Шестиугольная плитка в виде сот

Шестиугольная плитка в виде сот
Перспективный проекционный вид в модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические регулярные соты Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	{6,3,3} т{3,6,3} 2т{6,3,6} 2т{6,3 [3] } т{3 [3,3] }
Диаграммы Коксетера	↔↔↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестиугольник {6}
Крайняя фигура	треугольник {3}
Вершинная фигура	тетраэдр {3,3}
Двойной	Тетраэдрические соты порядка 6
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,6,3] , [6,3,6] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] ${\displaystyle {\overline {Y}}_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {ВП}}_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {ПП}}_{3}}$
Характеристики	Обычный

В области гиперболической геометрии гексагональная мозаика соты является одной из 11 правильных паракомпактных сот в 3-мерном гиперболическом пространстве . Она является паракомпактной, поскольку имеет ячейки, состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой гексагональную мозаику , вершины которой лежат на орисфере , поверхности в гиперболическом пространстве, которая стремится к единственной идеальной точке на бесконечности.

Символ Шлефли шестиугольной мозаики сот — {6,3,3}. Поскольку символ шестиугольной мозаики — {6,3}, то эти соты имеют три таких шестиугольных мозаики, встречающихся на каждом ребре. Поскольку символ Шлефли тетраэдра — {3,3}, то вершинная фигура этих сот — тетраэдр. Таким образом, четыре шестиугольных мозаики встречаются на каждой вершине этих сот, шесть шестиугольников встречаются на каждой вершине, и четыре ребра встречаются на каждой вершине. ^[1]

Рассматриваемое в перспективе вне модели диска Пуанкаре , изображение выше показывает одну шестиугольную ячейку мозаики внутри сот и ее орисферу среднего радиуса (орисфера, инцидентная серединам ребер). В этой проекции шестиугольники бесконечно уменьшаются по направлению к бесконечной границе, асимптотируясь к одной идеальной точке. Это можно рассматривать как похожее на апейрогональную мозаику порядка 3 , {∞,3} H ² , с орициклами, описывающими вершины апейрогональных граней.

{6,3,3}	{∞,3}
Одна шестиугольная ячейка мозаики шестиугольных сот мозаики	Апейрогональная мозаика порядка 3 с зеленым апейрогоном и его орициклом

Всего имеется пять отражательных конструкций из пяти родственных групп Коксетера, все с четырьмя зеркалами, и только первая из них является регулярной:[6,3,3],[3,6,3],[6,3,6],[6,3 ^[3] ] и [3 ^[3,3] ], имеющие в 1, 4, 6, 12 и 24 раза большие фундаментальные домены соответственно . В разметке подгрупп нотации Коксетера они связаны как: [6,(3,3) ^* ] (удалить 3 зеркала, подгруппа индекса 24); [3,6,3 ^* ] или [3 ^* ,6,3] (удалить 2 зеркала, подгруппа индекса 6); [1 ⁺ ,6,3,6,1 ⁺ ] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 ^[3,3] ]. Кольцевые диаграммы Коксетера,,,и, представляющие различные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Витхоффа .

Шестиугольные соты мозаики являются правильными гиперболическими сотами в трехмерном пространстве и одними из 11, которые являются паракомпактными.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Это одна из 15 однородных паракомпактных сот в группе Коксетера [6,3,3], наряду с ее двойственной — тетраэдрической сотой порядка 6 .

[6,3,3] семейные соты
{6,3,3}	г{6,3,3}	т{6,3,3}	рр{6,3,3}	т 0,3 {6,3,3}	тр{6,3,3}	т 0,1,3 {6,3,3}	т 0,1,2,3 {6,3,3}
{3,3,6}	г{3,3,6}	т{3,3,6}	рр{3,3,6}	2т{3,3,6}	тр{3,3,6}	т 0,1,3 {3,3,6}	т 0,1,2,3 {3,3,6}

Он является частью последовательности правильных многогранников , которые включают 5-ячеечный {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} и 120-ячеечный {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства, а также другие гиперболические соты, содержащие тетраэдрические вершинные фигуры .

{p,3,3} соты
Космос		С 3			Н 3
Форма		Конечный			Паракомпактный	Некомпактный
Имя		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	... {∞,3,3}
Изображение
Диаграммы Коксетера	1
	4
	6
	12
	24
Клетки {p,3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является частью последовательности правильных сот вида {6,3,p}, каждая из которых состоит из шестиугольных ячеек мозаики:

{6,3, p } соты в т е
Космос	Н 3
Форма	Паракомпактный				Некомпактный
Имя	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Коксетер
Изображение
Вершинная фигура {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Ректифицированная шестиугольная плитка в виде сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	г{6,3,3} или т 1 {6,3,3}
Диаграммы Коксетера	↔
Клетки	{3,3} г{6,3} или
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленная шестиугольная черепичная сота , t ₁ {6,3,3},имеет тетраэдрические и тригексагональные мозаичные грани с вершиной в виде треугольной призмы .В конструкции полусимметрии чередуются два типа тетраэдров.

Шестиугольная плитка в виде сот	Ректифицированная шестиугольная плитка в виде сот или
Связанные мозаики H 2
Апейрогональная мозаика порядка 3	Триапирогональная мозаика или

Усеченные шестиугольные соты для мозаичной укладки
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т{6,3,3} или т 0,1 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{3,3} т{6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	треугольная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченная шестиугольная черепица-сота , t _0,1 {6,3,3},имеет четырехгранные и усеченные шестиугольные мозаичные грани с вершиной в виде треугольной пирамиды .

Он похож на двумерную гиперболическую усеченную апейрогональную мозаику порядка 3 , t{∞,3} с апейрогональными и треугольными гранями:

Усеченные шестиугольные соты для мозаики Усеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	2т{6,3,3} или т 1,2 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	т{3,3} т{3,6}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	двуугольный двуклиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6] , [3,3 [3] ] ${\displaystyle {\overline {P}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты черепицы или усеченные тетраэдрические соты порядка 6 , t _1,2 {6,3,3},имеет ячейки мозаики в виде усеченного тетраэдра и шестиугольника с вершинной фигурой в виде двуугольного клиновидного треугольника .

Шестиугольная клинчатая черепица в виде сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	рр{6,3,3} или т 0,2 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	г{3,3} рр{6,3} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенная шестиугольная черепица в виде сот , t _0,2 {6,3,3},имеет ячейки в виде октаэдра , ромботригексагональной мозаики и треугольной призмы с клиновидной вершиной .

Усеченные шестиугольные соты для мозаичной плитки
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	tr{6,3,3} или t 0,1,2 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{3,3} тр{6,3} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты черепицы , t _0,1,2 {6,3,3},имеет ячейки в виде усеченного тетраэдра , усеченного тригексагонального мозаичного изображения и треугольной призмы с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Шестиугольные соты с рифленой поверхностью
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,3 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	{3,3} {6,3} {}×{6} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	неправильная треугольная антипризма
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Струящаяся шестиугольная черепичная сота , t _0,3 {6,3,3},имеет ячейки в виде тетраэдра , шестиугольной мозаики , шестиугольной призмы и треугольной призмы с вершинной фигурой в виде неправильной треугольной антипризмы .

Усеченные шестиугольные соты для мозаичной плитки
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,1,3 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	рр{3,3} {}x{3} {}x{12} т{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты черепицы , t _0,1,3 {6,3,3},имеет ячейки мозаики в виде кубооктаэдра , треугольной призмы , двенадцатиугольной призмы и усеченного шестиугольника с вершиной в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Runcicantellated шестиугольная черепица сотовая усеченная ранцикантеллированная тетраэдрическая сотовая порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,2,3 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{3,3} {}x{6} рр{6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты или усеченные тетраэдрические соты порядка 6 , t _0,2,3 {6,3,3},имеет ячейки мозаики в виде усеченного тетраэдра , шестиугольной призмы и ромботригексагональной плитки с вершиной в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Усеченные шестиугольные соты мозаики Усеченные тетраэдрические соты порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {6,3,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки	тр{3,3} {}x{6} {}x{12} тр{6,3}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатиугольник {12}
Вершинная фигура	неправильный тетраэдр
Группы Коксетера	${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные шестиугольные соты мозаики или усеченные тетраэдрические соты порядка 6 , t _0,1,2,3 {6,3,3},имеет ячейки мозаики в виде усеченного октаэдра , шестиугольной призмы , двенадцатиугольной призмы и усеченного тригексагона с вершиной в виде неправильного тетраэдра .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты
• Чередующиеся шестиугольные соты с мозаикой

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве. Архивировано 10 июня 2016 г. на Wayback Machine ) Таблица III 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I,II) 
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Размер гиперболического симплекса Коксетера , Transformation Groups (1999), том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [1] [2]
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Классы соизмеримости гиперболических групп Коксетера , (2002) H ³ : стр. 130. [3]

• Джон Баез , Visual Insight : {6,3,3} Honeycomb (2014/03/15)
• Джон Баез , Visual Insight : {6,3,3} Соты в верхнем полупространстве (2013/09/15)
• Джон Баез , Visual Insight : усеченные соты {6,3,3} (2016/12/01)