Купол (геометрия)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Cupola" geometry – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2024) (Learn how and when to remove this message)

Комплект куполов
Пятиугольный пример
Лица	n треугольников , n квадратов , 1 n -угольник , 1 2 n -угольника
Края	5 н
Вершины	3 н
Символ Шлефли	{ н } || т{ н }
Группа симметрии	C n v , [1, n ], (* nn ), порядок  2 n
Группа вращения	C n , [1, n ] + , ( nn ), порядок  n
Двойной многогранник	Полуразрезанный трапецоэдр
Характеристики	выпуклый , призматический

В геометрии купол — это тело, образованное соединением двух многоугольников , один из которых (основание) имеет вдвое больше ребер , чем другой, чередующейся полосой равнобедренных треугольников и прямоугольников . Если треугольники равносторонние , а прямоугольники — квадраты , а основание и его противоположная грань — правильные многоугольники , то треугольные , квадратные и пятиугольные купола относятся к телам Джонсона и могут быть образованы путем взятия сечений кубооктаэдра , ромбокубооктаэдра и ромбоикосододекаэдра соответственно .

Купол можно рассматривать как призму , в которой один из многоугольников был сжат пополам путем слияния чередующихся вершин.

Куполу можно задать расширенный символ Шлефли { n } || t{ n }, представляющий правильный многоугольник { n }, соединенный параллельной линией его усечения , t{ n } или {2 n }.

Купола являются подклассом призматоидов .

Его двойственный элемент содержит форму, которая является своего рода сварным швом между половиной n -гранного трапецоэдра и 2 n -гранной пирамидой .

Семейство выпуклых куполов

• в
• т
• е

н	2	3	4	5	6	7	8
Символ Шлефли	{2} || т{2}	{3} || т{3}	{4} || т{4}	{5} || т{5}	{6} || т{6}	{7} || т{7}	{8} || т{8}
Купол	Двуугольный купол	Треугольный купол	Квадратный купол	Пятиугольный купол	Шестиугольный купол (плоский)	Семиугольный купол (неправильная грань)	Восьмиугольный купол (неправильная грань)
Связанные однородные многогранники	Ромбоэдр	Кубооктаэдр	Ромбокубооктаэдр	Ромбокосододекаэдр	Ромботригексагональная мозаика	Ромботригептагональная мозаика	Ромботриоктагональная мозаика

Треугольные, квадратные и пятиугольные купола являются единственными нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями: « шестиугольный купол» является плоской фигурой, а треугольная призма может считаться «куполом» степени 2 (куполом отрезка прямой и квадрата). Однако купола многоугольников более высокой степени могут быть построены с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Определение купола не требует, чтобы основание (или сторона, противоположная основанию, которую можно назвать вершиной) было правильным многоугольником, но удобно рассмотреть случай, когда купол имеет максимальную симметрию, C _{n v} . В этом случае вершина является правильным n -угольником, в то время как основание является либо правильным 2 n -угольником, либо 2 n -угольником, который имеет две разные длины сторон, чередующиеся и те же углы, что и правильный 2 n -угольник. Удобно зафиксировать систему координат так, чтобы основание лежало в плоскости xy , а вершина - в плоскости, параллельной плоскости xy . Ось z является осью n -кратности, а плоскости зеркал проходят через ось z и делят пополам стороны основания. Они также делят пополам либо стороны, либо углы верхнего многоугольника, либо и то, и другое. (Если n четное, то половина зеркальных плоскостей делит пополам стороны верхнего многоугольника, а половина — углы, а если n нечетное, то каждая зеркальная плоскость делит пополам одну сторону и один угол верхнего многоугольника.) Вершины основания можно обозначить ⁠ ⁠${\displaystyle V_{1}}$ по ⁠ ⁠,${\displaystyle V_{2n},}$ а вершины верхнего многоугольника можно обозначить ⁠ ⁠${\displaystyle V_{2n+1}}$ по ⁠ ⁠${\displaystyle V_{3n}.}$ С этими соглашениями координаты вершин можно записать как:$${\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}$$

для j = 1, 2, ..., n .

Поскольку многоугольники ⁠ ⁠${\displaystyle V_{1}V_{2}V_{2n+2}V_{2n+1},}$ и т. д. являются прямоугольниками, это накладывает ограничение на значения ⁠ ⁠${\displaystyle r_{b},r_{t},\alpha .}$ Расстояние равно${\displaystyle {\bigl |}V_{1}V_{2}{\bigr |}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}}$$

в то время как расстояние равно${\displaystyle {\bigl |}V_{2n+1}V_{2n+2}{\bigr |}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\cos {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}}$$

Они должны быть равны, и если это общее ребро обозначить как s ,$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}}\end{aligned}}}$$

Эти значения необходимо подставить в выражения для координат вершин, приведенные ранее.

Семейство звездчатых куполов

• в
• т
• е

4	5	7	8	н ⁄ д
{4/3} Перекрещенный квадратный купол (вверх дном)	{5/3} Купол в форме перекрещенной пентаграммы (в перевернутом виде)	{7/3} Семигранный купол	{8/3} Восьмигранный купол	3
—	—	{7/5} Перекрещенный семигранный купол (в перевернутом виде)	{8/5} Перекрещенный восьмигранный купол	5

Семейство звездчатых куплоидов

• в
• т
• е

3	5	7	н ⁄ д
{3/2} Перекрещенный треугольный куплоид (вверх дном)	{5/2} Пентаграммный куплоид	{7/2} Гептаграммический куплоид	2
—	{5/4} Перекрещенный пятиугольный куплоид (вверх дном)	{7/4} Перекрещенный гептаграммический куплоид	4

Звездные купола существуют для любого верхнего основания { n / d } , где 6/5 < n / d < 6 , а d нечетно. В этих пределах купола схлопываются в плоские фигуры. За пределами этих пределов треугольники и квадраты больше не могут охватывать расстояние между двумя базовыми многоугольниками (его все еще можно сделать с помощью неравносторонних равнобедренных треугольников и неквадратных прямоугольников). Если d четно, нижнее основание {2 n / d } становится вырожденным; тогда мы можем образовать куполоид или полукупол , извлекая эту вырожденную грань и позволяя треугольникам и квадратам соединяться друг с другом здесь (через одинарные ребра), а не с поздним нижним основанием (через его двойные ребра). В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2} -куполоид.

Все купола ориентируемы , тогда как все куполоиды неориентируемы. Для куполоида, если n / d > 2 , то треугольники и квадраты не покрывают все (единственное) основание, и в этом основании { n / d } -угольнике помещается небольшая мембрана, которая просто покрывает пустое пространство. Следовательно, у {5/2} - и {7/2} -куполоидов, изображенных выше, есть мембраны (не заполненные), тогда как у {5/4} - и {7/4} -куполоидов, изображенных выше, их нет.

Высота h { n / d } -купола или куполоида определяется по формуле: В частности, h = 0 в пределах n / d = 6 и n / d = 6/5 , а h максимальна при n / d = 2 (в двуугольном куполе : треугольной призме, где треугольники расположены вертикально). ^{[1] [2]}$${\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi d}{n}}\right)}}}}.}$$

На изображениях выше куполам звезд дана согласованная цветовая схема, чтобы помочь идентифицировать их грани: основание { n / d } -угольника красное, основание {2 n / d } -угольника желтое, квадраты синие, а треугольники зеленые. У куполоидов основание { n / d } -угольника красное, квадраты желтые, а треугольники синие, поскольку основание {2 n / d } -угольника было изъято.

Гиперкупола или многогранные купола — это семейство выпуклых неоднородных полихор (здесь четырехмерные фигуры), аналогичных куполам. Основания каждого из них — Платоновы тела и его расширения . ^[3]

Имя	Четырехгранный купол		Кубический купол		Восьмигранный купол		Двенадцатигранный купол		Шестиугольный черепичный купол
Символ Шлефли	{3,3} || рр{3,3}		{4,3} || рр{4,3}		{3,4} || рр{3,4}		{5,3} || рр{5,3}		{6,3} || рр{6,3}
Индекс сегментохоры [3]	К4.23		К4.71		К4.107		К4.152
радиус окружности	${\displaystyle 1}$		${\textstyle {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {2}}}{2}}}\approx 1.485634}$		${\textstyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 1.847759}$		${\textstyle 3+{\sqrt {5}}\approx 5.236068}$
Изображение
Крышка ячеек
Вершины	16		32		30		80		∞
Края	42		84		84		210		∞
Лица	42	24 треугольника 18 квадратов	80	32 треугольника 48 квадратов	82	40 треугольников 42 квадрата	194	80 треугольников 90 квадратов 24 пятиугольника	∞
Клетки	16	1 тетраэдр 4 треугольные призмы 6 треугольных призм 4 треугольные пирамиды 1 кубооктаэдр	28	1 куб  6 квадратных призм 12 треугольных призм  8 треугольных пирамид  1  ромбокубооктаэдр	28	1 октаэдр  8 треугольных призм 12 треугольных призм  6 квадратных пирамид  1  ромбокубооктаэдр	64	1 додекаэдр 12 пятиугольных призм 30 треугольных призм 20 треугольных пирамид  1  ромбоикосододекаэдр	∞	1 шестиугольная мозаика ∞ шестиугольные призмы ∞ треугольные призмы ∞ треугольные пирамиды 1 ромботригексагональная мозаика
Связанная однородная полихора	5-клеточный		рунический тессеракт		24-клеточный		120-клеточный		гексагональная черепичная сота с ручьём

• Ортобикупол
• Гиробикупола
• Ротонда

• Джонсон, Н. В. Выпуклые многогранники с правильными гранями. Can. J. Math. 18, 169–200, 1966.

• Вайсштейн, Эрик В. «Купол». Математический мир .
• Сегментотопы