двойственность Исбелла
Двойственность — это присоединение между категорией co/presheaf в рамках вложения co/Yoneda.

Сопряжённость Исбелла (также известная как двойственность Исбелла или присоединение Исбелла ) (названная в честь Джона Р. Исбелла [1] [2] ) является фундаментальной конструкцией обогащённой теории категорий, формально представленной Уильямом Ловером в 1986 году. [3] [4] Это двойственность между ковариантными и контравариантными представимыми предпучками , связанными с объектами категорий при вложении Йонеды. [5] [6] Кроме того, Ловер [7] утверждает следующее: «Тогда сопряжённость является первым шагом к выражению двойственности между пространством и количеством, фундаментальной для математики». [8]

Определение

Встраивание Йонеды

(Ковариантное) вложение Йонеды является ковариантным функтором из малой категории в категорию предпучков на , переводящим в контравариантный представимый функтор : [1] [9] [10] [11] А {\displaystyle {\mathcal {A}}} [ А о п , В ] {\displaystyle \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]} А {\displaystyle {\mathcal {A}}} Х ∈ А {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}

И ( час ∙ ) : А → [ А о п , В ] {\displaystyle Y\;(h^{\bullet }):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]}

Х ↦ час о м ( − , Х ) . {\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (-,X).}

и ко-вложение Йонеды [1] [12] [9] [13] (также известное как контравариантное вложение Йонеды [14] [примечание 1] или двойственное вложение Йонеды [21] ) является контравариантным функтором (ковариантным функтором из противоположной категории) из малой категории в категорию ко-предпучков на , переводя в ковариантный представимый функтор: А {\displaystyle {\mathcal {A}}} [ А , В ] о п {\displaystyle \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}} А {\displaystyle {\mathcal {A}}} Х ∈ А {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}

З ( час ∙ о п ) : А → [ А , В ] о п {\displaystyle Z\;({h_{\bullet }}^{op}):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}

Х ↦ час о м ( Х , − ) . {\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (X,-).}

Каждый функтор имеет сопряжение Исбелла [1] , заданное формулой Ф : А о п → В {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}} Ф ∗ : А → В {\displaystyle F^{\ast }\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}}

Ф ∗ ( Х ) = час о м ( Ф , у ( Х ) ) . {\displaystyle F^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (F,y(X)).}

Напротив, каждый функтор имеет сопряжение Исбелла [1], заданное формулой Г : А → В {\displaystyle G\двоеточие {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}} Г ∗ : А о п → В {\displaystyle G^{\ast }\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}}

Г ∗ ( Х ) = час о м ( з ( Х ) , Г ) . {\displaystyle G^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (z(X),G).}

двойственность Исбелла

Происхождение символов и : Ловер (1986, стр. 169) говорит, что: « » сопоставляет каждому общему пространству алгебру функций на нем, тогда как « » сопоставляет каждой алгебре ее «спектр», который является общим пространством. О {\displaystyle {\mathcal {O}}} С п е с {\displaystyle \mathrm {Спецификация} } О {\displaystyle {\mathcal {O}}} С п е с {\displaystyle \mathrm {Спецификация} }
Примечание: Для того чтобы эта коммутативная диаграмма сохранялась, требуется, чтобы E было ко-полным. [22] [23] [24] [25]

Двойственность Исбелла — это связь между вложением Йонеды и ко-вложением Йонеды.

Пусть будет симметричной моноидальной замкнутой категорией , и пусть будет малой категорией, обогащенной в . В {\displaystyle {\mathcal {V}}} А {\displaystyle {\mathcal {A}}} В {\displaystyle {\mathcal {V}}}

Двойственность Исбелла является дополнением между категориями; . [3] [1] [26] [27] [12] [28] ( О ⊣ С п е с ) : [ А о п , В ] ⇄ О С п е с [ А , В ] о п {\displaystyle \left({\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} \right)\colon \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]{\underset {\mathrm {Spec} }{\overset {\mathcal {O}}{\rightleftarrows }}}\left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}

Функторы двойственности Исбелла таковы, что и . [26] [29] [примечание 2] О ⊣ С п е с {\displaystyle {\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} } О ≅ Л а н И З {\displaystyle {\mathcal {O}}\cong \mathrm {Lan_{Y}Z} } С п е с ≅ Л а н З И {\displaystyle \mathrm {Spec} \cong \mathrm {Lan_{Z}Y} }

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdef (Баез 2022)
  2. ^ (Ди Либерти 2020, 2. Двойственность Исбелла)
  3. ^ ab (Lawvere 1986, стр. 169)
  4. ^ (Руттен 1998)
  5. ^ (Мельес и Зейльбергер, 2018)
  6. ^ (Виллертон 2013)
  7. ^ (Ловер 1986, стр. 169)
  8. ^ (Пространство и количество в nlab)
  9. ^ ab (встраивание Йонеды в nlab)
  10. ^ (Валентность, 2017, следствие 2)
  11. ^ (Awodey 2006, Определение 8.1.)
  12. ^ ab (дуальность Исбелла в nlab)
  13. ^ (Валентность, 2017, Определение 67)
  14. ^ (Ди Либерти и Лорегиан, 2019, Определение 5.12)
  15. ^ (Риль 2016, теорема 3.4.11.)
  16. ^ (Лейнстер 2004, (c) и (c').)
  17. ^ (Рил 2016, Определение 1.3.11.)
  18. ^ (Старр 2020, Пример 4.7.)
  19. ^ (Противоположные функторы в nlab)
  20. ^ (Pratt 1996, §.4 Симметризация вложения Йонеды)
  21. ^ (Day & Lack 2007, §9. Спряжение Исбелла)
  22. ^ (Di Liberti 2020, Замечание 2.3 (Строительство (ко)нерва).)
  23. ^ (Келли 1982, Предложение 4.33)
  24. ^ (Риль 2016, Примечание 6.5.9.)
  25. ^ (Имамура 2022, Теорема 2.4)
  26. ^ ab (Di Liberti 2020, примечание 2.4)
  27. ^ (Фоско 2021)
  28. ^ (Валентность, 2017, Определение 68)
  29. ^ (Ди Либерти и Лорегиан 2019, Лемма 5.13.)

Библиография

  • Эвери, Том; Лейнстер, Том (2021), «Сопряженность Исбелла и рефлексивное завершение» (PDF) , Теория и применение категорий , 36 : 306–347, arXiv : 2102.08290
  • Аводей, Стив (2006), Теория категорий , doi :10.1093/acprof:oso/9780198568612.001.0001, ISBN 978-0-19-856861-2
  • Баез, Джон К. (2022), «Двойственность Исбелла» (PDF) , Notices Amer. Math. Soc. , 70 : 140–141, arXiv : 2212.11079
  • Дей, Брайан Дж.; Лэк, Стивен (2007), «Пределы малых функторов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 210 (3): 651–663, arXiv : math/0610439 , doi : 10.1016/j.jpaa.2006.10.019, MR  2324597, S2CID  15424936.
  • Ди Либерти, Иван (2020), «Коденситность: двойственность Исбелла, про-объекты, компактность и доступность», Журнал чистой и прикладной алгебры , 224 (10), arXiv : 1910.01014 , doi : 10.1016/j.jpaa.2020.106379, S2CID  203626566
  • Fosco, Loregian (22 июля 2021 г.), (Co)end Calculus, Cambridge University Press, arXiv : 1501.02503 , doi : 10.1017/9781108778657, ISBN 9781108746120, S2CID  237839003
  • Гутьеррес, Гонсало; Хофманн, Дирк (2013), «Приближение метрических областей», Прикладные категориальные структуры , 21 (6): 617–650, arXiv : 1103.4744 , doi : 10.1007/s10485-011-9274-z, S2CID  254225188
  • Шен, Лили; Чжан, Дексю (2013), «Категории, обогащенные кванталоидом: присоединения Исбелла и присоединения Кана» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (20): 577–615, arXiv : 1307.5625
  • Isbell, JR (1960), «Адекватные подкатегории», Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi : 10.1215/ijm/1255456274
  • Исбелл, Джон Р. (1966), «Структура категорий», Бюллетень Американского математического общества , 72 (4): 619–656, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11541-0 , S2CID  40822693
  • Имамура, Юки (2022), «Обогащенные категории Гротендика», Прикладные категориальные структуры , 30 (5): 1017–1041, arXiv : 2105.05108 , doi : 10.1007/s10485-022-09681-1
  • Келли, Грегори Максвелл (1982), Основные понятия обогащенной теории категорий (PDF) , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 64, Cambridge University Press, Кембридж-Нью-Йорк, ISBN 0-521-28702-2, МР  0651714. [ нужна страница ]
  • Ловере, Ф.В. (1986), «Серьезное отношение к категориям», Revista Colombiana de Matematicas , 20 (3–4): 147–178, MR  0948965
    • Ловер, Ф. В. (2005), «Серьёзное отношение к категориям» (PDF) , Переиздания в Theory and Applications of Categories (8): 1–24, MR  0948965
  • Ловер, Ф. Уильям (февраль 2016 г.), «Теорема Биркгофа с геометрической точки зрения: простой пример», Категории и общие алгебраические структуры с приложениями , 4 (1): 1–8
  • Мельес, Поль-Андре; Зейлбергер, Ноам (2018), «Теорема двойственности Исбелла для систем уточнения типов», Математические структуры в информатике , 28 (6): 736–774, arXiv : 1501.05115 , doi : 10.1017/S0960129517000068, S2CID  2716529
  • Пратт, Воган (1996), «Расширение денотационной семантики линейной логики», Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 3 : 155–166, doi : 10.1016/S1571-0661(05)80415-3
  • Риль, Эмили (2016), Теория категорий в контексте, Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк, ISBN 9780486809038
  • Раттен, Дж. Дж. М. М. (1998), «Взвешенные копределы и формальные шары в обобщенных метрических пространствах», Топология и ее приложения , 89 (1–2): 179–202, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00224-1
  • Sturtz, Kirk (2018), «Факторизация монады Жири», Advances in Mathematics , 340 : 76–105, arXiv : 1707.00488 , doi : 10.1016/j.aim.2018.10.007
    • Sturtz, K. (2019). «Erratum and Addendum: Факторизация монады Жири». arXiv : 1907.00372 [math.CT].
  • Вуд, Р. Дж. (1982), «Некоторые замечания о полных категориях», Журнал алгебры , 75 (2): 538–545, doi : 10.1016/0021-8693(82)90055-2
  • Виллертон, Саймон (2013), «Тесные пролеты, завершения Исбелла и полутропические модули» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (22): 696–732, arXiv : 1302.4370

Сноска

  1. ^ Обратите внимание, что: контравариантное вложение Йонеды, описанное в статье, заменено противоположной категорией как для домена, так и для кодомена из того, что описано в учебнике. [15] [16] См. дисперсию функтора , пре/пост-композицию , [17] и противоположный функтор . [18] [19] Кроме того, эта пара вложений Йонеды совместно называется двумя вложениями Йонеды. [20]
  2. ^ Для символа Lan см. левое расширение Kan .
  • Ди Либерти, Иван; Лорегиан, Фоско (2019). «О единственности формальных теорий категорий». arXiv : 1901.01594 [math.CT].
  • Лейнстер, Том (2004), «Азбука теории категорий, глава 4. Представимость» (PDF) , maths.ed.ac.uk
  • Лорегиан, Фоско (2018), «Расширения Кана» (PDF) , tetrapharmakon.github.io
  • Сорокин, Алекс (2022), Производные профункторы , Бостон, Массачусетс: Северо-Восточный университет, doi : 10.17760/D20467288, hdl : 2047/D20467288
  • Старр, Джейсон (2020), «Некоторые заметки о теории категорий в алгебраической геометрии MAT 589» (PDF) , math.stonybrook.edu
  • Валанс, Арно (2017), Esquisse d'une Dualité geométrico-algébrique multidisciplinaire: la Dualité d'Isbell, Thèse en cotutelle en Philosophie – Étude des Systèmes, от 30 мая 2017 г. (PDF)
  • «Двойственность Исбелла», ncatlab.org
  • "пространство и количество", ncatlab.org
  • «Внедрение Йонеды», ncatlab.org
  • «Лемма Ко-Йонеды», ncatlab.org
  • "copresheaf", ncatlab.org
  • «Естественные преобразования и предпучки: Замечание 1.28. (предпучки как обобщенные пространства)», ncatlab.org
  • «Противоположные функторы», ncatlab.org
Значок заглушки

Эта статья по теории категорий — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Isbell_duality&oldid=1256165506"