Доступная категория

Теория доступных категорий является частью математики , а именно теории категорий . Она пытается описать категории в терминах «размера» ( кардинального числа ) операций, необходимых для генерации их объектов.

Теория берет свое начало в работе Гротендика , завершенной к 1969 году, ^[1] и Габриэля и Ульмера (1971). ^[2] Она была дополнительно развита в 1989 году Майклом Маккаем и Робертом Паре, с мотивацией, исходящей из теории моделей , раздела математической логики . ^[3] Стандартный учебник Адамека и Росицкого появился в 1994 году. ^[4] Доступные категории также имеют приложения в теории гомотопий . ^{[5] [6]} Гротендик продолжил разработку теории для целей теории гомотопий в своей (еще частично неопубликованной) рукописи 1991 года Les dérivateurs . ^[7] Некоторые свойства доступных категорий зависят от используемого множества вселенной , в частности от кардинальных свойств и принципа Вопенки . ^[8]

Пусть будет бесконечным регулярным кардиналом , т.е. кардинальным числом , которое не является суммой меньшего числа меньших кардиналов; примерами являются ( aleph-0 ), первое бесконечное кардиналовое число, и , первый несчетный кардинал). Частично упорядоченное множество называется -направленным, если каждое подмножество из мощности меньше , имеет верхнюю границу в . В частности, обычные направленные множества являются в точности -направленными множествами.${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle \алеф _{1}}$ ${\displaystyle (I,\leq)}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle J}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle \алеф _{0}}$

Теперь пусть будет категорией . Прямой предел (также известный как направленный копредел) над -направленным множеством называется -направленным копределом . Объект из называется -представимым , если функтор Hom сохраняет все -направленные копределы в . Очевидно, что каждый -представимый объект также -представим, когда , поскольку каждый -направленный копредел также является -направленным копределом в этом случае. -представимый объект называется конечно представимым .${\displaystyle С}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle (I,\leq)}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle X}$${\displaystyle С}$${\displaystyle \каппа}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle С}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа '}$${\displaystyle \каппа \leq \каппа '}$${\displaystyle \каппа '}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \алеф _{0}}$

• В категории Set of all sets конечно представимые объекты совпадают с конечными множествами. -Представимые объекты — это множества мощности, меньшей .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$
• В категории всех групп объект конечно представим тогда и только тогда, когда он является конечно представимой группой , т.е. если он имеет представление с конечным числом образующих и конечным числом отношений. Для несчетных регулярных -представимыми объектами являются в точности группы с мощностью, меньшей .${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$
• В категории левых -модулей${\displaystyle R}$ над некоторым (унитарным, ассоциативным) кольцом конечно представимые объекты — это в точности конечно представимые модули .${\displaystyle R}$

Категория называется -доступной при условии, что:${\displaystyle С}$${\displaystyle \каппа}$

• ${\displaystyle С}$имеет все -направленные копределы${\displaystyle \каппа}$
• ${\displaystyle С}$содержит набор -представимых объектов , такой что каждый объект из является -направленным копределом объектов из .${\displaystyle P}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle С}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle P}$

-Доступная категория называется конечно доступной . Категория называется доступной, если она является -доступной для некоторого бесконечного регулярного кардинала . Когда доступная категория также является кополной , она называется локально представимой .${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$

Функтор между -доступными категориями называется -доступным при условии, что он сохраняет -направленные копределы.${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \каппа}$

• Категория Set всех множеств и функций локально конечно представима, поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, а конечные множества конечно представимы.
• Категория -Mod (левых) -модулей локально конечно представима для любого кольца .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
• Категория симплициальных множеств конечно достижима.
• Категория Mod(T) моделей некоторой теории первого порядка T со счетной сигнатурой является -доступной. -представимые объекты - это модели со счетным числом элементов.${\displaystyle \алеф _{1}}$${\displaystyle \алеф _{1}}$
• Другими примерами локально представимых категорий являются финитные алгебраические категории (т. е. категории, соответствующие многообразиям алгебр в универсальной алгебре ) и категории Гротендика .

Можно показать, что каждая локально представимая категория также является полной . ^[9] Более того, категория локально представима тогда и только тогда, когда она эквивалентна категории моделей предельного наброска . ^[10]

Сопряженные функторы между локально представимыми категориями имеют особенно простую характеристику. Функтор между локально представимыми категориями:${\displaystyle F:C\to D}$

• является левым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые копределы,
• является правым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые пределы и достижим.