Категория метрических пространств

В теории категорий Met — это категория , которая имеет метрические пространства в качестве своих объектов и метрические отображения ( непрерывные функции между метрическими пространствами, которые не увеличивают никаких попарных расстояний) в качестве своих морфизмов . Это категория, потому что композиция двух метрических отображений снова является метрическим отображением. Впервые она была рассмотрена Исбеллом (1964).

Мономорфизмы в Met — это инъективные метрические отображения. Эпиморфизмы — это метрические отображения, для которых область отображения имеет плотный образ в диапазоне . Изоморфизмы — это изометрии , т.е. метрические отображения, которые являются инъективными, сюръективными и сохраняющими расстояние.

Например, включение рациональных чисел в действительные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но это явно не изоморфизм; этот пример показывает, что Met не является сбалансированной категорией .

Пустое метрическое пространство является начальным объектом Met ; любое синглтонное метрическое пространство является конечным объектом . Поскольку начальный объект и конечные объекты различаются, в Met нет нулевых объектов .

Инъективные объекты в Met называются инъективными метрическими пространствами . Инъективные метрические пространства были впервые введены и изучены Ароншайн и Паничпакди (1956), до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах свойства Хелли их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения Ароншайн и Паничпакди назвали эти пространства гипервыпуклыми пространствами . Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть изометрически вложено , называемое его метрической оболочкой или плотной оболочкой .

Произведение конечного множества метрических пространств в Met — это метрическое пространство, точками которого являются декартово произведение пространств; расстояние в пространстве произведения задаётся супремумом расстояний в базовых пространствах. То есть, это метрика произведения с нормой sup . Однако произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. То есть, Met не является полной категорией , но она конечно полна. В Met нет копроизведения .

Забывчивый функтор Met → Set сопоставляет каждому метрическому пространству базовый набор его точек и сопоставляет каждой метрической карте базовую теоретико-множественную функцию. Этот функтор является точным , и поэтому Met является конкретной категорией .

Met — не единственная категория, объектами которой являются метрические пространства; другие включают категорию равномерно непрерывных функций , категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений. Метрические отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с константой Липшица не более единицы.

• Категория групп  – категория групп и групповые гомоморфизмыСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Категория множеств  – Категория в математике, где объектами являются множества.
• Категория топологических пространств  – категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами – непрерывные отображения.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Категория топологических пространств с базовой точкой  – Топологическое пространство с выделенной точкойСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Категория топологических векторных пространств  – Топологическая категория

• Ароншайн, Н.; Паничпакди, П. (1956), «Расширения равномерно непрерывных преобразований и гипервыпуклых метрических пространств», Pacific Journal of Mathematics , 6 (3): 405–439, doi : 10.2140/pjm.1956.6.405.
• Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2009), «Категория метрических пространств», Энциклопедия расстояний, Springer-Verlag, стр. 38, ISBN 9783642002342.
• Isbell, JR (1964), «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах», Comment. Math. Helv. , 39 (1): 65–76, doi :10.1007/BF02566944, S2CID  121857986.