Симметричная моноидальная категория

В теории категорий , разделе математики , симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория (т. е. категория, в которой определено «тензорное произведение»), такая, что тензорное произведение симметрично (т. е . в определенном строгом смысле естественно изоморфно для всех объектов и категории). Одним из прототипических примеров симметричной моноидальной категории является категория векторных пространств над некоторым фиксированным полем k, использующая обычное тензорное произведение векторных пространств .${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория ( C , ⊗, I ), такая что для каждой пары A , B объектов из C существует изоморфизм, называемый отображением обмена ^[1], который является естественным как в A , так и в B и такой, что следующие диаграммы коммутируют:${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• Согласованность блока:

  

• Ассоциативная связность:

  

• Обратный закон:

  

На диаграммах выше a , l и r являются изоморфизмом ассоциативности, изоморфизмом левой единицы и изоморфизмом правой единицы соответственно.

Некоторые примеры и не примеры симметричных моноидальных категорий:

• Категория множеств . Тензорное произведение — это теоретико-множественное декартово произведение, и любой синглтон может быть зафиксирован как единичный объект.
• Категория групп . Как и прежде, тензорное произведение — это просто декартово произведение групп, а тривиальная группа — единичный объект.
• В более общем смысле любая категория с конечными произведениями, то есть декартова моноидальная категория , является симметричной моноидальной. Тензорное произведение является прямым произведением объектов, а любой конечный объект (пустое произведение) является единичным объектом.
• Категория бимодулей над кольцом R является моноидальной (используя обычное тензорное произведение модулей), но не обязательно симметричной. Если R коммутативно, категория левых R -модулей является симметричной моноидальной. Последний пример класса включает категорию всех векторных пространств над заданным полем.
• Если задано поле k и группа (или алгебра Ли над k ), то категория всех k -линейных представлений группы (или алгебры Ли) является симметричной моноидальной категорией. Здесь используется стандартное тензорное произведение представлений.
• Категории ( Ste , ) и ( Ste , ) стереотипных пространств над являются симметричными моноидальными, и, более того, ( Ste , ) является замкнутой симметричной моноидальной категорией с внутренним hom-функтором .${\displaystyle \circledast}$${\displaystyle \odot}$${\displaystyle {\mathbb {C}}}$${\displaystyle \circledast}$${\displaystyle \oslash}$

Классифицирующее пространство (геометрическая реализация нерва ) симметричной моноидальной категории является пространством, поэтому его групповое пополнение является бесконечным циклическим пространством . ^[2]${\displaystyle E_{\infty}}$

Кинжальная симметричная моноидальная категория — это симметричная моноидальная категория с совместимой кинжальной структурой .

Космос — это полная кополная замкнутая симметричная моноидальная категория .

В симметричной моноидальной категории естественные изоморфизмы являются своими собственными обратными в том смысле, что . Если мы откажемся от этого требования (но все еще потребуем, чтобы было естественно изоморфно ), мы получим более общее понятие сплетенной моноидальной категории .${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$

• Симметричная моноидальная категория в n Lab
• В данной статье использованы материалы из категории «Симметричные моноидальные» на сайте PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .