечное число $x j$ было ненулевым.)

Модуль M алгебраически компактен , если для всех таких систем, если каждая подсистема, образованная конечным числом уравнений, имеет решение, то вся система имеет решение. (Решения различных подсистем могут быть разными.)

С другой стороны, гомоморфизм модулей $M \to K$ является чистым вложением , если индуцированный гомоморфизм между тензорными произведениями $C \otimes M \to C \otimes K$ инъективен $для$ любого правого $R$ -модуля $C.$ Модуль $M$ является чисто-инъективным , если любой чисто-инъективный гомоморфизм $j$ $:$ M $\to$ $K$ расщепляется (то есть существует $f$ $:$ $K$ $\to$ $M$ с ). $f\circ j=1_{M}$

Оказывается, модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он чисто-инъективен.

Примеры

Все модули с конечным числом элементов алгебраически компактны.

Каждое векторное пространство алгебраически компактно (поскольку оно чисто-инъективно). В более общем случае, каждый инъективный модуль алгебраически компактен по той же причине.

Если R — ассоциативная алгебра с 1 над некоторым полем k , то каждый R -модуль с конечной k - размерностью алгебраически компактен. Это, вместе с тем фактом, что все конечные модули алгебраически компактны, приводит к интуитивному представлению, что алгебраически компактные модули — это те (возможно, «большие») модули, которые разделяют хорошие свойства «маленьких» модулей.

Группы Прюфера являются алгебраически компактными абелевыми группами (т.е. Z -модулями). Кольцо p -адических целых чисел для каждого простого p алгебраически компактно и как модуль над собой, и как модуль над Z . Рациональные числа алгебраически компактны как Z -модуль. Вместе с неразложимыми конечными модулями над Z это полный список неразложимых алгебраически компактных модулей.

Многие алгебраически компактные модули могут быть получены с использованием инъективного когенератора Q / Z абелевых групп. Если H — правый модуль над кольцом R , то образуется (алгебраический) модуль характеров H * , состоящий из всех групповых гомоморфизмов из H в Q / Z . Тогда это левый R -модуль, и *-операция дает точный контравариантный функтор из правых R -модулей в левые R -модули. Каждый модуль вида H * алгебраически компактен. Кроме того, существуют чисто инъективные гомоморфизмы H → H **, естественные в H . Часто можно упростить задачу, сначала применив *-функтор, поскольку с алгебраически компактными модулями проще иметь дело.

Факты

Следующее условие эквивалентно тому, что M является алгебраически компактным:

^Для каждого набора индексов I отображение сложения M ^(I) → M можно расширить до гомоморфизма модулей MI → M (здесь M ^(I) обозначает прямую сумму копий M , по одной для каждого элемента I ; MI ^{обозначает} произведение копий M , по одной для каждого элемента I ).

Каждый неразложимый алгебраически компактный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов .

Алгебраически компактные модули обладают многими другими свойствами, общими с инъективными объектами, по следующим причинам: существует вложение R -Mod в категорию Гротендика G, при котором алгебраически компактные R -модули в точности соответствуют инъективным объектам в G .

Каждый R -модуль элементарно эквивалентен алгебраически компактному R -модулю и прямой сумме неразложимых алгебраически компактных R -модулей. ^[1]

Ссылки

^ Prest, Mike (1988). Теория моделей и модули . Серия заметок лекций Лондонского математического общества: Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1.

CU Jensen и H. Lenzing: Теоретическая модель алгебры , Гордон и Брич, 1989

[1] Prest, Mike (1988). Теория моделей и модули . Серия заметок лекций Лондонского математического общества: Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1.