Обычная категория

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Сентябрь 2016 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории категорий регулярная категория — это категория с конечными пределами и соуравнителями всех пар морфизмов, называемых ядерными парами , удовлетворяющими определенным условиям точности . Таким образом, регулярные категории восстанавливают многие свойства абелевых категорий , такие как существование изображений , не требуя аддитивности. В то же время регулярные категории обеспечивают основу для изучения фрагмента логики первого порядка , известного как регулярная логика.

Категория C называется регулярной , если она удовлетворяет следующим трем свойствам: ^[1]

• C конечно полно .
• Если f  :  X  →  Y — морфизм в C , и

является пулбэком , то существует коуравнитель p ₀ , p ₁ . Пара ( p ₀ ,  p ₁ ) называется парой ядер f . Будучи пулбэком, пара ядер уникальна с точностью до единственного изоморфизма .

• Если f  :  X  →  Y — морфизм в C , и

является пулбэком, и если f является регулярным эпиморфизмом , то g также является регулярным эпиморфизмом. Регулярный эпиморфизм — это эпиморфизм, который появляется как соуравнитель некоторой пары морфизмов.

Примеры обычных категорий включают в себя:

• Множество , категория множеств и функций между множествами
• В более общем смысле, каждый элементарный топос
• Grp , категория групп и групповые гомоморфизмы
• Категория колец и кольцевых гомоморфизмов
• В более общем смысле, категория моделей любого типа
• Каждая ограниченная полурешетка встреч с морфизмами, заданными отношением порядка
• Каждая абелева категория

Следующие категории не являются регулярными:

• Вверху , категория топологических пространств и непрерывных функций
• Cat , категория малых категорий и функторов

В регулярной категории регулярные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации . Каждый морфизм f:X→Y может быть факторизован в регулярный эпиморфизм e :X→E, за которым следует мономорфизм m:E→Y , так что f=me . Факторизация уникальна в том смысле, что если e':X→E' — другой регулярный эпиморфизм, а m':E'→Y — другой мономорфизм, такой что f=m'e' , то существует изоморфизм h:E→E', такой что he=e' и m'h=m . Мономорфизм m называется образом f .

В регулярной категории диаграмма вида называется точной последовательностью, если она является как коуравнителем, так и ядерной парой. Терминология является обобщением точных последовательностей в гомологической алгебре : в абелевой категории диаграмма ${\displaystyle R\rightrightarrows X\to Y}$

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

является точной в этом смысле тогда и только тогда, когда является короткой точной последовательностью в обычном смысле.${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$

Функтор между регулярными категориями называется регулярным , если он сохраняет конечные пределы и коуравнители пар ядер. Функтор является регулярным тогда и только тогда, когда он сохраняет конечные пределы и точные последовательности. По этой причине регулярные функторы иногда называют точными функторами . Функторы, сохраняющие конечные пределы, часто называют точными слева .

Регулярная логика — это фрагмент логики первого порядка , который может выражать утверждения вида

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$,

где и являются регулярными формулами , т.е. формулами, построенными из атомарных формул , константы истинности, бинарных встреч (конъюнкции) и экзистенциальной квантификации . Такие формулы можно интерпретировать в регулярной категории, а интерпретация является моделью секвенции , если интерпретация факторов через интерпретацию . ^[2] Это дает для каждой теории (множества секвенций) T и для каждой регулярной категории C категорию Mod ( T ,C) моделей T в C . Эта конструкция дает функтор Mod ( T ,-): RegCat → Cat из категории RegCat малых регулярных категорий и регулярных функторов в малые категории. Важным результатом является то, что для каждой теории T существует регулярная категория R(T) , такая что для каждой регулярной категории C существует эквивалентность${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \пси}$ ${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \пси}$

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)}$,

что естественно в C. Здесь R(T) называется классифицирующей категорией регулярной теории T. С точностью до эквивалентности любая малая регулярная категория возникает таким образом как классифицирующая категория некоторой регулярной теории. ^[2]

Теория отношений эквивалентности является регулярной теорией. Отношение эквивалентности на объекте регулярной категории является мономорфизмом в , удовлетворяющим интерпретациям условий рефлексивности, симметрии и транзитивности. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$

Каждая пара ядер определяет отношение эквивалентности . И наоборот, отношение эквивалентности называется эффективным , если оно возникает как пара ядер. ^[3] Отношение эквивалентности эффективно тогда и только тогда, когда у него есть соуравнитель и оно является парой ядер этого отношения.${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$

Регулярная категория называется точной , или точной в смысле Барра , или эффективной регулярной , если каждое отношение эквивалентности является эффективным. ^[4] (Обратите внимание, что термин «точная категория» также используется по-разному, для точных категорий в смысле Квиллена .)

• Категория множеств точна в этом смысле, как и любой (элементарный) топос . Каждое отношение эквивалентности имеет соуравнитель, который находится путем взятия классов эквивалентности .
• Каждая абелева категория точна.
• Каждая категория, которая является монадической над категорией множеств, является точной.
• Категория каменных пространств является регулярной, но не точной.

• Аллегория (теория категорий)
• Топос
• Точное завершение