Идеальный треугольник

В гиперболической геометрии идеальный треугольник — это гиперболический треугольник , все три вершины которого являются идеальными точками . Идеальные треугольники также иногда называют трижды асимптотическими треугольниками или тройными асимптотическими треугольниками . Вершины иногда называют идеальными вершинами . Все идеальные треугольники конгруэнтны .

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники равны друг другу.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник — это наибольший возможный треугольник в гиперболической геометрии.

В стандартной гиперболической плоскости (поверхности, где постоянная гауссова кривизна равна −1) мы также имеем следующие свойства:

• Любой идеальный треугольник имеет площадь π. ^[1]

• Вписанная окружность в идеальный треугольник имеет радиус

${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=}$${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0,549}$. ^[2]

Расстояние от любой точки треугольника до ближайшей стороны треугольника меньше или равно радиусу r, указанному выше, причем равенство имеет место только для центра вписанной окружности.

• Вписанная окружность касается треугольника в трех точках касания, образуя равносторонний контактный треугольник со стороной длиной ^[2] , где — золотое сечение .${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0,962}$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Окружность радиусом d вокруг точки внутри треугольника встретится или пересечет по крайней мере две стороны треугольника.

• Расстояние от любой точки на стороне треугольника до другой стороны треугольника равно или меньше , при этом равенство имеет место только для точек касания, описанных выше.${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0,881}$

a также является высотой треугольника Швейкарта .

Поскольку идеальный треугольник — это наибольший возможный треугольник в гиперболической геометрии, указанные выше меры являются максимально возможными для любого гиперболического треугольника . Этот факт важен при изучении δ-гиперболического пространства .

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости идеальный треугольник ограничен тремя окружностями, пересекающими граничную окружность под прямым углом.

В модели полуплоскости Пуанкаре идеальный треугольник моделируется арбелосом — фигурой между тремя взаимно касающимися полуокружностями .

В модели Бельтрами-Клейна гиперболической плоскости идеальный треугольник моделируется евклидовым треугольником, описанным граничной окружностью. Обратите внимание, что в модели Бельтрами-Клейна углы в вершинах идеального треугольника не равны нулю, поскольку модель Бельтрами-Клейна, в отличие от моделей круга Пуанкаре и полуплоскости, не является конформной , т.е. не сохраняет углы.

Модель диска Пуанкаре, выложенная идеальными треугольниками

Идеальная (∞ ∞ ∞) треугольная группа

Еще одна идеальная плитка

Действительная идеальная группа треугольника — это группа отражений , порожденная отражениями гиперболической плоскости относительно сторон идеального треугольника. Алгебраически она изоморфна свободному произведению трех групп второго порядка (Шварц 2001).

• Шварц, Ричард Эван (2001). «Идеальные треугольные группы, зубчатые торы и численный анализ». Annals of Mathematics . Сер. 2. 153 (3): 533– 598. arXiv : math.DG/0105264 . doi :10.2307/2661362. JSTOR  2661362. MR  1836282.