Равномерные соты в гиперболическом пространстве

Замощение гиперболического 3-мерного пространства однородными многогранниками

Нерешенная задача по математике :

Найдите полный набор гиперболических однородных сот.

В гиперболической геометрии однородные соты в гиперболическом пространстве — это однородная мозаика однородных многогранных ячеек . В трехмерном гиперболическом пространстве существует девять семейств групп Кокстера компактных выпуклых однородных сот , сгенерированных как конструкции Вайтхоффа и представленных перестановками колец диаграмм Кокстера для каждого семейства.

Четыре компактных правильных гиперболических соты
Проекции шаровой модели Пуанкаре
Додекаэдрические соты 4-го порядка ${5,3,4}$	Додекаэдрические соты 5-го порядка ${5,3,5}$
Заказ-5 кубические соты ${4,3,5}$	Икосаэдрические соты ${3,5,3}$

Гиперболические однородные сотовые семейства

Соты делятся на компактные и паракомпактные формы, определяемые группами Коксетера , причем первая категория включает только конечные ячейки и вершинные фигуры (конечные подгруппы), а вторая включает аффинные подгруппы.

Компактные однородные сотовые семьи

Девять компактных групп Коксетера перечислены здесь вместе с их диаграммами Коксетера ^[1] в порядке относительных объемов их фундаментальных симплексных областей ^[2] .

Эти 9 семейств генерируют в общей сложности 76 уникальных однородных сот. Полный список гиперболических однородных сот не был доказан, и неизвестное количество не-Витхоффовых форм существует. Два известных примера приведены с семейством {3,5,3} ниже. Только два семейства связаны как зеркальное удаление пополам: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,3,4,1 ⁺ ].

Индексированный	Фундаментальный симплексный объем ^[2]	Символ Витта	нотация Коксетера	Подгруппа коммутатора	Соты
Н ₁	0,0358850633	${\bar {BH}}_{3}$	[5,3,4]	[(5,3) ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [5,3 ^1,1 ] ⁺	15 форм, 2 обычных
Н ₂	0,0390502856	${\bar {J}}_{3}$	[3,5,3]	[3,5,3] ⁺	9 форм, 1 обычная
Н ₃	0,0717701267	${\bar {DH}}_{3}$	[5,3 ^1,1 ]	[5,3 ^1,1 ] ⁺	11 форм (7 совпадают с семейством [5,3,4], 4 уникальны)
Н ₄	0,0857701820	${\widehat {AB}}_{3}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)] ⁺	9 форм
Н ₅	0,0933255395	${\bar {K}}_{3}$	[5,3,5]	[5,3,5] ⁺	9 форм, 1 обычная
Н ₆	0,2052887885	${\widehat {AH}}_{3}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)] ⁺	9 форм
Н ₇	0.2222287320	${\widehat {BB}}_{3}$	[(4,3) ^[2] ]	[(4,3 ⁺ ,4,3 ⁺ )]	6 форм
Н ₈	0,3586534401	${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)] ⁺	9 форм
Н ₉	0,5021308905	${\widehat {HH}}_{3}$	[(5,3) ^[2] ]	[(5,3) ^[2] ] ⁺	6 форм

Есть только две радикальные подгруппы с несимплициальными доменами, которые могут быть получены путем удаления набора из двух или более зеркал, разделенных всеми другими зеркалами четными ветвями. Одна из них — [(4,3,4,3 ^* )], представленная диаграммами Коксетераподгруппа индекса 6 с фундаментальной областью в виде тригонального трапецоэдра ↔, который можно расширить, восстановив одно зеркало как. Другой — [4,(3,5) ^* ], индекс 120 с додекаэдрической фундаментальной областью.

Паракомпактные гиперболические однородные соты

Существует также 23 паракомпактных группы Коксетера ранга 4, которые производят паракомпактные однородные соты с бесконечными или неограниченными гранями или вершинными фигурами , включая идеальные вершины на бесконечности.

Резюме гиперболической паракомпактной группы
Тип	Группы Коксетера
Линейные графики	\|\|\|\|\|\|
Трехзубчатые графы	\|\|
Циклические графики	\|\|\|\|\|\|\|\|
Графики Loop-n-tail	\|\|\|

Другие паракомпактные группы Коксетера существуют как фундаментальные домены многогранников Винберга , включая эти треугольные бипирамидальные фундаментальные домены (двойные тетраэдры) как графы ранга 5, включая параллельные зеркала. Однородные соты существуют как все перестановки колец в этих графах, с ограничением, что по крайней мере один узел должен быть окольцован через бесконечные ветви порядка.

Измерение	Классифицировать	Графики
Н ³	5	,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,

[3,5,3] семья

Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [3,5,3] или

Одна связанная невитхоффова форма построена из вершинной фигуры {3,5,3} с удаленными 4 (тетраэдрически расположенными) вершинами, создавая пентагональные антипризмы и додекаэдры, заполняющие промежутки, называемые тетраэдрически уменьшенным додекаэдром . ^[3] Другая построена с удаленными 2 антиподными вершинами. ^[4]

Усеченные и укороченные формы (5 и 6) содержат грани двух правильных косых многогранников : {4,10|3} и {10,4|3}.

#	Название сот, диаграмма Коксетера и символы Шлефли	Количество ячеек/вершин и позиций в сотах				Вершинная фигура	Картина
#	Название сот, диаграмма Коксетера и символы Шлефли	0	1	2	3	Вершинная фигура	Картина
1	икосаэдрический (ихон) т ₀ {3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	выпрямленный икосаэдр (пвх) т ₁ {3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	усеченный икосаэдр (tih) т _0,1 {3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	конусообразный икосаэдр (срих) т _0,2 {3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	сморщенный икосаэдр (спиддих) т _0,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	битусечённый икосаэдр (dih) т _1,2 {3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	кантиусеченный икосаэдр (грих) т _0,1,2 {3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	усеченный икосаэдр (prih) т _0,1,3 {3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	всеусеченный икосаэдр (гипиддих) т _0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

#	Название сот, диаграмма Коксетера и символы Шлефли	Количество ячеек/вершин и позиций в сотах					Вершинная фигура	Картина
#	Название сот, диаграмма Коксетера и символы Шлефли	0	1	2	3	Альт	Вершинная фигура	Картина
[77]	частично уменьшенный икосаэдрический (пидих) pd{3,5,3} ^[5]				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
[78]	полу-частично уменьшенная икосаэдрическая spd{3,5,3} ^[4]				(6) (3.3.3.5) (6) (3.3.3.3.3)	(2) (5.5.5)
Неравномерный	всеносколый икосаэдр (snih) хт _0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,4] семья

Существует 15 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [5,3,4] или.

Это семейство связано с группой [5,3 ^1,1 ] полусимметрией [5,3,4,1 ⁺ ], или↔, когда последнее зеркало после ветви порядка 4 неактивно, или как чередование, если третье зеркало неактивно↔.

#	Название сотовой диаграммы Коксетера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину				Вершинная фигура	Картина
#	Название сотовой диаграммы Коксетера	0	1	2	3	Вершинная фигура	Картина
10	додекаэдрический порядок 4 (доэхон) ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	выпрямленный додекаэдрический порядок-4 (риддох) ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	ректифицированный порядок-5 кубический (рипеч) ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	заказ-5 кубический (печон)	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	усеченный додекаэдр 4-го порядка (тиддох) ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	битусеченный порядок-5 кубический (ciddoh) ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	усеченный порядок-5 кубический (типех)	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	додекаэдрический конусный порядок-4 (sriddoh) ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	скошенный порядок-5 кубический (sripech)	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	runcinated заказ-5 кубический (sidpicdoh)	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	усеченный додекаэдр четвертого порядка (griddoh) ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21	усеченный порядок-5 кубический (грипех)	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	ранциусеченный порядок-4 додекаэдрический (припеч)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	runcitucated order-5 кубический (priddoh)	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	усеченный порядок-5 кубический (гидпикдох)	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Название сотовой диаграммы Коксетера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину					Вершинная фигура	Картина
#	Название сотовой диаграммы Коксетера	0	1	2	3	Альт	Вершинная фигура	Картина
[34]	чередующийся порядок-5 кубический (apech) ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	кантический ордер-5 кубический (тапеч) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	рунический порядок-5 кубический (бирапеч) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	порядок руникантный-5 кубический (битапеч) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
Неравномерный	плосконосый выпрямленный порядок-4 додекаэдрический	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)	Ирр. трехмерный икосаэдр
Неравномерный	рунический курносый выпрямленный порядок-4 додекаэдрический	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+ (3.3.3)
Неравномерный	заказ омниснуб-5 кубический	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,5] семья

Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [5,3,5] или

Усеченные и укороченные формы (29 и 30) содержат грани двух правильных косых многогранников : {4,6|5} и {6,4|5}.

#	Название сотовой диаграммы Коксетера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину				Вершинная фигура	Картина
#	Название сотовой диаграммы Коксетера	0	1	2	3	Вершинная фигура	Картина
25	(Обычный) Додекаэдр 5-го порядка (педон) т ₀ {5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	выпрямленный додекаэдрический порядок 5 (разорванный) т ₁ {5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	усеченный додекаэдрический порядок 5 (с вершиной) т _0,1 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28	скошенный порядок-5 додекаэдр (оторванный) т _0,2 {5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	Runcinated порядок-5 додекаэдр (с зазубринами) т _0,3 {5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	битусечённый додекаэдрический порядок 5 (диддох) т _1,2 {5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31	усеченный додекаэдрический порядок 5 (зажатый) т _0,1,2 {5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	усеченный порядок-5 додекаэдрический (приплюснутый) т _0,1,3 {5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	всеусеченный порядок-5 додекаэдрический (гипидированный) т _0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Название сотовой диаграммы Коксетера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину					Вершинная фигура	Картина
#	Название сотовой диаграммы Коксетера	0	1	2	3	Альт	Вершинная фигура	Картина
Неравномерный	омниснобовый порядок-5 додекаэдрический ht _0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3^1,1] семья

Существует 11 форм (и только 4 из них не входят в семейство [5,3,4]), порожденных перестановками колец группы Коксетера : [5,3 ^1,1 ] или. Если состояния кольца ветвления совпадают, расширенная симметрия может удвоиться в семействе [5,3,4],↔.

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)				вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0	1	0'	3	вершинная фигура	Картина
34	чередующийся порядок-5 кубический (apech) ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35	кантический ордер-5 кубический (тапеч) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	рунический порядок-5 кубический (бирапеч) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	порядок руникантный-5 кубический (битапеч) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

#	Название сот Диаграмма Коксетера ↔	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)				вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера ↔	0	1	3	Альт	вершинная фигура	Картина
[10]	Додекаэдр 4-го порядка (доэхон) ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	выпрямленный додекаэдрический порядок-4 (риддох) ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	ректифицированный порядок-5 кубический (рипеч) ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	битусеченный порядок-5 кубический (ciddoh) ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	усеченный додекаэдр 4-го порядка (тиддох) ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	додекаэдрический конусный порядок-4 (sriddoh) ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	усеченный додекаэдр четвертого порядка (griddoh) ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
Неравномерный	плосконосый выпрямленный порядок-4 додекаэдрический ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) + (3.3.3)	Ирр. трехмерный икосаэдр

[(4,3,3,3)] семья

Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :

Усеченные и укороченные формы (41 и 42) содержат грани двух правильных косых многогранников : {8,6|3} и {6,8|3}.

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)					вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0	1	2	3	Альт	вершинная фигура	Картина
38	тетраэдрально-кубический (гадтадический) {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	тетраэдрально-октаэдрический (гакокаддит) {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	циклоусеченный тетраэдрально-кубический (цитич) ct{(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41	циклоусеченный куб-тетраэдр (цитит) ct{(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	циклоусеченный октаэдр-тетраэдр (цитот) ct{(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43	выпрямленный тетраэдрально-кубический (рич) г{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44	усеченный тетраэдрально-кубический (стежок) т{(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	усеченный тетраэдр-октаэдр (титдох) т{(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	всеусеченный тетраэдрально-кубический (отич) тр{(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
Неравномерный	всеносколый тетраэдрально-кубический ср{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,3,3)] семья

Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :

Усеченные и укороченные формы (50 и 51) содержат грани двух правильных косых многогранников : {10,6|3} и {6,10|3}.

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)				вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0	1	2	3	вершинная фигура	Картина
47	тетраэдрально-додекаэдрический	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	тетраэдрально-икосаэдрический	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	циклоусеченный тетраэдр-додекаэдр	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	выпрямленный тетраэдрально-додекаэдрический	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	усеченный тетраэдр-додекаэдр	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	усеченный тетраэдр-икосаэдр	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)			вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0,1	2,3	Альт	вершинная фигура	Картина
50	циклоусеченный додекаэдр-тетраэдр	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	циклоусеченный тетраэдр-икосаэдр	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	всеусеченный тетраэдрально-додекаэдрический	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
Неравномерный	всенососудистый тетраэдрический-додекаэдрический	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,4,3)] семья

Существует 6 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :. На основе симметрии колец возможны 4 расширенные симметрии:,,, и.

Это семейство симметрии также связано с радикальной подгруппой индекса 6,↔, построенный по формуле [(4,3,4,3 ^* )], и представляющий собой фундаментальную область в форме тригонального трапецоэдра .

Усеченные формы (57 и 58) содержат грани двух правильных косых многогранников : {6,6|4} и {8,8|3}.

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)				вершинная фигура	Фотографии
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0	1	2	3	вершинная фигура	Фотографии
56	кубо-октаэдрический (кохон)	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	усеченный кубо-октаэдрический (тукох)	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)			вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0,3	1,2	Альт	вершинная фигура	Картина
57	циклоусеченный октаэдрически-кубический (цитох)	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
Неравномерный	циклоплоский октаэдрический-кубический	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) + (3.3.3.3)

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)		вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0,1	2,3	вершинная фигура	Картина
58	циклоусеченный кубо-октаэдрический (цитакох)	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)		вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0,2	1,3	вершинная фигура	Картина
59	выпрямленный кубо-октаэдрический (racoh)	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)		вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0,1,2,3	Альт	вершинная фигура	Картина
61	всеусеченный кубо-октаэдрический (отакох)	(4) (4.6.8)
Неравномерный	всенощёкий кубо-октаэдрический	(4) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,5,3)] семья

Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :

Усеченные формы (65 и 66) содержат грани двух правильных косых многогранников : {10,6|3} и {6,10|3}.

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)				вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0	1	2	3	вершинная фигура	Картина
62	октаэдрический-додекаэдрический	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	кубо-икосаэдрический	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	циклоусеченный октаэдрический-додекаэдрический	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	выпрямленный октаэдрический-додекаэдрический	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	усеченный октаэдрический-додекаэдрический	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	усеченный кубо-додекаэдрический	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)			вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0,1	2,3	Альт	вершинная фигура	Картина
65	циклоусеченный додекаэдр-октаэдр	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	циклоусеченный кубико-икосаэдрический	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	всеусеченный октаэдрический-додекаэдрический	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
Неравномерный	всенососудистый октаэдрический-додекаэдрический	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,5,3)] семья

Существует 6 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :. На основе симметрии колец возможны 4 расширенные симметрии:,,, и.

Усеченные формы (72 и 73) содержат грани двух правильных косых многогранников : {6,6|5} и {10,10|3}.

#	Название сот Диаграмма Коксетера	Ячейки по местоположению (и количество вокруг каждой вершины)					вершинная фигура	Картина
#	Название сот Диаграмма Коксетера	0	1	2	3	Альт	вершинная фигура	Картина
71	додекаэдрический-икосаэдрический	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	циклоусеченный икосаэдр-додекаэдр	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	циклоусеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	выпрямленный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	усеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	всеусеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
Неравномерный	всенососудистый додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

Другие не-Витхоффианцы

Существует бесконечно много известных не-Витхоффовых однородных компактных гиперболических сот, и может быть больше неоткрытых. Две из них были перечислены выше как уменьшения икосаэдрических сот {3,5,3}. ^[6]

В 1997 году Венди Кригер открыла бесконечную серию однородных гиперболических сот с псевдоикосаэдрическими вершинными фигурами, сделанными из 8 кубов и 12 p -угольных призм в вершине для любого целого числа p . В случае p = 4 все ячейки являются кубами, и результатом являются кубические соты порядка 5. Случай p = 2 вырождается в евклидовы кубические соты . ^[6]

Еще четыре известных относятся к некомпактным семействам. Тесселяциясостоит из усеченных кубов и бесконечные треугольные мозаики порядка 8 . Однако последние пересекают сферу на бесконечности ортогонально, имея точно такую же кривизну, как и гиперболическое пространство, и могут быть заменены зеркальными отображениями оставшейся части мозаики, что приводит к компактным однородным сотам, состоящим только из усеченных кубов. (Таким образом, они аналогичны полуграням сферических полумногогранников .) ^[6]^[7] Нечто подобное можно сделать с мозаикойсостоящий из малых ромбокубооктаэдров , бесконечные треугольные мозаики порядка 8 и бесконечные квадратные мозаики порядка 8 . Квадратные мозаики порядка 8 уже пересекают сферу на бесконечности ортогонально, и если треугольные мозаики порядка 8 дополнены набором треугольных призм , поверхность, проходящая через их центральные точки, также пересекает сферу на бесконечности ортогонально. После замены зеркальными изображениями получается компактная сотовая структура, содержащая малые ромбокубооктаэдры и треугольные призмы. ^[8] Еще две такие конструкции были обнаружены в 2023 году. Первая возникает из того факта, чтоиимеют одинаковый радиус описанной окружности; первый имеет усеченные октаэдры и квадратные мозаики порядка 6 , в то время как последний имеет кубооктаэдры и квадратные мозаики порядка 6. Компактная однородная сотовая структура получается путем отбрасывания общих для них квадратных мозаик порядка 6, используя только усеченные октаэдры и кубооктаэдры. Вторая сотовая структура возникает из аналогичной конструкции, включающей(который имеет небольшие ромбоикосододекаэдры , октаэдры , и пятиугольные мозаики порядка 4 ) и(которая является призмой пятиугольной мозаики порядка 4, имеющей пятиугольные призмы и пятиугольные мозаики порядка 4). Эти два квадрата также имеют одинаковый радиус описанной окружности, и компактная однородная сота получается путем использования только конечных ячеек обоих квадратов, отбрасывая общие для них пятиугольные мозаики порядка 4. ^[9]

Еще один не-витхоффиан был обнаружен в 2021 году. Он имеет в качестве вершинной фигуры плосконосый куб с 8 удаленными вершинами и содержит два октаэдра и восемь плосконосых кубов в каждой вершине. ^[6] Впоследствии Кригер нашел не-витхоффиан с плосконосым кубом в качестве вершинной фигуры, содержащий 32 тетраэдра и 6 октаэдров в каждой вершине, и что усеченные и выпрямленные версии этих сот по-прежнему однородны. В 2022 году Ричард Клитцинг обобщил эту конструкцию, чтобы использовать любые плосконосыекак вершинная фигура: результат компактен для p=4 или 5 (с вершинной фигурой в виде плосконосого куба или плосконосого додекаэдра соответственно), паракомпактен для p=6 (с плосконосой тригексагональной мозаикой в качестве вершинной фигуры) и гиперкомпактен для p>6. Опять же, усеченные и выпрямленные версии этих сот по-прежнему однородны. ^[6]

Существуют также другие формы, основанные на параллелепипедных доменах. Две известные формы обобщают кубо-октаэдрические соты , имея искаженные малые ромбокубооктаэдрические вершинные фигуры. Одна форма имеет малые ромбокубооктаэдры, кубооктаэдры и кубы; другая имеет малые ромбокосододекаэдры, икосододекаэдры и кубы. (Версия с тетраэдрическими симметрийными многогранниками — это кубо-октаэдрические соты, использующие кубооктаэдры, октаэдры и кубы). ^[9]

Сводный перечень компактных однородных сот

Это полный перечень 76 однородных сот Витхоффа. Чередования перечислены для полноты, но большинство из них неоднородны.

Индекс	Группа Коксетера	Расширенная симметрия	Соты		Хиральная расширенная симметрия	Чередование сот
Н ₁	${\bar {BH}}_{3}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	\|\|\|\| \|\|\|\| \|\|\|\|	[1 ⁺ ,4,(3,5) ⁺ ]	(2)	(=)
Н ₁	${\bar {BH}}_{3}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	\|\|\|\| \|\|\|\| \|\|\|\|	[4,3,5] ⁺	(1)
Н ₂	${\bar {J}}_{3}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6	\|\|\|\|\|
Н ₂	${\bar {J}}_{3}$ [3,5,3]	[2 ⁺ [3,5,3]]	5	\|\|	[2 ⁺ [3,5,3]] ⁺	(1)
Н ₃	${\bar {DH}}_{3}$ [5,3 ^1,1 ]	[5,3 ^1,1 ]	4	\|\|\|
Н ₃	${\bar {DH}}_{3}$ [5,3 ^1,1 ]	[1[5,3 ^1,1 ]]=[5,3,4] ↔	(7)	\|\|\|\|\|\|	[1[5,3 ^1,1 ]] ⁺ =[5,3,4] ⁺	(1)
Н ₄	${\widehat {AB}}_{3}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6	\|\|\|\|\|
Н ₄	${\widehat {AB}}_{3}$ [(4,3,3,3)]	[2 ⁺ [(4,3,3,3)]]	3	\|\|	[2 ⁺ [(4,3,3,3)]] ⁺	(1)
Н ₅	${\bar {K}}_{3}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6	\|\|\|\|\|
Н ₅	${\bar {K}}_{3}$ [5,3,5]	[2 ⁺ [5,3,5]]	3	\|\|	[2 ⁺ [5,3,5]] ⁺	(1)
Н ₆	${\widehat {AH}}_{3}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6	\|\|\|\|\|
Н ₆	${\widehat {AH}}_{3}$ [(5,3,3,3)]	[2 ⁺ [(5,3,3,3)]]	3	\|\|	[2 ⁺ [(5,3,3,3)]] ⁺	(1)
Н ₇	${\widehat {BB}}_{3}$ [(3,4) ^[2] ]	[(3,4) ^[2] ]	2	\|
		[2 ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1		[2 ⁺ [(3 ⁺ ,4) ^[2] ]]	(1)
		[(2,2) ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1		[(2,2) ⁺ [(3,4) ^[2] ]] ⁺	(1)
Н ₈	${\widehat {BH}}_{3}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6	\|\|\|\|\|
Н ₈	${\widehat {BH}}_{3}$ [(5,3,4,3)]	[2 ⁺ [(5,3,4,3)]]	3	\|\|	[2 ⁺ [(5,3,4,3)]] ⁺	(1)
Н ₉	${\widehat {HH}}_{3}$ [(3,5) ^[2] ]	[(3,5) ^[2] ]	2	\|
		[2 ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1
		[(2,2) ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1		[(2,2) ⁺ [(3,5) ^[2] ]] ⁺	(1)

Смотрите также

Примечания

^ Хамфрис, 1990, стр. 141, 6.9 Список гиперболических групп Коксетера, рисунок 2 [1]
^ ab Феликсон, 2002
↑ Венди И. Кригер, Стены и мосты: вид из шести измерений, Симметрия: Культура и наука Том 16, Номер 2, страницы 171–192 (2005) [2]
^ ab д-р Ричард Клитцинг. "Spd{3,5,3}". bendwavy.org.
^ Доктор Ричард Клитцинг. "Pd{3,5,3}". bendwavy.org.
^ abcde «Гиперболические мозаики».
^ "x4x3o8o".
^ "lt-o8o4xb3x".
^ ab «Гиперболические мозаики – треугольные призматические домены».

Ссылки

J. Humphreys (1990), Reflection Groups и Coxeter Groups , Cambridge studies in advanced mathematics, 29
HSM Coxeter (1954), "Регулярные соты в гиперболическом пространстве" Труды Международного конгресса математиков , т. 3, Норт-Холланд, стр. 155–169. Перепечатано как гл. 10 в Coxeter (1999), Красота геометрии: Двенадцать эссе , Дувр, ISBN 0-486-40919-8
HSM Coxeter (1973), Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
J. Weeks Форма пространства , 2-е изд. ISBN 0-8247-0709-5 , Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II
А. Феликсон (2002), «Кокстеровские разложения гиперболических тетраэдров» (препринт) arXiv :math/0212010
CWL Garner, Правильные косые многогранники в гиперболическом трехмерном пространстве Can. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [3] Архивировано 2015-04-02 на Wayback Machine
NW Johnson (2018), Геометрии и преобразования , Главы 11–13
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz (1999), Размер гиперболического симплекса Коксетера , Группы преобразований, том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [4]
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Классы соизмеримости гиперболических групп Коксетера H ³ : стр. 130. [5]
Клитцинг, Ричард. «Гиперболические соты H3 compact».

[1] Хамфрис, 1990, стр. 141, 6.9 Список гиперболических групп Коксетера, рисунок 2 [1]

[Felikson,_2002-2] Феликсон, 2002

[3] Венди И. Кригер, Стены и мосты: вид из шести измерений, Симметрия: Культура и наука Том 16, Номер 2, страницы 171–192 (2005) [2]

[klitzing-4] д-р Ричард Клитцинг. "Spd{3,5,3}". bendwavy.org.

[5] Доктор Ричард Клитцинг. "Pd{3,5,3}". bendwavy.org.

[klitzing2-6] «Гиперболические мозаики».

[klitzing3-7] "x4x3o8o".

[klitzing4-8] "lt-o8o4xb3x".

[klitzing5-9] «Гиперболические мозаики – треугольные призматические домены».

Равномерные соты в гиперболическом пространстве

Гиперболические однородные сотовые семейства

Компактные однородные сотовые семьи

Паракомпактные гиперболические однородные соты

[3,5,3] семья

[5,3,4] семья

[5,3,5] семья

[5,31,1] семья

[(4,3,3,3)] семья

[(5,3,3,3)] семья

[(4,3,4,3)] семья

[(4,3,5,3)] семья

[(5,3,5,3)] семья

Другие не-Витхоффианцы

Сводный перечень компактных однородных сот

Смотрите также

Примечания

Ссылки

[5,3^1,1] семья