Теория Галуа Гротендика

В математике теория Галуа Гротендика представляет собой абстрактный подход к теории Галуа полей, разработанный около 1960 года, чтобы обеспечить способ изучения фундаментальной группы алгебраической топологии в контексте алгебраической геометрии . Она обеспечивает, в классическом контексте теории поля , альтернативную перспективу Эмиля Артина , основанную на линейной алгебре , которая стала стандартной примерно с 1930-х годов.

Подход Александра Гротендика касается теоретико-категорных свойств, характеризующих категории конечных G -множеств для фиксированной проконечной группы G . Например, G может быть группой, обозначенной (см. проконечное целое число ), которая является обратным пределом циклических аддитивных групп Z / n Z — или, что эквивалентно, пополнением бесконечной циклической группы Z для топологии подгрупп конечного индекса . Тогда конечное G -множество — это конечное множество X , на котором G действует через фактор-конечную циклическую группу, так что оно задается путем задания некоторой перестановки X .${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

В приведенном выше примере связь с классической теорией Галуа можно увидеть, рассматривая как проконечную группу Галуа Gal( F / F ) алгебраического замыкания F любого конечного поля F над F . То есть автоморфизмы F , фиксирующие F , описываются обратным пределом, поскольку мы берем все большие и большие конечные поля расщепления над F . Связь с геометрией можно увидеть, когда мы рассматриваем покрывающие пространства единичного круга в комплексной плоскости с удаленным началом координат: конечное покрытие, реализуемое отображением z ⁿ круга, мыслимым посредством комплексной числовой переменной z , соответствует подгруппе n . Z фундаментальной группы проколотого круга.${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

Теория Гротендика, опубликованная в SGA1 , показывает, как восстановить категорию G -множеств из функтора слоя Φ, который в геометрической постановке берет слой покрытия над фиксированной базовой точкой (как множество). Фактически, доказан изоморфизм типа

G ≅ Аут(Ф),

последняя является группой автоморфизмов (самоестественных эквивалентностей ) Φ. Дана абстрактная классификация категорий с функтором в категорию множеств, с помощью которой можно распознать категории G -множеств для G проконечной.

Чтобы увидеть, как это применимо к случаю полей, нужно изучить тензорное произведение полей . В теории топосов это часть изучения атомных топосов .

• Таннакианский формализм
• Функтор волокна
• Анабелева геометрия

• Гротендик, А.; и др. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe Fondamental, 1960–1961 гг.. Конспект лекций по математике. Том 224. SpringerSphiwe Verlag. arXiv : math/0206203 . ISBN 978-3-540-36910-3.
• Джойал, Андре; Тирни, Майлз (1984). Расширение теории Галуа Гротендика . Мемуары Американского математического общества. ISBN 0-8218-2312-4.

• Борсе, Ф.; Джанелидзе, Г. (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80309-8.(Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Szamuely, T. (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48114-4.
• Дубук, Э.Дж.; де ла Вега, CS (2000). «О теории Галуа Гротендика». arXiv : math/0009145 .

• Caramello, Olivia (2016). «Топологическая теория Галуа». Advances in Mathematics . 291 : 646–695. arXiv : 1301.0300 . doi : 10.1016/j.aim.2015.11.050 .