Глоссарий теории категорий

Это глоссарий свойств и понятий теории категорий в математике . (см. также Очерк теории категорий .)

• Заметки об основах : Во многих изложениях (например, Вистоли) игнорируются вопросы теории множеств; это означает, например, что не проводится различие между малыми и большими категориями и что можно произвольно формировать локализацию категории. ^[1] Как и эти изложения, этот глоссарий также обычно игнорирует вопросы теории множеств, за исключением случаев, когда они имеют отношение к делу (например, обсуждение доступности).

В теории категорий, особенно для высших категорий, также используются понятия из алгебраической топологии. Для этого см. также глоссарий алгебраической топологии .

В статье используются следующие обозначения и условные обозначения:

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n }, что рассматривается как категория (записывается как .)${\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}$
• Cat — категория (малых) категорий , где объектами являются категории (малые по отношению к некоторой вселенной) и функторы морфизмов .
• Fct ( C , D ), категория функторов : категория функторов из категории C в категорию D .
• Набор , категория (малых) наборов.
• s Множество , категория симплициальных множеств .
• «weak» вместо «strict» присваивается статус по умолчанию; например, « n -category» по умолчанию означает «weak n -category», а не «strict».
• Под ∞-категорией мы подразумеваем квазикатегорию , наиболее популярную модель, если только не обсуждаются другие модели.
• Число ноль 0 является натуральным числом.

абелев

Категория является абелевой, если она имеет нулевой объект, имеет все выталкивания и подтягивания, а все мономорфизмы и эпиморфизмы являются нормальными.

доступный

1. При заданном кардинальном числе κ объект X в категории является κ-достижимым (или κ-компактным, или κ-представимым), если он коммутирует с κ-фильтрованными копределами.${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

2. При заданном регулярном кардинале κ категория является κ-доступной , если она имеет κ-фильтрованные копределы и существует небольшое множество S κ-компактных объектов, которое порождает категорию относительно копределов, то есть каждый объект может быть записан как копредел диаграмм объектов в S.

добавка

Категория является аддитивной, если она предаддитивна (точнее, имеет некоторую предаддитивную структуру) и допускает все конечные копроизведения . Хотя «предаддитивность» является дополнительной структурой, можно показать, что «аддитивность» является свойством категории; т. е. можно спросить, является ли данная категория аддитивной или нет. ^[2]

присоединение

Сопряжение (также называемое сопряженной парой) — это пара функторов F : C → D , G : D → C такая , что существует «естественная» биекция

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))}$;

Говорят, что F является левым сопряженным к G , а G — правым сопряженным к F. Здесь «естественный» означает, что существует естественный изоморфизм бифункторов (которые контравариантны по первой переменной).${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}$

алгебра для монады

Если задана монада T в категории X , то алгебра для T или T -алгебра — это объект в X с моноидным действием T ( «алгебра» вводит в заблуждение, а « T -объект», возможно, более подходящий термин). Например, если задана группа G , которая определяет монаду T в Set стандартным способом, то T -алгебра — это множество с действием G.

амнезиак

Функтор является амнестическим, если он обладает следующим свойством: если k — изоморфизм и F ( k ) — тождество, то k — тождество.

сбалансированный

Категория сбалансирована , если каждый биморфизм (т. е. как моно, так и эпи) является изоморфизмом.

Теорема Бека

Теорема Бека характеризует категорию алгебр для данной монады .

бикатегория

Бикатегория — это модель слабой 2-категории .

бифунктор

Бифунктор из пары категорий C и D в категорию E — это функтор C × D → E. Например, для любой категории C есть бифунктор из C ^op и C в Set .${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}$

бимоноидальный

Бимоноидальная категория — это категория с двумя моноидальными структурами, одна из которых распределяется по другой.

биморфизм

Биморфизм — это морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом.

локализация Боусфилда

См. локализацию Боусфилда .

исчисление функторов

Исчисление функторов — это метод изучения функторов, аналогичный тому, как функция изучается с помощью ее разложения в ряд Тейлора ; отсюда и термин «исчисление».

декартово закрыто

Категория является декартово замкнутой , если она имеет конечный объект и любые два объекта имеют произведение и экспоненту.

декартов функтор

Для относительных категорий над одной и той же базовой категорией C функтор над C является декартовым, если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы.${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$${\displaystyle f:F\to G}$

декартов морфизм

1. Для заданного функтора π: C → D (например, предстек над схемами) морфизм f : x → y в C является π-декартовым , если для каждого объекта z в C , каждого морфизма g : z → y в C и каждого морфизма v : π( z ) → π( x ) в D такого, что π( g ) = π( f ) ∘ v , существует единственный морфизм u : z → x такой, что π( u ) = v и g = f ∘ u .

2. Для заданного функтора π: C → D (например, предстек над кольцами) морфизм f : x → y в C является π-кодекартовым , если для каждого объекта z в C , каждого морфизма g : x → z в C и каждого морфизма v : π( y ) → π( z ) в D такого, что π( g ) = v ∘ π( f ), существует единственный морфизм u : y → z такой, что π( u ) = v и g = u ∘ f . (Короче говоря, f является двойственным к π-декартову морфизму.)

декартов квадрат

Коммутативная диаграмма, изоморфная диаграмме, заданной как расслоенное произведение.

категориальная логика

Категориальная логика — это подход к математической логике , использующий теорию категорий.

категориальная вероятность

категориальная вероятность

категоризация

Категоризация — это процесс замены множеств и теоретико-множественных понятий категориями и теоретико-категорными понятиями некоторым нетривиальным способом для захвата категориальных ароматов. Декатегоризирование — это обратная категоризации операция.

Теория категорий возникла ... из-за необходимости проведения сложных вычислений, включающих переход к пределу при изучении качественного скачка от пространств к гомотопическим/гомологическим объектам. ... Но теория категорий не довольствуется простой классификацией в духе вольфианской метафизики (хотя некоторые из ее практиков могут делать это); скорее, именно изменчивость математически точных структур (посредством морфизмов) является существенным содержанием теории категорий.

Уильям Ловер, ^[3]

категория

Категория состоит из следующих данных

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y , множество , элементы которого называются морфизмами из X в Y ,${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z создается карта (называемая композицией)

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f}$,

4. Для каждого объекта X тождественный морфизм${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

при соблюдении условий: для любых морфизмов , и ,${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle h:Z\to W}$

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$и .${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$

Например, частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию: объекты являются элементами множества, и для каждой пары объектов x , y существует уникальный морфизм тогда и только тогда, когда ; ассоциативность композиции означает транзитивность.${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\leq y}$

категория

1. Категория (малых) категорий , обозначаемая Cat , — это категория, в которой объектами являются все категории, являющиеся малыми относительно некоторой фиксированной вселенной, а морфизмами — все функторы .

2.   Категория модулей , Категория топологических пространств , Категория групп , Категория метрических пространств и т.д.

классифицирующее пространство

Классифицирующее пространство категории C является геометрической реализацией нерва C.

со-

Часто используется как синоним op-; например, копредел относится к op-пределу в том смысле, что это предел в противоположной категории. Но может быть различие; например, op-волокно — это не то же самое, что коволокно .

монада коденсити

Монада коденсити .

коенд

Конец функтора является двойственным к концу F и обозначается как${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$.

Например, если R — кольцо, M — правый R -модуль, а N — левый R - модуль, то тензорное произведение M и N равно

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

где R рассматривается как категория с одним объектом , морфизмы которого являются элементами R.

соуравнитель

Коуравнитель пары морфизмов — это копредел пары. Он является двойственным к уравнителю.${\displaystyle f,g:A\to B}$

теорема о когерентности

Теорема когерентности — это теорема, утверждающая, что слабая структура эквивалентна строгой структуре.

последовательный

1. Последовательная категория (на данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category).

2. Последовательный топос .

сплоченный

сплоченная категория.

коизображение

Кообраз морфизма f : X → Y является коуравнителем .${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$

цветной операд

Другой термин для мультикатегории , обобщенной категории, где морфизм может иметь несколько доменов. Понятие «цветная операда» более примитивно, чем понятие операда: на самом деле операда может быть определена как цветная операда с одним объектом.

запятая

При наличии функторов категория запятой — это категория, в которой (1) объекты являются морфизмами и (2) морфизм из в состоит из и такой, что Например , если f — тождественный функтор, а g — постоянный функтор со значением b , то это категория среза B над объектом b .${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$ ${\displaystyle (f\downarrow g)}$${\displaystyle f(c)\to g(d)}$${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle d\to d'}$${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$

комонада

Комонада в категории X — это комоноид в моноидальной категории эндофункторов X.

компактный

Вероятно, синоним слова #доступный.

полный

Категория является полной, если существуют все малые пределы.

полнота

Теорема Делиня о полноте; см. [1].

состав

1. Композиция морфизмов в категории является частью данных, определяющих категорию.

2. Если — функторы, то композиция или — это функтор, определяемый следующим образом: для объекта x и морфизма u в C , .${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$

3. Естественные преобразования составляются поточечно: если — естественные преобразования, то — естественное преобразование, заданное формулой .${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$${\displaystyle \psi \circ \varphi}$${\displaystyle (\psi \circ \varphi)_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$

вычислить

вычислено .

конкретный

Конкретная категория C — это категория, такая что существует точный функтор из C в Set ; например, Vec , Grp и Top .

конус

Конус — это способ выражения универсального свойства копредела (или, дуально, предела). Можно показать ^{[4] ,} что копредел — это левый сопряженный к диагональному функтору , который отправляет объект X в постоянный функтор со значением X ; то есть для любого X и любого функтора ,${\displaystyle \varinjlim}$${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$${\displaystyle f:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

при условии , что рассматриваемый копредел существует. Правая сторона тогда представляет собой множество конусов с вершиной X. ^[5]

подключен

Категория называется связной , если для каждой пары объектов x , y существует конечная последовательность объектов z _i такая, что и либо , либо непусто для любого i .${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$

консервативный функтор

Консервативный функтор — это функтор, который отражает изоморфизмы. Многие забывающие функторы консервативны, но забывающий функтор из Top в Set не консервативен.

постоянный

Функтор является постоянным , если он отображает каждый объект в категории в тот же объект A , а каждый морфизм — в тождество на A. Другими словами, функтор является постоянным, если он факторизуется следующим образом: для некоторого объекта A в D , где i — включение дискретной категории { A }.${\displaystyle f:C\to D}$${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$

контравариантный функтор

Контравариантный функтор F из категории C в категорию D — это (ковариантный) функтор из C ^op в D . Иногда его также называют предпучком , особенно когда D — это Set или варианты. Например, для каждого множества S пусть будет множеством мощности S и для каждой функции определите${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$${\displaystyle f:S\to T}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

отправив подмножество A из T в прообраз . При этом является контравариантным функтором.${\displaystyle f^{-1}(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

копродукт

Копроизведение семейства объектов X _i в категории C, индексированной множеством I, является индуктивным пределом функтора , где I рассматривается как дискретная категория. Это двойственное произведение семейства. Например, копроизведение в Grp является свободным произведением .${\displaystyle \varinjlim }$${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$

основной

Ядром категории является максимальный группоид, содержащийся в данной категории.

Дневная свертка

Для группы или моноида M свертка Дэя является тензорным произведением в . ^[6]${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$

Дендроидный

Дендроидный набор .

теорема плотности

Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок (контравариантный функтор со множеством значений) является копределом представимых предпучков. Лемма Йонеды вкладывает категорию C в категорию предпучков на C. Теорема плотности затем утверждает, что образ является «плотным», так сказать. Название «плотность» происходит из-за аналогии с теоремой плотности Джекобсона (или другими вариантами) в абстрактной алгебре.

диагональный функтор

Для категорий I , C диагональный функтор — это функтор

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

который отправляет каждый объект A в постоянный функтор со значением A , а каждый морфизм — в естественное преобразование, которое равно f при каждом i .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$

диаграмма

Для данной категории C диаграмма в C является функтором из малой категории I.${\displaystyle f:I\to C}$

дифференциальная градуированная категория

Дифференциально градуированная категория — это категория, чьи Hom-множества снабжены структурами дифференциально градуированных модулей . В частности, если категория имеет только один объект, она является той же, что и дифференциально градуированный модуль.

прямой предел

Прямой предел — это копредел прямой системы .

дискретный

Категория является дискретной , если каждый морфизм является тождественным морфизмом (некоторого объекта). Например, множество можно рассматривать как дискретную категорию.

распределитель

Другое название «профунктора».

Эквивалентность Дуайера–Кана

Эквивалентность Дуайера–Кана является обобщением эквивалентности категорий на симплициальный контекст. ^[7]

Элементарная теория категории множеств

Элементарная теория категории множеств . Ссылка является перенаправлением; на данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS.

Категория Эйленберга–Мура

Другое название категории алгебр для данной монады .

пустой

Пустая категория — это категория без объекта. Это то же самое, что и пустое множество , когда пустое множество рассматривается как дискретная категория.

конец

Конец функтора — это предел${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

где есть категория (называемая подразделяемой категорией C ), чьи объекты являются символами для всех объектов c и всех морфизмов u в C и чьи морфизмы являются и если и где индуцируется F так, что перейдет в и перейдет в . Например, для функторов ,${\displaystyle C^{\#}}$${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$${\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$${\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$${\displaystyle u:b\to c}$${\displaystyle F^{\#}}$${\displaystyle c^{\#}}$${\displaystyle F(c,c)}$${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$${\displaystyle F(b,c)}$${\displaystyle F,G:C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

— это набор естественных преобразований из F в G. Для получения дополнительных примеров см. эту ветку mathoverflow. Двойственный элемент конца — это коконец.

эндофунктор

Функтор между одной и той же категорией.

обогащенная категория

Если задана моноидальная категория ( C , ⊗, 1), то категория, обогащенная над C , неформально является категорией, чьи множества Hom находятся в C . Точнее, категория D, обогащенная над C, является данными, состоящими из

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y в D , объект в C , называемый объектом отображения из X в Y ,${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z в D , морфизм в C ,

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)}$,

   называется составом,

4. Для каждого объекта X в D , морфизм в C , называемый единичным морфизмом X${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$

при условии, что (грубо говоря) композиции ассоциативны, а единичные морфизмы действуют как мультипликативная идентичность. Например, категория, обогащенная по множествам, является обычной категорией.

эпиморфизм

Морфизм f является эпиморфизмом, если всякий раз, когда . Другими словами, f является двойственным к мономорфизму.${\displaystyle g=h}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$

эквалайзер

Уравнитель пары морфизмов — это предел пары. Он является двойственным к соуравнителю.${\displaystyle f,g:A\to B}$

эквивалентность

1. Функтор является эквивалентностью , если он точный, полный и существенно сюръективный.

2. Морфизм в ∞-категории C является эквивалентностью , если он задает изоморфизм в гомотопической категории C.

эквивалент

Категория эквивалентна другой категории, если между ними существует эквивалентность .

по существу сюръективный

Функтор F называется существенно сюръективным (или изоморфно-плотным), если для каждого объекта B существует объект A такой, что F ( A ) изоморфен B .

оценка

При наличии категорий C , D и объекта A в C оценка в A является функтором

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

Например, аксиомы Эйленберга–Стинрода дают пример, когда функтор является эквивалентностью.

точный

1. Точная последовательность — это, как правило, последовательность (от произвольных отрицательных целых чисел до произвольных положительных целых чисел) отображений

${\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }$

так что образ является ядром . Понятие можно обобщить различными способами.${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i+1}}$

2. Короткая точная последовательность — это последовательность вида .${\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}$

верный

Функтор является точным , если он инъективен при ограничении каждым hom-множеством .

фундаментальная категория

Функтор фундаментальной категории является левым сопряженным к функтору нерва N. Для каждой категории C , .${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$

фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид комплекса Кана X — это категория, в которой объект — это 0-симплекс (вершина) , морфизм — гомотопический класс 1-симплекса (путь) , а композиция определяется свойством Кана.${\displaystyle \Pi _{1}X}$${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$

волокнистая категория

Говорят, что функтор π: C → D демонстрирует C как категорию, расслоенную над D , если для каждого морфизма g : x → π( y ) в D существует π-декартов морфизм f : x' → y в C такой, что π( f ) = g . Если D — категория аффинных схем (скажем, конечного типа над некоторым полем), то π чаще называют предстеком . Примечание : π часто является забывающим функтором, и на самом деле конструкция Гротендика подразумевает, что каждая расслоенная категория может быть принята в этой форме (с точностью до эквивалентностей в подходящем смысле).

волокнистый продукт

При наличии категории C и множества I , послойное произведение над объектом S семейства объектов X _i в C , индексированного I , является произведением семейства в категории среза C над S (при условии , что есть ). Послойное произведение двух объектов X и Y над объектом S обозначается и также называется декартовым квадратом .${\displaystyle C_{/S}}$${\displaystyle X_{i}\to S}$${\displaystyle X\times _{S}Y}$

отфильтровано

1. Фильтрованная категория (также называемая фильтрантной категорией) — это непустая категория со свойствами (1) для данных объектов i и j существуют объект k и морфизмы i → k и j → k и (2) для данных морфизмов u , v : i → j существуют объект k и морфизм w : j → k такие, что w ∘ u = w ∘ v . Категория I фильтруется тогда и только тогда, когда для каждой конечной категории J и функтора f : J → I множество непусто для некоторого объекта i из I .${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

2. При заданном кардинальном числе π категория называется π-фильтрантной, если для каждой категории J, множество морфизмов которой имеет кардинальное число строго меньше π, множество непусто для некоторого объекта i из I.${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

конечная монада

Финитарная монада или алгебраическая монада — это монада на Set , базовый эндофунктор которой коммутирует с фильтрованными копределами.

конечный

Категория конечна, если она имеет лишь конечное число морфизмов.

забывчивый функтор

Забывающий функтор — это, грубо говоря, функтор, который теряет некоторые данные объектов; например, функтор , который переводит группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в себя, является забывающим функтором.${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$

свободная категория

свободная категория

бесплатное завершение

свободное завершение , свободное совместное завершение .

свободный функтор

Свободный функтор — это левый сопряженный к забывающему функтору. Например, для кольца R функтор, который отправляет множество X в свободный R -модуль, порожденный X, является свободным функтором (отсюда и название).

Категория Фробениуса

Категория Фробениуса — это точная категория , которая имеет достаточно инъективных и проективных объектов, и такая, что класс инъективных объектов совпадает с классом проективных объектов.

Категория Фукая

См. категорию Фукая .

полный

1. Функтор является полным , если он сюръективен при ограничении каждым hom-множеством .

2. Категория A является полной подкатегорией категории B, если функтор включения из A в B является полным.

функтор

При наличии категорий C , D , функтор F из C в D является сохраняющим структуру отображением из C в D ; т. е. он состоит из объекта F ( x ) в D для каждого объекта x в C и морфизма F ( f ) в D для каждого морфизма f в C , удовлетворяющего условиям: (1) всякий раз, когда определено и (2) . Например, ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$,

где — множество степеней S — функтор, если мы определим: для каждой функции , через .${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$

категория функтора

Категория функторов Fct ( C , D ) или из категории C в категорию D — это категория, где объектами являются все функторы из C в D , а морфизмами — все естественные преобразования между функторами.${\displaystyle D^{C}}$

Теорема Габриэля–Попеску

Теорема Габриэля –Попеску утверждает, что абелева категория является частным категории модулей.

категория Галуа

1. В SGA 1 , Exposé V (Определение 5.1.) категория называется категорией Галуа , если она эквивалентна категории конечных G -множеств для некоторой проконечной группы G .

2. По техническим причинам некоторые авторы (например, проект Stacks ^[8] или ^[9] ) используют несколько иные определения.

генератор

В категории C семейство объектов является системой генераторов C , если функтор консервативен. Его двойственный функтор называется системой когенераторов.${\displaystyle G_{i},i\in I}$${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$

обобщенный

обобщенное метрическое пространство .

Серый

1. Тензорное произведение Грея является нестрогим аналогом декартова произведения. ^[10]

2. Категория Грея — это определенная полустрогая 3-категория; см. https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category

большой топос

Понятие большого топоса (топологического пространства) принадлежит Жану Жиро .

Теория Галуа Гротендика

Теоретико-категорное обобщение теории Галуа ; см. Теорию Галуа Гротендика .

категория Гротендик

Категория Гротендика — это определенный благопристойный вид абелевой категории.

Строительство Гротендик

Для данного функтора пусть D _U будет категорией, где объекты являются парами ( x , u ), состоящими из объекта x в C и объекта u в категории U ( x ), а морфизм из ( x , u ) в ( y , v ) является парой, состоящей из морфизма f : x → y в C и морфизма U ( f )( u ) → v в U ( y ). Переход от U к D _U тогда называется конструкцией Гротендика .${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$

волокнистость Гротендика

Волокнистая категория .

группоид

1. Категория называется группоидом , если каждый морфизм в ней является изоморфизмом.

2. ∞-категория называется ∞-группоидом , если каждый морфизм в ней является эквивалентностью (или, что эквивалентно, если она является комплексом Кана ).

Алгебра Холла категории

См. алгебру Рингеля–Холла .

сердце

Сердцем t -структуры ( , ) на триангулированной категории является пересечение . Это абелева категория.${\displaystyle D^{\geq 0}}$${\displaystyle D^{\leq 0}}$${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$

Теория высшей категории

Теория высших категорий — это подраздел теории категорий, занимающийся изучением n -категорий и ∞-категорий .

гомологическая размерность

Гомологическая размерность абелевой категории с достаточным количеством инъективов — это наименьшее неотрицательное целое число n, такое, что каждый объект в категории допускает инъективное разрешение длины не более n . Размерность равна ∞, если такого целого числа не существует. Например, гомологическая размерность Mod _R с областью главных идеалов R не превышает единицы.

гомотопическая категория

См. гомотопическая категория . Она тесно связана с локализацией категории .

гипотеза гомотопии

Гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоид является пространством (менее двусмысленно, n -группоид может быть использован как гомотопический n -тип).

идемпотентный

Эндоморфизм f является идемпотентным, если .${\displaystyle f\circ f=f}$

личность

1. Тождественный морфизм f объекта A — это морфизм из A в A такой, что для любых морфизмов g с областью определения A и h с областью определения A и .${\displaystyle g\circ f=g}$${\displaystyle f\circ h=h}$

2. Тождественный функтор в категории C — это функтор из C в C , который переводит объекты и морфизмы в самих себя.

3. Для заданного функтора F : C → D тождественное естественное преобразование из F в F является естественным преобразованием, состоящим из тождественных морфизмов F ( X ) в D для объектов X в C .

изображение

Образ морфизма f : X → Y является уравнителем .${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$

инд-лимит

Копредел (или индуктивный предел) в .${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

индуктивный предел

Другое название для colimit .

∞-категория

∞-категория получается из категории путем замены класса/множества объектов и морфизмов на пространства объектов и морфизмов. Точнее, ∞-категория C — это симплициальное множество, удовлетворяющее следующему условию: для каждого 0 < i < n ,

• каждая карта симплициальных множеств продолжается до n -симплекса${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

где Δ ⁿ — стандартный n -симплекс, полученный из Δ ⁿ удалением i -й грани и внутренности (см. Kan fibration#Definitions ). Например, нерв категории удовлетворяет условию и, таким образом, может рассматриваться как ∞-категория.${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$

(∞, n )-категория

(∞, n)-категория получается из ∞-категории заменой пространства морфизмов на (∞, n - 1)-категорию морфизмов. ^[11]

исходный

1. Объект A является начальным , если существует ровно один морфизм из A в каждый объект; например, пустое множество в Set .

2. Объект A в ∞-категории C является начальным, если он стягиваем для каждого объекта B из C.${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$

инъекционный

1. Объект A в абелевой категории инъективен, если функтор точен. Он является двойственным к проективному объекту.${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$

2. Термин «инъективный предел» — это другое название прямого предела .

внутренний Хом

Для моноидальной категории ( C , ⊗) внутренний Hom — это функтор такой, что является правым сопряженным к для каждого объекта Y из C . Например, категория модулей над коммутативным кольцом R имеет внутренний Hom, заданный как , множество R -линейных отображений.${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$${\displaystyle [Y,-]}$${\displaystyle -\otimes Y}$${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

обратный

1. Морфизм f является обратным к морфизму g, если определен и равен тождественному морфизму на области определения g , и определен и равен тождественному морфизму на области определения g . Обратный к g является уникальным и обозначается g ⁻¹ . f является левым обратным к g, если определен и равен тождественному морфизму на области определения g , и аналогично для правого обратного.${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f\circ g}$

2. Обратный предел — это предел обратной системы .

Исбелл

1.   Двойственность Исбелла / сопряженность Исбелла

2.   Завершение Исбелла .

3. Конверт Isbell.

изоморфный

1. Объект изоморфен другому объекту, если между ними существует изоморфизм.

2. Категория изоморфна другой категории, если между ними существует изоморфизм.

изоморфизм

Морфизм f является изоморфизмом , если существует обратный к f .

комплекс Кан

Комплекс Кана — фибрантный объект в категории симплициальных множеств.

Расширение Кан

1. Для данной категории C левый функтор расширения Кана вдоль функтора является левым сопряженным (если он существует) к и обозначается как . Для любого функтор называется левым расширением Кана α вдоль f . ^[12] Можно показать:${\displaystyle f:I\to J}$${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle \alpha :I\to C}$${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

где колимит пробегает все объекты в категории запятая.${\displaystyle f(i)\to j}$

2. Правый функтор расширения Кана является правым сопряженным (если он существует) к .${\displaystyle f^{*}}$

Лемма Кена Брауна

Лемма Кена Брауна — это лемма в теории модельных категорий.

Категория Клейсли

Для монады T категория Клейсли монады T является полной подкатегорией категории T -алгебр (называемой категорией Эйленберга–Мура), которая состоит из свободных T -алгебр.

слабый

Нестрогий функтор — это обобщение псевдофунктора , в котором структурные преобразования, связанные с композицией и тождествами, не обязаны быть обратимыми.

длина

Говорят, что объект в абелевой категории имеетконечная длина, если она имеет серию композиции . Максимальное количество собственных подобъектов в любой такой серии композиции называется длиной A. ^[13 ]

предел

1. Предел (или проективный предел ) функтора равен${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2. Предел функтора — это объект, если таковой имеется в C , который удовлетворяет: для любого объекта X в C , ; т. е. это объект, представляющий функтор${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3. Колимп (или индуктивный предел ) является двойственным к пределу; т. е., если задан функтор , он удовлетворяет: для любого X , . Явно, дать означает дать семейство морфизмов, такое что для любого , равно . Возможно, простейшим примером колимп является коуравнитель . Для другого примера возьмем f в качестве тождественного функтора на C и предположим, что существует; тогда тождественный морфизм на L соответствует совместимому семейству морфизмов, такому что является тождественным. Если — любой морфизм, то ; т. е. L — конечный объект C .${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f:I\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$${\displaystyle f(i)\to X}$${\displaystyle i\to j}$${\displaystyle f(i)\to X}$${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$${\displaystyle \alpha _{L}}$${\displaystyle f:X\to L}$${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$

Состояние Миттаг-Леффлера

Говорят, что обратная система удовлетворяет условию Миттаг -Леффлера , если для каждого целого числа существует целое число такое, что для каждого изображения и совпадают.${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle l\geq m}$${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$

монада

Монада в категории X — это моноидный объект в моноидальной категории эндофункторов X с моноидальной структурой, заданной композицией. Например, для группы G определите эндофунктор T на Set с помощью . Затем определите умножение μ на T как естественное преобразование, заданное формулой${\displaystyle T(X)=G\times X}$${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

и также определяем отображение тождества η аналогичным образом. Тогда ( T , μ , η ) образует монаду в Set . Более существенно, присоединение между функторами определяет монаду в X ; а именно, берется отображение тождества η на T в качестве единицы присоединения и также определяется μ с помощью присоединения.${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$${\displaystyle T=G\circ F}$

монадический

1. Присоединение называется монадическим, если оно происходит от монады, которую оно определяет посредством категории Эйленберга–Мура (категории алгебр для монады).

2. Функтор называется монадическим , если он является составной частью монадического присоединения.

моноидальная категория

Моноидальная категория , также называемая тензорной категорией, представляет собой категорию C , снабженную (1) бифунктором , (2) объектом тождества и (3) естественными изоморфизмами, которые делают ⊗ ассоциативным, а объект тождества — тождеством для ⊗, при соблюдении определенных условий когерентности.${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$

моноидный объект

Моноидный объект в моноидальной категории — это объект вместе с отображением умножения и отображением тождества, которые удовлетворяют ожидаемым условиям, таким как ассоциативность. Например, моноидный объект в Set — это обычный моноид (унитальная полугруппа) , а моноидный объект в R -mod — это ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R.

мономорфизм

Морфизм f является мономорфизмом (также называемым моническим), если всякий раз , когда ; например, инъекция в Set . Другими словами, f является двойственным к эпиморфизму.${\displaystyle g=h}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$

многокатегория

Мультикатегория — это обобщение категории, в которой морфизму разрешено иметь более одного домена. Это то же самое, что и цветная операда . ^[14]

n -категория

[В]прос сравнения определений слабой n -категории является скользким, поскольку трудно сказать, что вообще означает эквивалентность двух таких определений. [...] Широко распространено мнение, что структура, образованная слабыми n -категориями и функторами, преобразованиями, ... между ними, должна быть слабой ( n + 1)-категорией; и если это так, то вопрос в том, эквивалентна ли ваша слабая ( n + 1)-категория слабым n- категориям моей, — но чье определение слабой ( n + 1)-категории мы здесь используем... ?

Том Лейнстер, Обзор определений n-категории

1. Строгая n -категория определяется индуктивно: строгая 0-категория — это множество, а строгая n -категория — это категория, Hom-множества которой являются строгими ( n -1)-категориями. Точнее, строгая n -категория — это категория, обогащенная над строгими ( n -1)-категориями. Например, строгая 1-категория — это обычная категория.

2. Понятие слабой n -категории получается из строгой путем ослабления условий типа ассоциативности композиции, чтобы они выполнялись только с точностью до когерентных изоморфизмов в слабом смысле.

3. Можно определить ∞-категорию как своего рода colim n -категорий. Наоборот, если изначально имеется понятие (слабой) ∞-категории (скажем, квазикатегории ) , то слабую n -категорию можно определить как тип усеченной ∞-категории.

естественный

1. Естественное преобразование — это, грубо говоря, отображение между функторами. Точнее, если задана пара функторов F , G из категории C в категорию D , естественное преобразование φ из F в G — это набор морфизмов в D

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

удовлетворяющий условию: для каждого морфизма f : x → y в C , . Например, записывая для группы обратимых матриц размера n на n с коэффициентами в коммутативном кольце R , мы можем рассматривать как функтор из категории CRing коммутативных колец в категорию Grp групп. Аналогично, является функтором из CRing в Grp . Тогда определитель det является естественным преобразованием из в - ^* .${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$${\displaystyle GL_{n}(R)}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$${\displaystyle GL_{n}}$

2. Естественный изоморфизм — это естественное преобразование, которое является изоморфизмом (т.е. допускает обратное).

нерв

Нервный функтор N — это функтор из Cat в s Set , заданный . Например, если — функтор в (называемый 2-симплексом), пусть . Тогда — морфизм в C , а также для некоторого g из C . Поскольку за ним следует и поскольку — функтор, . Другими словами, кодирует f , g и их композиции.${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle N(C)_{2}}$${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$${\displaystyle 0\to 2}$${\displaystyle 0\to 1}$${\displaystyle 1\to 2}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$${\displaystyle \varphi }$

нормальный

Мономорфизм нормален, если он является ядром некоторого морфизма, а эпиморфизм конормален, если он является коядром некоторого морфизма. Категория нормальна , если каждый мономорфизм нормален.

объект

1. Объект — это часть данных, определяющих категорию.

2. [Прилагательное] объект в категории C является контравариантным функтором (или предпучком) из некоторой фиксированной категории, соответствующей «прилагательному» к C. Например, симплициальный объект в C является контравариантным функтором из симплициальной категории в C , а Γ-объект является точечным контравариантным функтором из Γ (примерно точечная категория точечных конечных множеств) в C, при условии, что C является точечным.

op-фибрилляция

Функтор π: C → D является op-расслоением , если для каждого объекта x в C и каждого морфизма g  : π( x ) → y в D существует по крайней мере один π-кокартезов морфизм f : x → y' в C такой, что π( f ) = g . Другими словами, π является двойственным к расслоению Гротендика .

противоположный

Противоположная категория категории получается путем перестановки стрелок. Например, если частично упорядоченный набор рассматривается как категория, то взятие его противоположности равносильно перестановке порядка.

идеальный

Иногда синоним слова «компактный». См. совершенный комплекс .

заостренный

Категория (или ∞-категория) называется точечной, если она имеет нулевой объект.

полиграф

Полиграф — это обобщение направленного графа.

многочлен

Функтор из категории конечномерных векторных пространств в себя называется полиномиальным функтором , если для каждой пары векторных пространств V , W , F : Hom( V , W ) → Hom( F ( V ), F ( W )) есть полиномиальное отображение между векторными пространствами. Функтор Шура является базовым примером.

преабелев

Предабелева категория — это аддитивная категория, имеющая все ядра и коядра.

предаддитивный

Категория предаддитивна , если она обогащена над моноидальной категорией абелевых групп . В более общем случае она R -линейна , если она обогащена над моноидальной категорией R -модулей , где R — коммутативное кольцо .

презентабельный

При заданном регулярном кардинале κ категория является κ-представимой, если она допускает все малые копределы и является κ-достижимой. Категория является представимой, если она является κ-представимой для некоторого регулярного кардинала κ (следовательно, представимой для любого большего кардинала). Примечание : Некоторые авторы называют представимую категорию локально представимой категорией .

предварительный пучок

Другой термин для контравариантного функтора: функтор из категории C ^op в Set является предпучком множеств на C , а функтор из C ^op в s Set является предпучком симплициальных множеств или симплициальным предпучком и т. д. Топология на C , если таковая имеется, указывает, какой предпучок является пучком (относительно этой топологии).

продукт

1. Произведение семейства объектов X _i в категории C , индексированной множеством I, является проективным пределом функтора , где I рассматривается как дискретная категория. Оно обозначается и является двойственным к копроизведению семейства.${\displaystyle \varprojlim }$${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$

2. Произведение семейства категорий C _i 's, индексированных множеством I , есть категория, обозначенная как , класс объектов которой является произведением классов объектов C _i 's и чьи hom-множества являются ; морфизмы составлены покомпонентно. Это двойственное к непересекающемуся объединению.${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$

профунктор

Для категорий C и D профунктор (или дистрибьютор) из C в D является функтором вида .${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$

проективный

1. Объект A в абелевой категории проективен, если функтор точен. Он является двойственным к инъективному объекту.${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$

2. Термин «проективный предел» — это другое название обратного предела .

ПРОП

PROP — это симметричная строгая моноидальная категория, объектами которой являются натуральные числа, а тензорным произведением — сложение натуральных чисел.

псевдоалгебра

Псевдоалгебра — это 2-категориальная версия алгебры для монады (с заменой монады на 2-монад).

В

Q-категория .

Квиллен

Теорема Квиллена А дает критерий того, что функтор является слабой эквивалентностью.

квазиабелев

квазиабелева категория .

квазитопос

квазитопос .​

отражать

1. Говорят, что функтор отражает тождества, если он обладает следующим свойством: если F ( k ) — тождество, то k также является тождеством.

2. Говорят, что функтор отражает изоморфизмы, если он обладает свойством: F ( k ) — изоморфизм, тогда k также является изоморфизмом.

обычный

Обычная категория .

представимый

Многозначный контравариантный функтор F в категории C называется представимым , если он принадлежит существенному образу вложения Йонеды ; т. е. для некоторого объекта Z. Объект Z называется представляющим объектом F.${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$

отвод

Морфизм является ретракцией, если у него есть правый обратный.

буровая установка

Категория буровой установки — это категория с двумя моноидальными структурами, одна из которых распределяется над другой.

раздел

Морфизм является сечением , если он имеет левое обратное. Например, аксиома выбора гласит, что любая сюръективная функция допускает сечение.

Сигал

1.   Состояние Segal . На данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition

2.   Пространства Сигала — это некоторые симплициальные пространства, введенные в качестве моделей для (∞, 1)-категорий .

полуабелев

Полуабелева категория .

полупростой

Абелева категория полупроста , если каждая короткая точная последовательность расщепляется. Например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда категория модулей над ним полупроста.

функтор Серра

Для заданной k -линейной категории C над полем k функтор Серра является автоэквивалентностью такой, что для любых объектов A , B .${\displaystyle f:C\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$

простой объект

Простой объект в абелевой категории — этообъект A , который не изоморфен нулевому объекту и каждый подобъект которого изоморфен нулю или A. Например, простой модуль — это в точности простой объект в категории (скажем, левых) модулей.

симплексная категория

Симплексная категория Δ — это категория, в которой объект представляет собой множество [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0, полностью упорядоченное стандартным образом, а морфизм — это функция, сохраняющая порядок.

симплициальная категория

Категория, обогащенная симплициальными множествами.

Симплициальная локализация

Симплициальная локализация — это метод локализации категории.

симплициальный объект

Симплициальный объект в категории C — это, грубо говоря, последовательность объектов в C , которая образует симплициальное множество. Другими словами, это ковариантный или контравариантный функтор Δ → C. Например, симплициальный предпучок — это симплициальный объект в категории предпучков.${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$

Симпсон

Гипотеза Симпсона о полустрогости (поскольку это пока что эффективная ссылка, см. [2]).

симплициальный набор

Симплициальное множество — это контравариантный функтор из Δ в Set , где Δ — симплексная категория , категория, объектами которой являются множества [ n ] = { 0, 1, …, n } и морфизмами которой являются функции, сохраняющие порядок. Записывается и элемент множества называется n -симплексом. Например, — симплициальное множество, называемое стандартным n -симплексом. По лемме Йонеды .${\displaystyle X_{n}=X([n])}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$

сайт

Категория, снабженная топологией Гротендика .

скелетный

1. Категория является скелетной , если изоморфные объекты обязательно идентичны.

2. (Не уникальный) скелет категории — это полная подкатегория, которая является скелетной.

ломтик

Если задана категория C и объект A в ней, то категория среза C _{/ A} категории C над A — это категория, объектами которой являются все морфизмы в C с областью значений A , морфизмы которой являются морфизмами в C такими, что если f является морфизмом из в , то в C и чья композиция является композицией C .${\displaystyle p_{X}:X\to A}$${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$

маленький

1. Малая категория — это категория, в которой класс всех морфизмов является множеством ( т.е. не является собственным классом ); в противном случае большая . Категория локально мала, если морфизмы между каждой парой объектов A и B образуют множество. Некоторые авторы предполагают основание, в котором совокупность всех классов образует «конгломерат», в этом случае квазикатегория — это категория, объекты и морфизмы которой просто образуют конгломерат . ^[15] (Примечание: некоторые авторы используют термин «квазикатегория» в другом значении. ^[16] )

2. Объект в категории называется малым, если он κ-компактен для некоторого регулярного кардинала κ. Понятие заметно появляется в аргументе Куилена о малых объектах (ср. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument)

разновидность

(Комбинаторный) вид — это эндофунктор на группоиде конечных множеств с биекциями. Он категорически эквивалентен симметричной последовательности .

стабильный

∞-категория является стабильной , если (1) она имеет нулевой объект, (2) каждый морфизм в ней допускает волокно и коволокно и (3) треугольник в ней является последовательностью волокон тогда и только тогда, когда он является последовательностью коволокна.

строгий

Морфизм f в категории, допускающей конечные пределы и конечные копределы, является строгим, если естественный морфизм является изоморфизмом.${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$

строгая n -категория

Строгая 0-категория — это множество, и для любого целого числа n > 0 строгая n -категория — это категория, обогащенная строгими ( n -1)-категориями. Например, строгая 1-категория — это обычная категория. Примечание : термин « n -категория» обычно относится к « слабой n -категории », а не строгой.

строгая фиксация

Строгое определение — это процесс замены слабо соблюдающихся равенств (т.е. с точностью до когерентных изоморфизмов) фактическими равенствами.

субканонический

Топология на категории является субканонической, если каждый представимый контравариантный функтор на C является пучком относительно этой топологии. ^[17] Вообще говоря, некоторые плоские топологии могут не быть субканоническими; но плоские топологии, появляющиеся на практике, имеют тенденцию быть субканоническими.

подкатегория

Категория A является подкатегорией категории B , если существует функтор включения из A в B.

подобъект

Для объекта A в категории подобъект A является классом эквивалентности мономорфизмов к A ; два мономорфизма f и g считаются эквивалентными, если f пропускается через g , а g пропускается через f .

подчастное

Подчастное — это частное подобъекта.

субтерминальный объект

Субтерминальный объект — это объект X , такой что каждый объект имеет не более одного морфизма в X.

симметричная моноидальная категория

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория (т. е. категория со знаком ⊗), имеющая максимально симметричное плетение.

симметричная последовательность

Симметричная последовательность — это последовательность объектов с действиями симметричных групп . Она категорически эквивалентна (комбинаторному) виду .

т-структура

t -структура — это дополнительная структура на триангулированной категории (в более общем случае стабильной ∞-категории ), которая аксиоматизирует понятия комплексов, чьи когомологии сосредоточены в неотрицательных степенях или неположительных степенях.

Таннакианская двойственность

Двойственность Таннакиана утверждает , что в подходящей настройке задать морфизм — значит задать функтор обратного протягивания вдоль него. Другими словами, множество Hom можно отождествить с категорией функтора , возможно, в производном смысле , где — категория, связанная с X (например, производная категория). ^{[18] [19]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$${\displaystyle D(X)}$

тензорная категория

Обычно синоним моноидальной категории (хотя некоторые авторы различают эти два понятия).

тензорная триангулированная категория

Тензорная триангулированная категория — это категория, которая совместимо несет в себе структуру симметричной моноидальной категории и структуру триангулированной категории.

тензорное произведение

Для моноидальной категории B тензорное произведение функторов и является концом:${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$${\displaystyle G:C\to B}$

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

2. Объект A в ∞-категории C является терминальным, если он стягиваем для каждого объекта B из C.${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$

универсальный

1. Если заданы функтор и объект X в D , универсальный морфизм из X в f является начальным объектом в категории запятых . (Его двойственный объект также называется универсальным морфизмом.) Например, возьмем f в качестве забывающего функтора , а X — множество. Начальным объектом является функция . То, что он является начальным, означает, что если — другой морфизм, то существует единственный морфизм из j в k , который состоит из линейного отображения , которое расширяет k посредством j ; то есть — свободное векторное пространство, порожденное X .${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle (X\downarrow f)}$${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$${\displaystyle k:X\to f(W)}$${\displaystyle V_{X}\to W}$${\displaystyle V_{X}}$

2. Выражаясь более явно, при указанном выше f морфизм в D универсален тогда и только тогда, когда естественное отображение${\displaystyle X\to f(u_{X})}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

является биективным. В частности, если , то, взяв c в качестве u _X, мы получаем универсальный морфизм, посылая тождественный морфизм. Другими словами, наличие универсального морфизма эквивалентно представимости функтора .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$

Категория Вальдхаузен

Категория Вальдхаузена — это, грубо говоря, категория с семействами кофибраций и слабых эквивалентностей.

хорошо мощный

Категория является хорошо развитой, если для каждого объекта существует только набор попарно неизоморфных подобъектов .

Йонеда

1.  

Лемма Йонеды утверждает... в более выразительных терминах математический объект X лучше всего рассматривать в контексте категории, окружающей его, и он определяется сетью отношений, которые он имеет со всеми объектами этой категории. Более того, чтобы понять X, может быть более уместным иметь дело непосредственно с функтором, представляющим его. Это напоминает «языковую игру» Витгенштейна; то есть, что значение слова — по сути — определяется, фактически является ничем иным, как его отношениями со всеми высказываниями в языке.

Барри Мазур , «Думая о Гротендике»

Лемма Йонеды гласит : для каждого многозначного контравариантного функтора F на C и объекта X в C существует естественная биекция

${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

где Nat означает множество естественных преобразований. В частности, функтор

${\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

является полностью точным и называется вложением Йонеды. ^[20]

2. Если — функтор, а y — вложение Йонеды C , то расширение Йонеды F — это левое расширение Кана F вдоль y .${\displaystyle F:C\to D}$

ноль

Нулевой объект — это объект, который является как начальным, так и конечным, например, тривиальная группа в Grp .

• Грот, М., Краткий курс по ∞-категориям. Архивировано 03.03.2016 на Wayback Machine.
• Заметки Цисински
• История теории топоса
• Лейнстер, Том (2014). Базовая теория категорий . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 143. Cambridge University Press. arXiv : 1612.09375 . Bibcode : 2016arXiv161209375L.
• Лейнстер, Высшие операды, высшие категории, 2003.
• Эмили Риль, Неторопливое введение в симплициальные множества
• Конспект лекций по категориальной логике Стива Аводея
• Стрит, Росс (20 марта 2003 г.). «Категориальные и комбинаторные аспекты теории спуска». arXiv : math/0303175 .(подробное обсуждение 2-й категории)
• Ловер, Категории пространств не могут быть обобщенными пространствами, как показано на примере ориентированных графов
• Теория категорий в Стэнфордской энциклопедии философии