Квадратная плитка

Правильная мозаика евклидовой плоскости

Квадратная плитка

Тип	Обычная укладка плитки
Конфигурация вершины	4.4.4.4 (или 4 ⁴ )
Конфигурация лица	V4.4.4.4 (или V4 ⁴ )
Символ(ы) Шлефли	{4,4} {∞}×{∞}
Символ(ы) Витхоффа	4 \| 2 4
Диаграмма(ы) Коксетера
Симметрия	п4м , [4,4], (*442)
Симметрия вращения	р4 , [4,4] ⁺ , (442)
Двойной	самодвойственный
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , гране-транзитивный

В геометрии квадратная мозаика , квадратная тесселяция или квадратная сетка — это правильная мозаика евклидовой плоскости . Она имеет символ Шлефли ${4,4},$ что означает, что она имеет 4 квадрата вокруг каждой вершины . Конвей назвал ее кадрилью .

Внутренний угол квадрата равен 90 градусам , поэтому четыре квадрата в точке составляют полные 360 градусов. Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Две другие — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика .

Равномерные окраски

Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Назовем цвета индексами на 4 квадратах вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. (i) случаи имеют простую симметрию отражения, и (ii) симметрию скользящего отражения. Три можно увидеть в той же области симметрии как уменьшенные раскраски: 1112 _i из 1213, 1123 _i из 1234 и 1112 _ii уменьшенная из 1123 _ii .

9 однородных окрасок
1111	1212	1213	1112 _я	1122

п4м (*442)		п4м (*442)		пмм (*2222)
1234	1123 _я	1123 _ii	1112 _ii

пмм (*2222)		смм (2*22)

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4,p}, p=3,4,5...

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: {4, n } в т е
Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомпактный
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

Эта мозаика также топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n,4} и диаграммой Коксетера, причем n стремится к бесконечности.

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,4} в т е
Сферический		Евклидов	Гиперболические мозаики

2 ⁴	3 ⁴	44	5 ⁴	6 ⁴	7 ⁴	8 ⁴	... ∞ ⁴

* n 42 мутации симметрии квазирегулярных дуальных мозаик: V (4.n) ²
Симметрия *4n2 [n,4]	Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомпактный	Некомпактный
Симметрия *4n2 [n,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Конференция по укладке плитки .	В4.3.4.3	В4.4.4.4	В4.5.4.5	В4.6.4.6	В4.7.4.7	В4.8.4.8	В4.∞.4.∞	В4.∞.4.∞

* n 42 мутация симметрии расширенных мозаик: n .4.4.4 в т е
Симметрия [n,4], (* n 42)	Сферический	Евклидов	Компактный гиперболический				Паракомп.
Симметрия [n,4], (* n 42)	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Расширенные цифры
Конфигурация.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Конфигурация ромбических фигур .	В3.4.4.4	В4.4.4.4	В5.4.4.4	В6.4.4.4	В7.4.4.4	В8.4.4.4	В∞.4.4.4

Конструкции Wythoff из квадратной черепицы

Подобно однородным многогранникам, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть созданы на основе правильной квадратной мозаики.

Рисуя плитки, окрашенные в красный цвет на исходных гранях, в желтый цвет на исходных вершинах и в синий цвет вдоль исходных ребер, все 8 форм различны. Однако, рассматривая грани одинаково, есть только три топологически различные формы: квадратная мозаика , усеченная квадратная мозаика , плосконосая квадратная мозаика .

Равномерные мозаики, основанные на симметрии квадратной мозаики в т е
Симметрия : [4,4], (*442)							[4,4] ⁺ , (442)	[4,4 ⁺ ], (4*2)


{4,4}	т{4,4}	г{4,4}	т{4,4}	{4,4}	рр{4,4}	тр{4,4}	ср{4,4}	с{4,4}
Равномерные дуалы


В4.4.4.4	В4.8.8	В4.4.4.4	В4.8.8	В4.4.4.4	В4.4.4.4	В4.8.8	В3.3.4.3.4

Топологически эквивалентные мозаики

Можно создать и другие четырехугольные мозаики, топологически эквивалентные квадратной мозаике (4 четырехугольника вокруг каждой вершины).

Изоэдральные мозаики имеют идентичные грани ( гране-транзитивность ) и вершинно-транзитивность , существует 18 вариаций, 6 из которых определены как треугольники, не соединяющиеся ребром к ребру, или как четырехугольник с двумя коллинеарными ребрами. Симметрия подразумевает, что все грани одного цвета. ^[1]

Равногранные четырехугольные мозаики
Площадь п4м, (*442)	Прямоугольник пмм, (*2222)	Параллелограмм p2, (2222)	Параллелограмм пмг, (22*)	Ромб cmm, (2*22)


Трапеция смм, (2*22)	Четырехугольник pgg, (22×)	Кайт пмг, (22*)	Четырехугольник pgg, (22×)	Четырехугольник p2, (2222)

Вырожденные четырехугольники или треугольники, не являющиеся ребрами
Равнобедренный пмг, (22*)	Равнобедренный pgg, (22×)		Разносторонний pgg, (22×)		Разносторонний p2, (2222)

Упаковка круга

Квадратную мозаику можно использовать как упаковку кругов , помещая круги одинакового диаметра в центр каждой точки. Каждый круг соприкасается с 4 другими кругами в упаковке ( число соприкосновения ). ^[2] Плотность упаковки составляет π/4=78,54% покрытия. Существует 4 однородных окраски упаковок кругов.

Родственные регулярные сложные апейрогоны

Существует 3 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины квадратной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, где ребра могут содержать 2 или более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а вершинные фигуры являются r -угольными. ^[3]

Самодвойственный	Двойные

4{4}4 или	2{8}4 или	4{8}2 или

Смотрите также

Ссылки

^ Мозаики и узоры , из списка 107 равногранных мозаик, стр.473-481
^ Порядок в пространстве: Справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр. 74-75, круговой узор 3
↑ Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111-112, стр. 136.

Коксетер, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Dover, ISBN 0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Регулярные соты
Клитцинг, Ричард. «Двумерные евклидовы мозаики o4o4x — приземистые — O1».
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.стр.36
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Правильные и однородные мозаики , стр. 58-65)
Джон Х. Конвей, Хайди Берджил, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Квадратная сетка». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Регулярная тесселяция». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная тесселяция». MathWorld .

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\тильда {G}}_{2}$ / / ${\тильда {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
Э ²	Равномерная укладка плитки	0 _[3]	δ3	hδ3	qδ3	Шестиугольный
Е ³	Равномерные выпуклые соты	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
Е ⁴	Равномерный 4-сотовый	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеечные соты
Э ⁵	Равномерный 5-сотовый	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
Е ⁶	Равномерный 6-сотовый	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
Е ⁷	Равномерный 7-сотовый	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
Е ⁸	Равномерный 8-сотовый	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
Е ⁹	Равномерный 9-сотовый	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
Е ¹⁰	Равномерный 10-сотовый	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
Э ^{н -1}	Равномерный ( n -1)- соты	0 _{[ н ]}	δ _н	hδ _n	qδ _n	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁

[1] Мозаики и узоры , из списка 107 равногранных мозаик, стр.473-481

[Critchlow-2] Порядок в пространстве: Справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр. 74-75, круговой узор 3

[3] Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111-112, стр. 136.