4-многогранник

Графы шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников

{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
5-клеточный пентатоп 4- симплекс	16-ячеечный ортоплекс 4- ортоплекс	8-ячеечный Тессеракт 4- куб
{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
24-ячеечный октаплекс	Тетраплекс 600 ячеек	120-ячеечный Додекаплекс

В геометрии 4-многогранник ( иногда также называемый полихороном , ^[1] полицелеткой или многогранником ) — это четырёхмерный многогранник . ^{[2] [3]} Это связная и замкнутая фигура, состоящая из многогранных элементов меньшей размерности: вершин , рёбер , граней ( полигонов ) и ячеек ( многогранников ). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам. 4-многогранники были открыты швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. ^[4]

Двумерным аналогом 4-мерного многогранника является многоугольник , а трехмерным аналогом — многогранник .

Топологически 4-мерные многогранники тесно связаны с однородными сотами , такими как кубические соты , которые заполняют 3-мерное пространство; аналогично 3-мерный куб связан с бесконечной 2-мерной квадратной мозаикой . Выпуклые 4-мерные многогранники можно разрезать и разворачивать в виде сеток в 3-мерном пространстве.

4-политоп — это замкнутая четырехмерная фигура. Она состоит из вершин (угловых точек), ребер , граней и ячеек . Ячейка — это трехмерный аналог грани, и, следовательно, является многогранником . Каждая грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как каждое ребро многогранника соединяет всего две грани. Как и любой многогранник, элементы 4-политопа не могут быть разделены на два или более множеств, которые также являются 4-политопами, т. е. он не является соединением.

Выпуклые правильные 4-многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел . Наиболее известным 4-многогранником является тессеракт или гиперкуб, 4-мерный аналог куба.

Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как меру 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности круглее своего предшественника, заключая больше содержимого ^[5] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячейка) является предельным наименьшим случаем, а 120-ячейка — наибольшим. Сложность (измеренная путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
Группа симметрии	А 4	Б 4		Ф 4	Н 4
Имя	5-ти ячеечный Гипертетраэдр 5 - точечный	16-ячеечный Гипероктаэдр 8- конечный	8-ячеечный Гиперкуб 16 -точечный	24-ячеечный 24-очковый	600-ячеечный Гиперикосаэдр 120 -точечный	120-ячеечный Гипердодекаэдр 600 - точечный
Символ Шлефли	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Зеркала Коксетера
Зеркальные двугранные углы	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
График
Вершины	5 тетраэдрический	8 октаэдрический	16 тетраэдрический	24 кубических	120 икосаэдрический	600 тетраэдрический
Края	10 треугольных	24 квадрата	32 треугольных	96 треугольный	720 пятиугольный	1200 треугольный
Лица	10 треугольников	32 треугольника	24 квадрата	96 треугольников	1200 треугольников	720 пятиугольников
Клетки	5 тетраэдров	16 тетраэдров	8 кубиков	24 октаэдра	600 тетраэдров	120 додекаэдров
Тори	1 5-тетраэдр	2 8-тетраэдр	2 4-кубовый	4 6-октаэдр	20 30-тетраэдр	12 10-додекаэдр
Надписанный	120 в 120-ячеечной	675 в 120-ячеечной	2 16-ти ячеечные	3 8-ячеечные	25 24-ячеечный	10 600-ячеек
Большие полигоны		2 квадрата х 3	4 прямоугольника х 4	4 шестиугольника x 4	12 декагонов x 6	100 неправильных шестиугольников x 4
Петри полигоны	1 пятиугольник x 2	1 восьмиугольник x 3	2 восьмиугольника x 4	2 двенадцатиугольника x 4	4 30-угольника x 6	20 30-угольников x 4
Длинный радиус	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Длина кромки	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0,270}$
Короткий радиус	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$
Область	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\приблизительно 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\приблизительно 27,713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\приблизительно 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\приблизительно 198,48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\приблизительно 90,366}$
Объем	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\приблизительно 2,329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\приблизительно 5,333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\приблизительно 11,314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Контент	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

Примеры презентаций 24-клеточного

Секционирование		Сеть
Прогнозы
Шлегель	2D ортогональный	3D ортогональный

4-многогранники не могут быть видны в трехмерном пространстве из-за их дополнительного измерения. Для их визуализации используются несколько методов.

Ортогональная проекция

Ортогональные проекции могут использоваться для отображения различных ориентаций симметрии 4-многогранника. Они могут быть нарисованы в 2D как графы вершин-ребер, и могут быть показаны в 3D с твердыми гранями как видимыми проективными оболочками .

Перспективная проекция

Так же, как 3D-форму можно спроецировать на плоский лист, так и 4D-форму можно спроецировать на 3-пространство или даже на плоский лист. Одной из распространенных проекций является диаграмма Шлегеля , которая использует стереографическую проекцию точек на поверхности 3-сферы в три измерения, соединенных прямыми ребрами, гранями и ячейками, нарисованными в 3-пространстве.

Секционирование

Так же, как разрез через многогранник показывает поверхность разреза, разрез через 4-политоп показывает "гиперповерхность" разреза в трех измерениях. Последовательность таких разрезов может быть использована для построения понимания общей формы. Дополнительное измерение может быть приравнено ко времени, чтобы создать плавную анимацию этих поперечных сечений.

Сетки

Развертка 4-мерного многогранника состоит из многогранных ячеек , которые соединены своими гранями и занимают одно и то же трехмерное пространство, точно так же, как многоугольные грани развертки многогранника соединены своими ребрами и занимают одну и ту же плоскость.

Топология любого заданного 4-мерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[6]

Значение характеристики Эйлера, используемое для характеристики многогранников, не обобщается полезным образом на более высокие измерения и равно нулю для всех 4-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[6]

Аналогично, понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных 4-многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[6]

Как и все многогранники, 4-мерные многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 4-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает саму себя, а отрезок прямой, соединяющий любые две точки 4-многогранника, содержится в 4-многограннике или его внутренней части; в противном случае он является невыпуклым . Самопересекающиеся 4-многогранники также известны как звездчатые 4-многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых звездчатых многоугольников и многогранников Кеплера–Пуансо .
• 4-многогранник является правильным, если он транзитивен на своих флагах . Это означает, что его ячейки являются конгруэнтными правильными многогранниками , и аналогично его вершинные фигуры являются конгруэнтными и другого вида правильными многогранниками.
• Выпуклый 4-мерный многогранник является полуправильным , если он имеет группу симметрии , в которой все вершины эквивалентны ( вершинно-транзитивны ), а его ячейки являются правильными многогранниками . Ячейки могут быть двух или более видов, при условии, что они имеют один и тот же вид грани. В 1900 году Торолдом Госсетом было выявлено всего 3 случая : выпрямленный 5-ячейник , выпрямленный 600-ячейник и плосконосый 24-ячейник .
• 4-многогранник является однородным, если он имеет группу симметрии , в которой все вершины эквивалентны, а его ячейки являются однородными многогранниками . Грани однородного 4-многогранника должны быть правильными .
• 4-многогранник является чешуйчатым, если он вершинно-транзитивен и имеет все ребра одинаковой длины. Это допускает ячейки, которые не являются однородными, такие как выпуклые тела Джонсона с правильными гранями .
• Правильный 4-мерный многогранник, который также является выпуклым, называется выпуклым правильным 4-мерным многогранником .
• 4-многогранник призматичен, если он является декартовым произведением двух или более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-многогранник однороден, если его факторы однородны. Гиперкуб призматичен (произведение двух квадратов или куба и отрезка ) , но рассматривается отдельно, поскольку имеет симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов.
• Плитка или соты 3-пространства — это разделение трехмерного евклидова пространства на повторяющуюся сетку многогранных ячеек. Такие плитки или тесселяции бесконечны и не ограничивают объем "4D", а также являются примерами бесконечных 4-многогранников. Однородная плитка 3-пространства — это плитка, вершины которой конгруэнтны и связаны пространственной группой , а ячейки — однородные многогранники .

Ниже перечислены различные категории 4-мерных многогранников, классифицированные в соответствии с указанными выше критериями:

Однородный 4-мерный многогранник ( вершинно-транзитивный ):

• Выпуклые однородные 4-мерные многогранники (64, плюс два бесконечных семейства)
  • 47 непризматических выпуклых однородных 4-мерных многогранников, в том числе:
    • 6 Выпуклый правильный 4-мерный многогранник
  • Призматические однородные 4-мерные многогранники :
    • {} × {p,q} : 18 многогранных гиперпризм (включая кубическую гиперпризму, правильный гиперкуб )
    • Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
    • {p} × {q}: дуопризмы (бесконечное семейство)
• Невыпуклые однородные 4-мерные многогранники (10 + неизвестные)

  

  • 10 (правильных) многогранников Шлефли-Гесса
  • 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многогранниках
  • Неизвестное общее число невыпуклых однородных 4-мерных многогранников: Норман Джонсон и другие коллеги определили 2191 форму (выпуклую и звездообразную, за исключением бесконечных семейств), все они построены вершинными фигурами с помощью программного обеспечения Stella4D . ^[7]

Другие выпуклые 4-мерные многогранники :

• Многогранная пирамида
• Многогранная бипирамида
• Многогранная призма

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники евклидова 3-мерного пространства (однородные мозаики выпуклых однородных ячеек)

• 28 выпуклых однородных сот : однородные выпуклые многогранные мозаики, в том числе:
  • 1 правильная мозаика, кубические соты : {4,3,4}

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники гиперболического 3-мерного пространства (однородные мозаики выпуклых однородных ячеек)

• 76 Витхоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве , в том числе:
  • 4 регулярное разбиение компактного гиперболического 3-пространства : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойственный однородный 4-многогранник ( ячеечно-транзитивный ):

• 41 уникальный двойной выпуклый однородный 4-многогранник
• 17 уникальных двойных выпуклых однородных многогранных призм
• бесконечное семейство двойных выпуклых однородных дуопризм (неправильные тетраэдрические ячейки)
• 27 уникальных выпуклых двойных однородных сот, в том числе:
  • Ромбические додекаэдрические соты
  • Дисфеноидные тетраэдрические соты

Другие:

• Структура Уэйра-Фелана , периодическая заполняющая пространство сотовая структура с нерегулярными ячейками

Абстрактные правильные 4-мерные многогранники :

• 11-ячеечный
• 57-ячеечный

Эти категории включают только 4-многогранники, которые демонстрируют высокую степень симметрии. Возможны и многие другие 4-многогранники, но они не были изучены так подробно, как те, которые включены в эти категории.

• Правильный 4-мерный многогранник
• 3-сфера – аналог сферы в 4-мерном пространстве. Это не 4-политоп, так как он не ограничен многогранными ячейками.
• Дуоцилиндр — это фигура в 4-мерном пространстве, связанная с дуопризмами . Он также не является 4-мерным многогранником, поскольку его ограничивающие объемы не являются многогранными.

• HSM Коксетер :
  • Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller : Однородные многогранники , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
    • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH Conway и MJT Guy : Четырехмерные архимедовы многогранники , Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [2] Архивировано 22.03.2005 на Wayback Machine

На Викискладе есть медиафайлы по теме 4-многогранники .

• Вайсштейн, Эрик В. «Полихор». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула многогранника». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Регулярные полихоронные характеристики Эйлера". MathWorld .
• Равномерная Полихора, Джонатан Бауэрс
• Uniform polychoron Viewer - Java3D Applet с исходниками
• Р. Клитцинг, полихора